L'arte matematica di Piero della Francesca

Spesso prendiamo Leonardo da Vinci come simbolo della commistione tra arte e scienza. In realtà quello di Leonardo è solo il massimo degli esempi dell'approccio degli artisti alla scienza (anche se, a mio giudizio, è da ritenersi più uno scienziato con abilità artistiche, che non un artista con abilità scientifiche), visto che il pittore Piero della Francesca, oltre a realizzare opere d'arte apprezzate in tutto il mondo, ottene anche degli interessanti risultati in campo matematico.
Nato nel 1415 a Borgo San Sepolcro in Toscana, si suppone abbia iniziato la sua carriera artistica sotto il pittore locale Antonio di Giovanni d'Anghiari nel corso del 1432. Ben lungi dal voler ripercorrere la carriera artistica di Piero della Francesca, mi interessa in questa sede limitarmi alla sua sola attività matematica: il pittore, in fatti, non si limitò a usare, ma studiò la matematica che utilizzava nelle sue opere, scrivendo anche alcuni trattati sul campo. In particolare i suoi studi lo portarono ad approfondire i campi della geometria solida con il Libellus de Quinque Corporibus Regularibus e della prospettiva con il De Prospectiva Pingendi, senza dimenticare la matematica finanziaria dell'epoca, come attesta il Trattato d'Abaco. Molti dei risultati ottenuti da Piero della Francesca vennero successivamente riproposti (senza fornire dimostrazione, ma anche senza accreditarli⁽¹⁾) nei lavori di Luca Pacioli, come per esempio la parte dedicata alla geometria solida presente nel De divina proportione, peraltro illustrato da Leonardo Da Vinci.
Nella seconda metà degli anni Cinquanta del 1400 si interessò ai lavori di Archimede, che ricopiò in un manoscritto di 82 fogli, custodito presso la Biblioteca Riccardiana.

Nella giusta prospettiva

L'introduzione della prospettiva nell'arte avviene grazie a Filippo Brunelleschi mentre la sua prima definizione in qualche modo scientifica è dovuta a Leon Battista Alberti nel De Pictura, opera interamente dedicata a Brunelleschi. Se ne può dare la seguente definizione:

i raggi di luce viaggiano in linea retta dai punti della scena osservata fino all'occhio, formando una sorta di piramide con l'occhio come vertice. Il dipinto dovrebbe rappresentare una sezione di quella piramide con un piano. ⁽¹⁾

Questa definizione operativa di prospettiva⁽²⁾ venne riformulata e matematizzata proprio da Piero della Francesca.
Prendiamo la figura seguente:

Abbiamo un quadrato di lato $BC$ visto dal punto $A$, con $AD$ l'altezza da terra. Si collega $A$ con i punti $B$, $C$ e $G$ e si identificano le intersezioni $H$ ed $E$ con il quadrato. Quindi dai punti $A$ ed $E$ si tracciano due parallele a $BC$ e sulla prima parallela si fissa il punto $A'$ che rappresenta l'osservatore della definizione di Alberti. Quindi si tracciano i segmenti $A'B$ e $A'C$ e si determinano le loro intersezioni $D'$ ed $E'$ sul segmento passante per $E$. Il quadrilatero $BCE'D'$ è il quadrato visto in prospettiva⁽¹⁾!
Piero della Francesca, però, non si accontentò di proporre questa costruzione della prospettiva, ma aggiunse anche la dimostrazione della congruenza dei segmenti $EH$ ed $E'D'$: era il primo teorema matematico a venire dimostrato in Europa dopo Fibonacci⁽¹⁾.
La dimostrazione non dovrebbe essere difficile da ricostruire utilizzando i teoremi di Talete e propone una serie di proporzioni tra segmenti che conducono alla fine a un'uguaglianza tra $EH$ ed $E'D'$: \[\frac{E'D'}{BC} = \frac{A'E'}{A'C} = \frac{AE}{AC} = \frac{DB}{DC} = \frac{EH}{CG}\] che completa la dimostrazione semplicemente osservando che $CG = BC$ visto che sono i lati dello stesso quadrato.

