Le grandi domande della vita: Il problema della distanza razionale

Una domanda interessante è chiedersi se esiste un punto all'interno di un quadrato unitario in cui le distanze dai quattro vertici sono tutte razionali. Questa è una formulazione in un certo senso semplificata del problema della distanza razionale.
Questo è uno dei problemi irrisolti della teoria dei numeri e richiede di determinare una configurazione geometrica tale che tutte le distanze lungo specifici spigoli siano numeri razionali.

Matematica, lezione 51: Sistemi di numerazione

Se consideriamo che il tema è altamente scolastico, un po' a sorpresa questo 51.mo volume ha un'impostazione molto divulgativa, quasi allo stesso livello del volume dedicato ai calendari. Maurizio Codogno suddivide la trattazione in due parti: una prima di stampo storico in cui esamina alcuni dei sistemi di numerazione dell'antichità fino ad arrivare a quello posizionale in uso oggi. Nella seconda, invece, si affrontano le basi numeriche, ma alcune delle più inusitate. Certo non manca la base 2, ma questa è solo il punto di partenza per andare a scoprire alcune basi decisamente "fuori di testa", anche se un paio di esse hanno trovato applicazioni pratiche. Scopriamo quindi basi frazinarie, basi irrazionali, basi composte e persino una base immaginaria!
Mentre la biografia matematica di Valentina Giuffré è dedicata a John Conway (potrete scoprire, quindi, che ha fatto altro oltre al suo famoso game of life, a meno che non siate lettori storici di questoi blog, per cui dovreste saperlo già: vedi, per esempio, il suo teorema del libero arbitrio), nella sezione dei giochi matematici, Maurizio propone alcuni problemi tratti dalla newsletter del Macalester College non troppo difficili, ma sufficientemente difficili da non potersi risolvere a mente (quasi nessuno, in effetti!). Il primo di questi vede tre protagonisti d'eccezione: Batman e Robin da un lato, prigionieri dell'ennesima trappola cervellotica del Joker. Questa volta basata sulla matematica!

Numeri odiosi e malvagi

Per capire perché i numeri della sequenza di Thue–Morse o sequenza di Prouhet–Thue–Morse siano odiosi, bisogna prima fornire una loro definizione.
La sequenza venne studiata per la prima volta da Eugène Prouhet nel 1851. Venne successivamente riscoperta nel 1906 da Axel Thue, il primo a menzionarla, e successivamente da Marston Morse nel 1921. La sequenza è una serie infinita di 0 e 1. Si parte da 0 come prima cifra. Il passo successivo è proseguire con il complemento booleano delle cifre precedenti, in questo caso 1. Per cui la sequenza diventa 01.
Al terzo passo si devono aggiungere due cifre, le "negazioni" di 0 e 1, ovvero 10. Per cui la sequenza diventa 0110.
Il complemento booleano di questo terzo passo è 1001, per cui la sequenza diventa 01101001.
Il passo successivo è allora aggiungere alla serie di cifre del quarto passo la seguente serie 10010110, ottenendo la sequenza 0110100110010110, e proseguendo da qui all'infinito!
A questo punto potremmo chiederci come calcolare l'$n$-simo elemento $t_n$ della successione, con $n$ scritto in binario. Ora, se il numero di uni in questa espansione risulta essere dispari, allora $t_n = 1$, altrimenti $t_n = 0$. A questo punto, usando un gioco di parole comprensibile solo in inglese, John Conway ebbe la brillante idea di chiamare i primi numeri odiosi (dispari in inglese è odd, e odioso è odious), e i secondi numeri malvagi (pari in inglese è even, e male è evil).
Per cui se un numero $n$ è odioso, ovvero se la sua espansione binaria presenta un numero dispari di $1$, allora $t_n = 1$, se invece un numero $n$ è malvagio, ovvero se la sua espansione binaria presenta un numero pari di $1$, allora $t_n = 0$.

L'universo come piano proiettivo

Mentre scrivevo l'articolo sul Dobble, mi sono accorto di una particolare proprietà: il sistema di Steiner generato dalla formula $S(2,q+1,q^2+q+1)$ è anche un piano proiettivo di ordine $q$. Questa struttura matematica non è altro (semplificando all'osso) che un piano euclideo con una retta posta all'infinito come bordo del piano stesso, ottenendo così una violazione del postulato delle rette parallele senza modificare la geometria euclidea del piano. Tra le proprietà del piano proiettivo risultano interessanti quelle relative alla sua superficie, che non è orientabile, come un nastro di Moebius, ed è in un certo senso simile a una bottiglia di Klein.
Quindi sia un nastro di Moebius sia una bottiglia di Klein sono dei modelli di piano proiettivo, nonostante non abbiano nulla a che fare con il canonico piano. Questo vuol dire che, partendo dalle restrizioni sperimentali sulla piattezza dell'universo, è possibile immaginare l'universo come piano proiettivo. Tale supposizione ha portato John Horton Conway e Juan Pablo Rossetti a suggerire dieci possibili forme finite per l'universo, chiamate platycosm. Alle dieci finite (tra cui ci sono sia il nastro di Moebius, sia la bottiglia di Klein) vi sono anche delle strutture infinite come il prodotto cartesiano tra un cerchio e un piano infinito.

Conway, J. H., & Rossetti, J. P. (2003). Describing the platycosms. arXiv preprint math/0311476.

Una delle conseguenze dei platycosm è che, se ad esempio l'universo è un nastro di Moebius, partendo dalla Terra con una navicella spaziale e viaggiando dritti, per ritrovarci nell'esatta posizione di partenza dovremmo compiere il giro dell'universo per due volte.
Ad ogni modo, l'aspetto interessante della faccenda è che, mentre siamo tutti impegnati a utilizzare un piano infinito per descrivere la geometria piatta dell'universo che siamo in grado di osservare, i matematici semplicemente ci suggeriscono che l'universo potrebbe curvare per ogni dove ma avere comunque una geometria globalmente piatta.

I Rompicapi di Alice: La formica di Langton

Era il 1986 quando Christopher Langton propose di utilizzare una formica per studiare la biochimica della vita⁽¹⁾. La formica di Langton, però, non era una vera e propria formica, ma un automa cellulare. Prima di vedere come funziona la proposta di Langton, vale la pena introdurre gli automi cellulari e, tra questi, ilpiù famoso di tutti, il gioco della vita di Conway.

Auto-replicazione

Tutto ebbe inizio a Los Alamos con John von Neumann e Stanislaw Ulam. I due stavano studiando, rispettivamente, i sistemi autoreplicanti il primo e la crescita dei cristalli il secondo.
Il progetto iniziale di von Neumann si basava sull'idea di un robot in grado di costruire un altro robot: sviluppando questo progetto, il matematico si rese conto dei problemi insiti in esso, come il costo eccessivo nel fornire al robot le molte parti necessarie per costruire un altro robot a lui identico.
L'idea di Ulam di utilizzare un modello discreto per l'autoreplicazione in qualche modo venne ripresa dai due matematici quando, sul finire degli anni Cinquanta, crearono un modello per calcolare il movimento di un liquido. Essi consideravano il liquido come un gruppo di unità discrete e calcolavano il moto di ciascuna unità in base al comportamento dei vicini: nasceva il primo sistema di automi cellulari.
I due realizzarono un sistema in grado di copiare e costruire dalle celle di partenza in funzione di alcune regole base sulla vicinanza⁽²⁾. Tale sistema sarebbe stato in grado di realizzare un numero infinito di copie di se stesso all’interno dell’universo cellulare dato: questo è il così detto costruttore universale di von Neumann.