Una questione jacobiana

Pur non avendo una storia lunga come quella dell'ultimo teorema di Fermat, la congettura jacobiana risulta particolarmente interessante per diversi motivi. Tale congettura si occupa dei polinomi a più variabili e afferma che se una funzione polinomiale in uno spazio a \(n\) dimesioni ha uno jacobiano costante e non nullo, allora la funzione ammette un'inversa polinomiale.
Il nome della congettura, che richiama il matematico tedesco Carl Gustav Jacob Jacobi, discende proprio dallo jacobiano, o per essere più precisi dal determinante jacobiano della matrice associata alla funzione polinomiale oggetto della congettura stessa. Gli elementi di questa matrice sono costituiti dalle derivate parziali della funzione polinomiale.
La prima formulazione di questa congettura risale al 1884 in un articolo di Ludwig Kraus, che ne fornisce anche una dimostrazione, che però si rivelò errata, nel caso di due dimensioni. La formulazione moderna in \(n\) dimensioni risale a una cinquantina di anni più tardi, il 1939 e porta la firma di Ott-Heinrich Keller.
Non è chiaro chi assegnò tale nome alla congettura. Uno dei primi utilizzi di questo nome risale al 1973 in un articolo di Masayoshi Miyanishi, però secondo Tzuong-Tsieng Moh fu dopo un seminario di Oscar Zariski tenuto alla fine degli anni Sessanta del XX secolo presso la Purdue University che la comunità matematica decise di chiamare tale congettura come congettura jacobiana.

Breve storia dell'infinito

Dopo aver apprezzato, nonostante qualche perplessità, il volume dedicato al teorema di Pitagora, ho affrontato la lettura ella Breve storia dell'infinito di Paolo Zellini con un certo entusiasmo, senza avere minimamente idea di cosa andavo incontro.
La lettura è stata complicata e lunga, all'incirca un mese, e costellata di un paio di interruzioni più corpose, oltre a quelle che generalmente assegno al fine settimana quando prediligo la lettura dei fumetti. Il motivo principale è stata la prima parte del volume, pesantemente filosofica. Pur conscio del fatto che affrontare il tema dell'infinito implicava il dover affrontare tutta una serie di concetti filosofici più o meno profondi, non mi aspettavo in ogni caso un indulgere così lungo sulla filosofia dell'infinito. Tanto è vero che più o meno fino a metà libro ero lì che mi dicevo "ma quando arriva la matematica?"
Quando è arrivata, pur se gli aspetti filosofici non sono stati completamente abbandonati, la lettura mi è sembrata scorrere meglio, quasi più chiara. Senza contare che, una volta giunto a quel punto, avevo ormai preso la decisione di saltare a pié pari tutte le parole scritte in lettere greche (senza fare alcuno sforzo per leggerle in qualche modo) e persino quelle pur brevi scritte in altre lingue ma prive di alcuna traduzione.
Nel complesso ho trovato il libro, pur ricco di spunti interessanti (come la banale, anche se a mio giudizio non sottolineata, constatazione che la in qualche modo più comprensibile - almeno per me - logica ha preso il posto della filosofia), più adatto a un filosofo che a un appassionato di matematica, per cui non lasciatevi incantare dal parere di Italo Calvino pubblicato in quarta di copertina: se non amate la filosofia fino al punto da capirla, o se amate ancor di più la matematica, lasciate perdere.

Ritratti: Archimede

Come ha ricordato Sara Zucchini nella biografia in appendice a Statistica inferenziale di Alessandro Viani, quando Sophie Germain, bambina, fu costretta a restare chiusa in casa con la madre a causa dei moti rivoluzionari, scoprì un mondo interessantissimo che valeva la pena approfondire: la matematica. A illuminarla fu in particolare Storia della matematica di Jean-Etienne Montucla, soprattutto la vita di Archimede. A colpirla fu su tutti l'episodio in cui il fisico e matematico siracusano venne ucciso da un soldato romano poiché era troppo concentrato su un problema matematico, e quindi non si accorse degli ordini perentori (e arroganti, come tutti i soldati) che questi gli stava rivolgendo.
L'episodio, riletto su un libro, mi ha fatto riflettere sulla leggendaria difesa di Siracusa, avvenuta nel corso della seconda guerra punica. In quell'occasione la città siciliana si era schierata dalla parte di Annibale Barca e la flotta romana, guidata da Marco Claudio Marcello, assediò la città, che all'inizio si difese strenuamente anche grazie, dice la leggenda, alle invenzioni di Archimede, in particolare i cosiddetti specchi ustori.

