Le grandi domande della vita: Equazioni polinomiali

Sono incappato in due equazioni imparentate tra loro che mi sono divertito a risolvere. Iniziamo dalla prima: \[x(x+1)(x+2)(x+3) = 24\] La possiamo già risolvere senza manipolarla in alcun modo. Innanzitutto basta notare che la fattorizzazione di 24 è \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) e questo già di permette di trovare una prima soluzione: \(x_3 = 1\) (più sotto capirete il "3" come pedice). Esiste anche una seconda fattorizzazione con i numeri negativi che ci porta a una seconda soluzione. Se infatti cambiamo di segno a tutti i numeri della prima fattorizzazione, allora ci rendiamo conto che una seconda soluzione è \(x_4 = -4\).
L'equazione di partenza, però, è di quarto grado, quindi esisteranno altre due soluzioni, non sappiamo se reali o immaginarie. Però conosciamo, anche solo parzialmente, la fattorizzazione del polinomio associato all'equazione di partenza:

Le grandi domande della vita: Intorno a cosa sta ruotando?

Nell'ultimo articolo de L'astronomo risponde su EduINAF Antonio Maggio ha fornito una risposta relativamente a un articolo scientifico secondo cui adottare la tesi di un universo in rotazione permetterebbe di risolvere il problema noto come tensione di Hubble. La domanda del lettore non era su questo quesito tecnico, ma su una faccenda relativamente più "semplice". In redazione, però, nel corso della discussione intorno a quella domanda, l'amico Marco Castellani si è posto una domanda interessante (che reinterpreto: non mi metto a cercarla tra le vecchie e-mail!): ammesso che l'universo effettivamente stia ruotando, intorno a cosa ruota?

Le grandi domande della vita: Le origini degli elementi chimici

La nucleosintesi stellare è il processo di creazione degli elementi chimici, quelli appartenenti alla tavola periodica. Ognuno degli atomi di cui è costituito l'univero è stato creato o nel corso del Big Bang (in particolare idrogeno, elio e piccolissime quantità di litio) o nei processi di formazione stellare, in particolare gli istanti finali delle stelle, come per esempio la "morte" delle stelle di piccola massa (processo nel quale è stata creata la maggior parte del litio presente nell'universo) o nelle esplosioni di stelle particolarmente massiccie (supernove e kilonove), senza dimenticare i processi che generano grandi quantità di onde graviotazionali come la collisione e conseguente fusione di due (o più) stelle di neutroni. Esiston, però, anche una manciata di elementi chimici che non sono stati creati nei processi di nucleosintesi, ma nei laboratori terrestri.
Nella tavola periodica che trovate qui sotto, per ciascun atomo è indicata anche la sua origine: in questo modo potrete apprezzare visivamente quali sono gli atomi che non sono stati creati nelle stelle (in pratica nessuno di "uso comune").

Le grandi domande della vita: Piastrellare una sfera

Una domanda interessante che ha prodotto risposte discordanti è quella relativa alla copertuna di una sfera usando dei triangoli.
La principale difficoltà nel coprire la superficie di una sfera con dei triangoli è che la superficie che vogliamo ricoprire ha una curvatura, mentre la figura che vogliamo utilizzare è piatta. QUesto vuol dire che se vogliamo utilizzare un triangolo o un qualsiasi altro poligono regolare per ricoprire la superficie di una sfera, questa figura non sarà mai identica a quella corrispondente nella usuale geometria euclidea.
Per capire la differenza, partiamo da un poligono regolare di \(n\) lati. Esso potrà essere suddiviso in altrettanti triangoli, che divideranno l'angolo al centro secondo la regola:

Le grandi domande della vita: Il problema della distanza razionale

Una domanda interessante è chiedersi se esiste un punto all'interno di un quadrato unitario in cui le distanze dai quattro vertici sono tutte razionali. Questa è una formulazione in un certo senso semplificata del problema della distanza razionale.
Questo è uno dei problemi irrisolti della teoria dei numeri e richiede di determinare una configurazione geometrica tale che tutte le distanze lungo specifici spigoli siano numeri razionali.

Le grandi domande della vita: Con l'ombrello nel sistema solare

Tutto inizia quando, per il mini-laboratorio EcoParole in scena, è stato chiesto ai partecipanti di portare un oggetto legato alla tematica del laboratorio. Il mio primo pensiero, che ha ben poco a che fare con la domanda cui andremo a rispondere in questo post, è stato l'ombrello. L'immagine che mi è arrivata subito, infatti, è stata quella di due pagine di una delle classiche riviste patinate, tipo Oggi (se non ricordo male era proprio quella), su cui erano state pubblicate, all'alba del disastro di Cernobyl, due pagine con un intero set per difendersi dalle piogge acide dovute alle nubi cariche di radiazioni. E in quel set c'erano impermeabili, cappelli, stivali e anche un ombrello.
Da questo punto di vista, quindi, l'ombrello diventa il simbolo di un disastro non solo economico, ma soprattutto ambientale dovuto all'incuria del genere umano anche relativamente alle proprie cose (e non solo quelle ambientali). Però ragionandoci un po' mi è sorta spontanea un'altra domanda: ma l'ombrello che utilità potrebbe avere nel sistema solare?

