Ieri notte sono rimasto sveglio sino alle 4 di mattina sopra questo stuzzicante problema, inviatomi da New York:"trovare tre triangoli rettangoli (di uguale area) con lati espressi da numeri razionali". Ne ho trovati due, i cui lati sono 20, 21, 29; 12, 35, 37; ma non sono riuscito a trovarne tre.(2)Questa annotazione è tratta dai diari di Lewis Carroll, datata 19 dicembre 1897. Successivamente pubblicata postuma su Life and Letters nel 1967, è sostanzialmente riducibile alla ricerca di tre terne pitagoriche che rappresentano altrettanti triangoli rettangoli di area uguale.
E' anche interessante notare come Carroll, pur non disponendo di una dimostrazione in grado di poter essere pubblicata su una delle sue rubriche di matematica ricreativa (o che gli permettesse di trovare il terzo triangolo), era convinto che il numero di triangoli rettangoli razionali con area uguale fosse infinito(1).
Carroll, però, non sembra fosse a conoscenza di una particolare osservazione fatta da Pierre de Fermat proprio a proposito dei triangoli rettangoli. Il matematico francese aveva, infatti, trovato una formula che, dati $z$ ipotenusa e $b$, $d$ i cateti di un trinagolo rettangolo razionale, permette di ottenere i lati di un altro triangolo rettangolo razionale con la stessa area(1): $$z' = \frac{z^4 + 4 b^2d^2}{2z(b^2-d^2)}$$ $$b' = \frac{z^4 - 4 b^2d^2}{2z(b^2-d^2)}$$ $$d' = \frac{4 z^2 bd}{2z(b^2-d^2)}$$ E' interessante notare come le formule proposte qui sopra sono non molto differenti dalla formula trovata da Henry Dudeney quando ripropose il rompicapo complicandolo un po': cercava, infatti, quattro triangoli rettangoli razionali con la stessa area.
Le sue quattro triplette pitagoriche erano (518, 1320, 1418); (280, 2441, 2459); (231, 2960, 2969); (111, 6160, 6161).
Dudeney, dati due numeri $x$, $y$, era in grado di determinare un triangolo rettangolo avente lati $x^2 - y^2$, $x^2+y^2$, $2xy$, che risultano razionali. Ponendo $x=z$ e $y = 2bd$ si ottengono i numeratori delle formule di Fermat.
Il problema di Dudeney, però, era trovare più triangoli differenti: d'altra parte non aveva ritrovato la formula completa di Fermat. A questo punto, a partire da $x$ e $y$, con $x$ il maggiore, è possibile trovare tre numeri $a$, $b$, $c$ con le seguenti formule: $$xy + x^2 + y^2 = a$$ $$x^2 - y^2 = b$$ $$2xy + y^2 = c$$ Ora basta applicare la formula di Dudeney usando come generatori le tre coppie ($a$, $b$), ($a$, $c$), ($a$, $b+c$) per ottenere tre trinagoli rettangoli razionali con la stessa area(2).
D'altra parte è possibile dimostrare la congettura di Carroll sull'infinitezza delle soluzioni al problema semplicemente riducendo il problema nei termini seguenti.
L'equazione diofantea del teorema di pitagora $x^2 + y^2 = z^2$ ha la seguente soluzione generale: $$x = 2 \lambda m n$$ $$y = \lambda (m^2-n^2)$$ $$z = \lambda (m^2 + n^2)$$ con $\lambda$, $m$, $n$ naturali. Ponendo $\lambda = 1$ si ottengono non solo le formule di Dudeney, ma anche una famiglia infinita di triangoli rettangoli, la cui area è data dall'espressione $$A = \frac{1}{2} xy = mn(m^2 - n^2)$$ A partire da questa riduzione, che alla fine conduce alla formula di Fermat, Norbert Hungerbühler arriva a dimostrare che esistono un numero infinito di triangoli rettangoli razionali con la stessa area(1).
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