Matematica in vacanza #8: luglio-agosto 2026

Secondo appuntamento dell'estate 2026 con Matematica in vacanza, il link post con cui ricapitolo le mie uscite a tema matematico nel corso del mese precedente quando il Carnevale della Matematica non va in onda.
Questa ottava edizione in totale è piuttosto light, con pochi contenuti da segnalare.
Iniziamo con un breve post sui mondiali di calcio, in cui segnalo un articolo dove i rivercatori hanno fornito non solo una previsione del vincitore, inclusa la squadra che avrebbe sconfitto in finale, ma di tutto il tabbellone della fase eliminatoria: una lettura interessante alla luce di quanto accaduto!
La fisica delle pecore è, invece, un excursus su alcuni modelli che studiano sistemi complessi applicati ai greggi di pecore. Anche in questo caso risultati parecchio interessanti.
Infine nei Paralipomeni di Alice ecco La cena dei figli, con la soluzione del terzo dei tre rompicapi tratti dal decimo nodo di A tngled tale. Nella serie mancherebbe ancora il secondo di questi tre rompicapi conclusivi, ma conto di pubblicarlo nelle prossime settimane, sia per concludere degnamente tutta la serie, sia per poterlo proporre direttamente al prossimo Carnevale della Matematica.
Il resto a domani con Scienza take away.

---

In apertura mio disegno colorato e leggermente modificato con Gemini

Paralipomeni di Alice: La cena dei figli

E' venuto il momento di fornire la soluzione del rompicapo con cui si conclude A tangled tale di Lewis Carroll e che vi avevo raccontato nella precedente puntata dei Rompicapi di Alice.
Dei tre figli di cui bisogna determinare l'età, sappiamo che uno a 21 anni, visto che è per festeggiare la sua maggiore età che si svolge la cena. Inoltre abbiamo alcune informazioni aggiuntive. Innanzitutto quando questa tradizione delle cene venne inaugurata, l'età di due dei figli era ugale a quella del terzo, quindi qualcosa del tipo

La fisica delle pecore

Una delle barzellete più note nel mondo della fisica, cui alcuni anni fa dedicò una vignetta l'oggi chiuso Abstruse Goose (la trovate su Alchetron) è dedicata alle mucche sferiche e di fatto è una metafora per raccontare come in certi ambiti, in particolare della fisica, si tende a una eccessiva semplificazione (oltre che alla forma mentis propria di molti fisici del voler approssimare tutto a qualcosa che abbia una simmetria sferica!).
Tale barzelletta si perde nella notte dei tempi accademici moderni: l'ecologo John Harte, nella prefazione del suo libro del 1985 dal significativo titolo di Consider a spherical cow, ricorda come la udì per la prima volta nel 1965 mentre era un laureando. La prima (o comunque una delle prime) testimonianza scritta relativa a questa battuta risale al 1970 un articolo di Arthur Williams Jr..
Da allora, però, i fisici hanno fatto passi da gigante e hanno capito che non sempre approssimare una mucca a una sfera è l'approccio pottimale per risolvere un problema, in particolare uno complesso, come appunto la dinamica di un gregge di pecore. Che però, per assurdo, può essere compresa se consideriamo le pecore... puntiformi!
Prima di arrivare a questo punto, però, permettetemi di partire dagli uccelli.