Le grandi domande della vita: La spirale di Eulero

Puntata un po' particolare della serie visto che la domanda non viene da quora ma dal passato!

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via commons

La caratteristica principale della curva che prende il nome da Leonhard Euler è che la sua curvatura si modifica in maniera lineare con la distanza dal punto d'origine.
Fu proprio Euler a scoprirla per la prima volta in risposta a un problema sull'elasticità che gli era stato posto da Jacob Bernoulli: quale forma deve avere una molla pre-curvata in modo tale che, quando appiattita premendo sull'estremo libero, diventa una linea retta?
Euler determinò le proprietà di questa spirale nel 1744, osservando che essa possedeva due punti limite, ovvero due punti intorno ai quali si arrotolava sempre di più senza mai riuscire a raggiungerli.
In termini moderni, la curva può essere rappresentata da questa coppia di equazioni integrali:

Le grandi domande della vita: Questioni di geometria

Anche se più avanti avremo alcune questioni geometriche, voglio iniziare la puntata di oggi con la risposta a una ovvietà: \[\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\] Ovviamente si può generalizzare la dimostrazione, ma questa cosa la lascio a chi non è andato a spulciare nel link su Quora!

Le grandi domande della vita: Se così, allora...

Lo so, non è esattamente un titolo che fa capire cosa ci sarà, ma non avevo molte idee quando l'ho messo giù. Per dare un'idea non solo del genere di domande affrontate, ma anche del tenore delle risposte (il più semplici possibili), partirei da una domanda a suo modo stupefacente: se \(8x = 80\), allora quanto vale \(x\)?
La risposta più ovvia è una sola e nessuno di noi farebbe nulla di più complicato di quello che vi è venuto subito in mente. Eppure delle oltre 100 risposte, la risposta più semplice, quella che vi è venuta in mente, l'ha fornita l'ai assistant di Quora...

Le grandi domande della vita: Einstein, la matematica e gli scacchi

A volte succede che mi perdo tra le domande presenti su Quora e finisco per mettere insieme, come negli inizi di questa rubrica, le più disparate una con l'altra, per cui risulta un po' difficile trovare un nesso logico che le metta insieme. E questo è proprio il caso. Inizierei, però, con una questione legata all'ultimo teorema di Fermat, con un lettore quoriano che pensa esista una eccezione che dimostri l'inesattezza del teorema stesso: \[1782^{12} + 1841^{12} = 1922^{12}\] Facendo i conti con la calcolatrice che ho installato sul mio smartphone (RealCalc per i più curiosi) ottengo una differenza tra i due termini che è circa \[7.002 \times 10^{29}\] che è sicuramente un risultato migliore di quello che scrive Homer Simpson alla lavagna in un episodio della serie animata dei Simpsons:

Le grandi domande della vita: Trova la funzione

A volte su quora spuntano domande che, in effetti, sono dei veri e propri esercizi delle scuole superiori, come quello che prevede di determinare il valore di una funzione, dati i valori precedenti: \[f(8)=56, f(7)=42, f(6)=30, f(5)=20, f(4)=12\] L'obiettivo è determinare il valore di \(f(3)\).
Se andiamo a vedere la sequenza delle risposte alla domanda, ne troviamo una inutilmente complicata e lunga. Il modo più semplice per risolverla, utilizzando la tecnologia moderna, è con geogebra, inserendo cioé i dati come punti del piano carteziano. In questo modo il software, con l'opportuno comando, è in grado di determinare la conica che passa per i 5 punti, ovvero

Le grandi domande della vita: Ci serve veramente un'interpretazione fisica della meccanica quantistica?