Solida mente

I risultati più interessanti, però, Piero della Francesca li ottiene nella geometria solida, trattata nel Libellus. In particolare nel terzo libro, che è un'artimetizzazione del 14 libro degli Elementi di Euclide, il primo problema propone la determinazione del lato di un ottaedro regolare inscritto in un tetraedro regolare di lato 12, corrispondente alla proposizione 2 del libro 15 di Euclide.

Il risultato è 6, ma i fatti interessanti sono due: il primo è l'interesse del pittore in un problema prettamente matematico, il secondo è nel modo in cui Piero risolve il problema. Utilizza una serie di trinagoli all'interno del solido, mostrandone le non ovvie similitudini e lavorando di buona lena con le radici quadrate. Ad esempio osserva come $\sqrt{108} - \sqrt{12} = \sqrt{48}$.
Altro risultato estremamente interessante è la determinazione dell'altezza e da qui del volume di un tetraedro dati i suoi lati. Piero della Francesca utilizza, anche grazie a quell'intuizione spaziale che ne ha fatto un apprezzato artista, i calcoli aritmetici dell'epoca insieme con il teorema di Pitagora e la formula di Erone per ottenere una risposta che in termini moderni sarebbe equivalente a questa⁽¹⁾: \[144 V^2 = - a^2b^2c^2 - a^2d^2e^2 - b^2d^2f^2 - c^2e^2f^2 + a^2c^2d^2 + b^2c^2d^2+\] \[+ a^2b^2e^2 + b^2c^2e^2 + b^2d^2e^2 + c^2d^2e^2 + a^2b^2f^2 + a^2c^2f^2 + a^2d^2f^2+\] \[+ c^2d^2f^2 + a^2e^2f^2 + b^2e^2f^2 - c^4d^2 - c^2d^4 - b^4e^2 - b^2e^4+\] \[- a^4f^2 - a^2f^4\] Forse il suo risultato più sorprendente è il calcolo del volume e della superficie di una volta a crociera, realizzato ben prima che l'analogo calcolo sull'unghia di Archimede venisse scoperto (cosa avvenuta solo agli inizi del XX secolo). Certo c'è da ricordare che il pittore conosceva comunque le tecniche di calcolo del suo illustre predecessore matematico e in qualche modo nel suo calcolo propose una costruzione geometrica in qualche modo archimedea: due cilindri incastrati a formare una sorta di tetto e quindi una sfera, un cono circolare retto e una piramide inscritti uno nell'altro e i cui volumi sono tutti legati uno all'altro fino alla determinazione, peraltro corretta, del volume della volta a crociera⁽¹⁾.
Le abilità matematiche di Piero della Francesca risultano abbastanza rare nel mondo artistico dell'epoca, ma non certo l'interesse verso tale disciplina. Indubbiamente si potrebbe avere il dubbio di quali sarebbero stati i suoi risultati nel campo della matematica, se si fosse dedicato completamente a tale disciplina, ma mi viene da obiettare che forse sono le abilità artistiche ad avergli permesso di ottenere dei risultati così interessanti e innovativi nel campo della geometria solida. Molto probabilmente le due abilità si sono influenzate e arricchite a vicenda, come avviene spesso quando si mantiene il cervello allenato.

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1. Peterson, M. A. (1997). The geometry of Piero della Francesca. The Mathematical Intelligencer, 19(3), 33-40. doi:10.1007/BF03025346 (html) ↩↩↩↩↩↩
2. Un esempio della tecnica prospettica di Piero della Francesca si trova nella Flagellazione, dipinto esaminato nell'articolo: Wittkower, R., & Carter, B. A. R. (1953). The Perspective of Piero della Francesca's' Flagellation'. Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, 16(3/4), 292-302. doi:10.2307/750368 (jstor) ↩