Matematica in vacanza #7: giugno-luglio 2026

Dopo l'edizione straordinaria di metà maggio maggio, torna matematica in vacanza nella sua usuale versione estiva.
E visto che alcuni articoli sono strettamente legati all'unico articolo extra-DropSea presente questo mese, inizierei proprio da Dinamica di un asteroide: un giallo astronomico!, il mio nuovo contributo alla rubrica delle Astrocuriosità dell'Osservatorio Astronomico di Brera.
In maniera quasi casuale, mi sono ritrovato a proseguire il discorso iniziato con l'Astrocuriosità di marzo in cui raccontavo alcuni contributi astronomici di Carl Friedrich Gauss, che peraltro è in qualche modo legato anche a Isaac Asimov e a James Moriarty, assurto alla gloria letteraria (e soprattutto cinematografica) per essere il nemico di Holmes.
Tra gli scienziati citati nell'articolo e nel video uscito per Brera è presente anche Srinivasa Ramanujan e gli ultimi due problemi presenti nei suoi blocchi degli appunti. Dimostrati praticamente un secolo dopo la stesura degli stessi, sono oggi noti come Il problema finale, chiaro omaggio al racconto che, nelle intenzioni di Arthur Conan Doyle sarebbe dovuto essere l'ultimo di Holmes.
Sempre nell'Astrocuriosità viene citato uno dei due appartenenti al club dei Baker Street Irregulars che ha convinto Asimov a scrivere un saggio sulla fantomatica Dinamica di un asteroide di Moriarty: è il matematico Banesh Hoffmann cui ho dedicato un WikiRitratto.

Tra giochi e matematica: dal numero di dio a sasso-carta-forbice

Oggi vi propongo un trittico di preprint matematici che "qualcosa" a che fare con i giochi. Iniziamo con...

God numbers for Graphs, Games and Groups

Il numero di dio del titolo è il numero massimo di mosse necessarie per risolvere il cubo di Rubik partendo da una qualsiasi configurazione. I ricercatori, utilizzando la teoria dei grafi, cercano di assiomatizzare e generalizzare il concetto di numero di dio anche per altri giochi come il 15, la torre di Hanoi e alcuni problemi semplici degli scacchi.

Optimal Play, Nontransitivity, and Nash Equilibria in Dice Bingo

Il bingo è un gioco d'azzardo simile alla nostra tombola. Il dice bingo è una sua versione diciamo un po' più complicata (e per certi versi più casuale) in cui si deve lanciare un dado. L'articolo di cui sopra esamina questa variante dal punto di vista matematico utilizzando catene di Markov per determinare la "cartella perfetta".
All'interno dell'analisi è stata scoperta l'esistenza di cartelle non-transitive, il che implica che, a parità di strategie, se la cartella A batte la B e la cartella B batte la C, è possibile che la cartella C batte la A. Proprio come in sasso-carta-forbice. A proposito del quale...

Seasonal Forcing in Rock-Paper-Scissors Population Dynamics

Il gioco di sasso-carta-forbice, meglio noto come morra cinese, è stato uno dei primi che ho imparato da bambino. Il gioco è di base piuttosto semplice: la carta batte il sasso, il sasso batte la forbice, la forbice batte la carta. La cosa interessante è che anche in nautra si trovano delle dinamiche tra specie molto simili a quelle della morra cinese: la specie A batte la B, la B batte la C, e la C batte la A. L'alternanza delle stagioni, però, introduce un elemento caotico all'interno di queste dinamiche da morra cinese, interessanti da approfondire nell'ottica del mantenimento della biodiversità.

---

Immagine d'apertura generata con Copilot

Rompicapi di Alice: Le età dei figli

Ci siamo quasi. Dopo aver affrontato il rompicapo dei reduci della battaglia di Trafalgar, affrontiamo il secondo dei tre rompicapi che cstituiscono il nodo 10 di A tangled tale. In effetti questo secondo rompicapo è quello conclusivo ed è un classico quesito sulla determinazione dell'età di tre individui.
Le informazioni per arrivare al risultato finale ce le fornisce il padre nel corso della cena (che tra l'altro riunisce tutti i protagonisti dei nove nodi precedenti). Innanzitutto sappiamo che all'inizio, un certo numero di anni prima:

(...) le età di due di voi insieme erano uguali a quella del terzo (...)

Poi alcuni anni più tardi

Le età di due di voi insieme erano il doppio del terzo.

Abbiamo anche due ulteriori informazioni. La prima è:

Il numero di anni che sono trascorsi dalla prima occasione è giusto i due terzi del numero di ghinee che vi diedi.

Nel corso delle riunioni familiari, infatti, il padre assegnava a ciascun figlio tante ghinee quanti erano gli anni di ciascuno.
La seconda informazione era che uno dei tre figli avrebbe raggiunto quell'anno la maggiore età, che a quell'epoca era fissata a 21 anni.
Usando questi soli dati, determinare le età dei tre figli.