Niels Bohr

Il 2025 è l'Anno Internazionale della Scienza e della Tecnologia Quantistica, per cui può essere interessante tornare sull'annosa questione dell'interpretazione di Copenaghen della meccanica quantisica. Partirei, prima di tutto dalla questione se effettivamente tale interpretazione ha un ampio consenso tra i fisici.
Ed effettivamente sia nel 1997, sia nel 2011 sono stati realizzati dei sondaggi tra i fisici teorici su quale fosse la loro interpretazione quantistica preferita. E la maggior parte dei fisici teorici hanno votato per l'interpretazione di Copenaghen.
I risultati ottenuti in due anni distinti e in due conferenze distinte in cui comunque, in totale, saranno stati presenti un'ottantina di fisici teorici, non possiamo comunque considerarli come indicativi di tutta la cateogria, ma possono fornire alcuni spunti interessanti. Se, infatti, sono sostanzialmente inutili quelli del workshop informale sulla meccanica quantisica UMBC dell'agosto 1997 (i cui risultati hanno permesso a Max Tegmark di "parlare" dell'interpretazione dei molti mondi in quello stesso articolo in cui discusse il suicidio quantistico), più interessanti sono i risultati ottenuti presso il workshop Quantum Physics and the Nature of Reality tenutosi nel 2011 presso la International Academy Traunkirchen in Austria e condotto da Maximilian Schlosshauer, Johannes Kofler e Anton Zeilinger (ricordo che quest'ultimo ha ottenuto il premio Nobel per la fisica nel 2022).

Le grandi domande della vita: Pi e il problema della fermata

Forse una delle domande più interessanti tra quelle cui sono incappato nell'ultimo periodo su Quora: la differenza tra \(\pi\) e la costante di Chaitin in termini di computabilità.
La costante di Chaitin, introdotta da Gregory Chaitin, è stata una delle protagoniste del bel volume Darwin alla prova, testo sull'evoluzione, ma anche sulla matematica, e successivamente ne ho scritto all'interno del post sull'immortalità quantistica.
Vale, però, la pena rivedere la sua definizione.

Le grandi domande della vita: Potenze di pi

La febbre del pi greco sta aumentando sempre di più, così ecco arrivare un post dedicato ad alcune potenze del \(\pi\) piuttosto particolari. Iniziamo scaldandoci un po':

Potenze su potenze

Giusto per iniziare leggeri (anche se la domanda originale chiedeva tutt'altro), utilizzando un qualsiasi sistema di calcolo a vostra scelta (come per esempio WolframAlpha) proviamo a vedere quanto vale: \[\pi^{\pi^{\pi}} \approx 1.3402 \times 10^{17}\] Un numero piccolo piccolo!
Ovviamente questa è stata una questione di semplice calcolo, e in effetti potrebbe esserlo anche la faccenda successiva:

Le grandi domande della vita: Su Einstein e Hilbert

Per il solito strano caso della vita, qualche giorno più dopo aver pubblicato la puntata dedicata al rapporto tra fisici e matematici (argomento che, comunque, non potrebbe esaurirsi completamente in quelle poche righe), mi ritrovo a rispondere a una domanda sul rapporto tra David Hilbert e Albert Einstein, in particolare sulla leggendaria scarsa considerazione che il primo aveva del secondo, almeno al livello della matematica.
Prima, però, di affrontare questo mito, permettetemi di sfatare un altro mito, quello legato alle competenze matematiche scolastiche del buon Einstein.

La pagella di Einstein

Tale mito è molto probabilmente originato da una lettura distratta della sua pagella:

Le grandi domande della vita: Come cani e gatti

Finalmente il volume è arrivato anche in edicola, così ho potuto leggere l'introduzione del buon Maurizio, di cui potete leggere una specie di riassunto sul suo blog. L'ho trovata molto interessante, anche perché su Quora mi è capitato di rispondere a una domanda in linea con il suo incipit:

Matematici e fisici sono un po' come cani e gatti: di solito cercano di stare il più lontani possibile. I primi si mettono le mani nei capelli quando vedono come i secondi bistrattano e strattonano i concetti matematici per farli funzionale le loro ambiente; i fisici a loro volta non riescono a capire cosa ci sia di male nell'usare quei concetti in situazioni dove chiaramente funzionano senza doversi impelagare in casi evidentemente patologici che tanto non potranno mai verificarsi nel mondo. Il punto è che per i fisici la matematica è semplicemente uno strumento, e quindi prendono quello che serve quando serve, mentre i matematici studiano le strutture indipendentemente da quanto siano reali e utili, ma solo pe la loro bellezza intrinseca.

Come scrive lo stesso Maurizio più avanti, questa è un'ingiusta e falsa semplificazione, soprattutto se consideriamo quanto, all'interno della fisica, sia ancora forte la discussione sull'interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, e questo nonostante la maggior parte dei fisici teorici continua ad affermare di utilizzarla attivamente. Ho avuto la sensazione, essendo rimasto coinvolto in una discussione del genere qualche anno fa, che in materia il punto di vista del matematico (che poi è nel caso specifico anche il mio) sia quello sostanzialmente migliore: stiamo comunque parlando di un modello matematico (peraltro matematicamente pieno di buchi), e pretendere che esso sia perfettamente aderente alla realtà è qualcosa di esagerato. O da esagitati!
A parte questa diatriba, che spero di riprendere con un post ad hoc, c'è un altro passo dell'introduzione molto interessante:

Molti concetti matematici sono nati perché la fisica ne aveva bisogno: e anche quando essi erano già stati studiati, l'approccio del mondo fisico fa scoprire nuove strade.

