La risposta, quanto meno quella più semplice e superficiale, è abbastanza ovvia: la combinatoria. Questa branca della matematica si occupa degli insiemi costituiti da oggetti finiti, andando a studiare permutazioni, combinazioni, quadrati magici e altre robette del genere, più o meno tutte nel campo dei giochi, come le disposizioni dei pezzi sulla scacchiera. In particolare per Dobble giocano un ruolo fondamentale i sistemi di Steiner, che rientrano nella sottobranca della matematica nota come block design (qualcosa come proggrammazione a blocchi - lo so, ho forzato un po' la traduzione!).
Il sistema di Steiner, scoperto nel 1853 dal matematico svizzero Jakob Steiner, è una particolare struttura matematica costituita da un insieme $S$ di $n$ elementi finiti, strutturati in sottoinsiemi di $k$ elementi detti blocchi con la proprietà che $t$ blocchi hanno in comune uno e un solo elemento. Tutto ciò viene matematicamente indicato come $S (t,k,n)$.
Ad esempio il sistema $S (2,3,n)$ è un insieme di $n$ elementi sistemati in blocchi di 3 elementi. Inoltre i blocchi che hanno in comune un elemento sono solo due, o per dirlo meglio due blocchi presi a caso hanno in comune uno e un solo elemento.
Forse più chiaro con l'esempio di $S (3,4,n)$. In questo caso i blocchi sono costituiti da 4 elementi mentre se prendiamo tre blocchi presi a caso, questi avranno in comune uno e un solo elemento, non di più.
Quindi il Dobble ha delle buone possibilità di essere un sistema di Steiner. Per capire se sia o meno un sistema di Steiner, proviamo a capire quanti elementi sono necessari per costruire un sistema di Steiner con blocchi da 8 elementi ciascuno e che al massimo hanno uno e un solo elemento in comune. Un modo semplice per determinare un sistema del genere, con $t=2$ e $k=8$, è sapere che il sistema $S(2,q+1,q^2+q+1)$ è un sistema di Steiner. In questo caso, ponendo $q=7$ si ottiene $S(2,8,57)$, che peraltro contiene 57 blocchi da 8 elementi ciascuno, mentre Dobble ne contiene solo 55. Se però Dobble lo costruiamo come un sottoinsieme di $S$, allora la proprietà fondamentale del sistema, ovvero presi due blocchi qualsiasi questi avranno in comune uno e un solo elemento, continuerà a essere preservata. Quindi il Dobble non è altro che un sistema di Steiner $S(2,8,57)$ con due blocchi in meno. Questo fatto dovrebbe avere come conseguenza che un simbolo compare solo su 6 carte e 14 su 7, mentre gli altri 50 su 8 carte.
Una interessante curiosità che ho scovato mentre approfondivo la questione è che il numero di carte/blocchi per il Dobble, date le condizioni iniziali, può essere determinato senza conoscere la formula, come mostrato anche con paginate di calcoli combinatorici da Clare Sudbery su Dobble vision. In particolare ecco il passaggio in cui la Sudbery ottiene il fatidico 57:
Let’s suppose, just for a minute, that each symbol occurs eight times throughout the deck of cards. At the moment this is just a guess, based on a bit of intuition and the fact that there are eight symbols per card. That would mean there were eight cards containing the number 1 (see diagram a bit lower down).Più avanti nel suo lungo articolo riuscirà anche a ri-scoprire la formula per il calcolo del numero di blocchi, per cui la lettura è altamente consigliata.
These eight cards all have one thing in common: the number 1. This means they can’t have anything else in common. Because every card has one thing — and only one thing — in common with every other card in the deck. If we were to pick any two of these eight cards, they would have the number 1 in common. This means that every single one of the other (8 x 7 =) 56 symbols on these eight cards must be a different unique symbol. Ooh! That makes 57 symbols altogether!
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