---

Immagine di apertura generata con Gemini

WikiRitratti: Banesh Hoffmann

Isaac Asimov era entrato a far parte dei Baker Street Irregulars nel gennaio del 1973 con il titolo di The remarkable worm (il verme straordinario) dal racconto The Problem of Thor Bridge (Il problema di Thor Bridge).
In effetti non era stato Asimov a provare a entrare nel club degli sherlockiani fondato nel 1934 dal giornalista Christopher Morley, ma era stato in qualche modo "preso sotto assedio" da due suoi insigni componenti. Uno era lo scrittore britannico Michael Harrison, prolifico autore di saggi sherlockiani.
L'altro era Banesh Hoffmann, matematico e fisico teorico noto tra gli Irregulars con il titolo di The three students (da L'avventura dei tre studenti).
Hoffmann gli disse che Asimov era l'unico ad avere sia le competenze scientifiche, sia la capacità di scrittura adatta per affrontare il personaggio di Moriarty da un punto di vista astronomico e matematico rigoroso. La sifda che Hoffmann lanciò ad Asimov era quella di immaginare nel modo più plausibile possibile il contenuto del saggio di Moriarty, La dinamica di un asteroide, citato nel romanzo La valle della paura.
Lo stesso Hoffmann, per entrare nei Baker Street Irregulars, scrisse un racconto che, stando al titolo, sembrava avere un qualche riferimento alla fisica: Sherlock, Shakespeare, and the Bomb, pubblicato nel febbraio del 1966 sull'Ellery Queen's Mystery Magazine. Ciò che però lo aveva reso famoso fu Albert Einstein: Creator and Rebel, la biografia del grande fisico tedesco scritta a quattro mani con la segretaria di Einstein, Helen Dukas, e pubblicata nel 1972.

Paralipomeni di Alice: I reduci di Trafalgar

Ed è venuto il momento di vedere la soluzione del primo dei tre rompicapi che compongono il decimo nodo di A tangled tale di Lewis Carroll.
Ricapitolando, abbiamo i reduci della battaglia di Trafalgar ognuno con una menomazione: chi l'occhio, chi l'orecchio, chi il braccio, chi la gamba. Carroll ci chiede quale dovrebbe essere la percentuale minima di reduci tornata a casa con tutte e quattro le tipologie di ferite.
Per risolvere il quesito possiamo fare i classici conti della serva, un po' come fa lo stesso Carroll. Iniziamo facendo la somma delle percentuali che il matematico ci fornisce: 310.

Il problema finale

Più o meno nello stesso periodo (il 1914) in cui Arthur Conan Doyle scriveva La valle della paura, quarto e ultimo romanzo di Sherlock Holmes, Srinivasa Ramanujan iniziò a scrivere (era il 1913) una serie di lettere con diversi problemi matematici ad alcuni matematici dell'Università di Cambridge.
Dei molti cui scrisse, solo uno gli rispose: Godfrey Harold Hardy. Questi, con grandissima umiltà, aveva non solo compreso il grande talento matematico del giovane indiano, ma era anche conscio di non essere alla sua altezza.
Negli anni successivi fece di tutto per supportare Ramanujan, riuscendo anche a farlo arrivare in Inghilterra, per lavorare proprio a Cambridge. Da questa "collaborazione", in un arco di tempo relativamente ristretto, la matematica si arricchì di migliaia e migliaia di nuovi risultati (qualcosa come all'incirca 3900 risultati tra teoremi, equazioni e nuove identità).
Nel 1919, a causa di alcuni seri problemi di salute, Ramanujan tornò in India: morì all'incirca un anno dopo, il 26 aprile del 1920, all'età di 32 anni.

Le grandi domande della vita: Questione di dimensioni

A volte mi imbatto in domande curiose la cui prima risposta sarebbe quella di ignorarle, come per esempio quella relativa a Giove e al fatto che non orbita intorno al Sole.
Ovviamente Giove orbita intorno al Sole come tutti gli altri pianeti del Sistema Solare, ma c'è una particolarità nella sua orbita che potrebbe indurre a sostenere anche il contrario. La massa di Giove, infatti, è tale per cui il baricentro del sistema Sole-Giove si trova fuori dalla superficie del Sole, a una distanza che è appena un decimo del raggio solare. Ciò è dovuto essenzialmente alla sua massa e non tanto alle sue dimensioni, come suggerito nella domanda da cui sono partito, ma al di là di questo risultato, è comunque corretto sostenere che sia Giove a gravitare intorno al Sole e non il contrario.