A me verrebbe da fare come esempio la collaborazione tra Albert Einstein e Tullio Levi Civita, che forse ha generato il falso mito delle non eccelse competenze matematiche di Einstein, il che la dice lunga non tanto su Einstein, ma sulla conoscenza anche solo superficiale di fisica e matematica di chi questo mito lo condivide. Questa, però, è un'altra storia.

Le grandi domande della vita: Il mahjong e la combinatoria

Il post che state per leggere sarebbe potuto entrare tranquillamente dentro la serie dei Rompicapi, ma a ispirare la sua stesura è stato un libro, che peraltro ha poco a che fare con il mahjong, Bisesto di Andrea Vismara. Uno dei personaggi del romanzo è ossessionato da questo gioco, in particolare dalla sua variante come solitario. Nella sua ossessione, il personaggio in questione si pone un paio di domande che, nel contesto del romanzo, risultano folli, ma se le estraiamo risultano particolarmente interessanti:

Perché non si può giocare due volte la stessa partita? (...) E chi mi assicura che tutte le partite siano realmente risolvibili?

In effetti queste domande se le sono poste diversi ricercatori nel campo della matematica, in particolare dei giochi combinatori, e dell'informatica e, in un certo senso, hanno adottato un approccio non molto diverso da quello del personaggio ideato da Vismara, ma solo un po' più raffinato. Infatti il personaggio letterario si è stampato tutti gli screenshot di tutti isolitari che ha giocato nel corso degli anni, mentre i ricercatori hanno fatto compiere qualcosa di simile al computer, che ha esaminato, dopo opportuna matematizzazione del problema, tutte le possibili configurazioni. Andiamo, però, con ordine raccontando qualcosa sul gioco stesso.

Le grandi domande della vita: Scienza o religione.

Tra le molte valutazioni che sto facendo relativamente a posti dove, quanto meno, portare i post che vorrei comunque pubblicare su Doc Madhattan ma senza il problema del certificato di sicurezza scaduto c'è anche Quora. Così, facendo un giro su quel poco che ho scritto negli anni lì sopra, sono incappato in un commento, che avevo completamente rimosso, sotto alla risposta di un tizio che alla domanda sul perché ancora nell 2017 c'era gente che seguiva la religione. Anche se con un ritardo pazzesco rispetto alla sua pubblicazione sul social, ripropongo quelle domande e le mie corrispondenti risposte all'interno di questa rubrichetta, senza modificarle, visto che sostanzialmente non la penso in maniera così differente da allora. Ovviamente ciò non esaurisce l'argomento, nè vuole essere un modo per convincere nessuno.

Le grandi domande della vita: Abitanti dell'universo, uniti!

Sardinia Radio Telescope - via commons

All'inizio di ottobre, nel corso dell'incontro usuale del gruppo di lettura del Circolo Legambiente Zanna Bianca, è uscita fuori una battuta del tipo: Siamo quasi certi che il nostro sia l'unico pianeta abitato dell'universo. Non l'ho detta io, questa battuta, anche perché su questo argomento il "quasi" è comunque esagerato a prescindere, sia che si parli di essere l'unico pianeta abitato, sia che si parli del suo contrario. Ovviamente il sottinteso era legato alla vita intelligente, o presunta tale, presente sul nostro pianeta. E per un caso incredibile al Congresso di Astronautica che si è tenuto a Milano (quello dove è stato rilasciato il primo mosaico di Euclid), il Sardinia Radio Telescope presenta i suoi primi risultati in questo campo. Vi propongo qui sotto alcune dichiarazioni estratte dal comunicato stampa INAF che mi sembrano interessanti in tal senso. Iniziamo con Lorenzo Manunza:

Le grandi domande della vita: La rotazione dei buchi neri

A volte ci si imbatte in domande piuttosto curiose, come quella in cui si chiede se un buco nero sia in grado di ruotare così velocemente che la sua forza centrifuga sia in grado di superare la forza gravitazionale.
Partiamo dalle soluzioni dell'equazione di campo della relatività generale di Albert Einstein. Esistono quattro soluzioni che descrivono quattro tipi di buchi neri. Due di questi sono buchi neri stazionari, gli altri due sono buchi neri rotanti. A loro volta questi possono essere distinti in carichi e neutri, ma questa distinzione, alla fin fine, non ha importanza. Ciò che ci interessa è che effettivamente i buchi neri ruotano su se stessi lungo uno dei loro assi di simmetria. E secondo la teoria sarebbe possibile che un buco nero che ruota fino alla velocità della luce si ritroverebbe senza orizzonte degli eventi, esponendo quindi allo sguardo dell'universo la singolarità che prima era nascosta. Si parla, in questo caso, di singolarità nuda.