Rompicapi di Alice: La battaglia di Trafalgar

La celebre battaglia di Trafalgar venne combattuta il 21 ottobre del 1805 dalla Royal Navy britannica contro una flotta franco-spagnola al largo del Capo Trafalgar, nell'Oceano Atlantico. A guidare le 27 navi della flotta britannica c'era l'ammiraglio Horatio Nelson, mentre dall'altro lato dello schieramento l'ammiraglio Pierre Charles Silvestre de Villeneuve aveva sotto i suoi ordini 33 navi da guerra.
Alla fine di quella sanguinosa battaglia, che vide anche la morte dello stesso Nelson, che stoicamente fino all'ultimo guidò i suoi uomini, all'oscuro della ferita mortale che aveva subito, la vittoria arrise alla Gran Bretagna. Mentre Nelson divenne un eroe postumo, molti dei suoi eroi ritornarono in patria con vari gradi di invalidità. Ed è proprio intorno ai vari gradi di invalidità dei reduci della battaglia di Trafalgar che ruota uno dei tre rompicapi proposti da Lewis Carroll nel decimo e ultimo nodo di A tangled tale.
In effetti nella finzione narrativa a proporre il rompicapo alla nipote Clara è Madd Mathesis:

Diciamo che il 70% ha perso un occhio, il 75% un orecchio, l'80% un braccio, l'85% una gamba: questo rende perfettamente l'idea. Ora, mia cara, qual è la percentuale minima di persone che ha perso tutti e quattro gli arti?

La soluzione si spera entro un paio di settimane.

---

Illustrazione d'artura generata con Gemini

Ritratti: Hertha Marks

Tra il 1830 e il 1831 in Polonia e in Lituania iniziano una serie di rivolte contro il giogo imperialista russo. A causa delle repressioni russe, molti polacchi fuggirono verso l'Europa. Tra questi profughi c'era Levi Marks, figlio di un oste ebreo polacco. Inizia a lacorare come orologiaio e gioielliere a Petworth, nel Sussex, dove sposò Alice Theresa Moss, figlia di Joseph Moss, commerciante ebreo di Portsea.
La coppia ebbe in totale otto figli, la terza dei quali, Phoebe Sarah Marks, nacque il 28 aprile del 1854. Dopo la morte del padre, nel 1861, mentre la madre era incinta dell'ottavo figlio, aiutò la madre nell'accudire i fratelli minori.
Ed è qui che arriva la prima persona importante nella vita di Phoebe: Marion Moss, sorella della madre.

Studiare in famiglia

Marion all'epoca era già sposata con il suo insegnante di francese, Alphonse Hartog, nel 1845. Insieme avevano aperto una scuola a Goodman's Fields, inoltre Marion scriveva poesie e articoli per il Jewish Chronicle. I due ebbero cinque figli, il maggiore dei quali, Numa Edward Hartog, divenne il primo ebreo a ricoprire la cattedra di matematica a Cambridge nel 1869. E fu proprio Marion a invitare la nipote ad andare a vivere da lei e studiare nella sua scuola. La madre Alice incoraggiò Phoebe a prendere una decisione che si rivelò fondamentale per la formazione della giovane, che studò nella scuola della zia dai nove ai sedici anni.
Nella scuola della zia imparò francese e musica, ma fu grazie ai cugini che imparò materie come matematica, scienze e latino.
A sedici anni iniziò a lavorare come governante a Londra, mandando quanto guadagnava alla madre per aiutarla con i fratelli. Nel frattempo continuava a frequentare la famiglia di Karl Blind, ebreo tedesco emigrato in Inghilterra. La figlia di Karl, Ottilie Hancock, divenne la migliore amica di Phoebe, e fu proprio quest'ultima a darle il soprannome di "Hertha".
L'origine del nome è un po' dibattuta: da un lato potrebbe essere dovuto all'eroina protagonista di una poesia di Algernon Charles Swinburne in cui venivano criticate le religioni organizzate; dall'altro c'è il romanzo del 1856 della scrittirce femminista svedese F Bremer. E' probabile, considerando l'agnosticismo di Herta Marks, che entrambe le ispirazioni abbiano contribuito a suggerire alla giovane di adottare il soprannome.
Ad ogni buon conto proprio la scrittrice Bremer ebbe una grand einfluenza nel movimento delle suffragette inglesi, in particolare Barbara Bodichon, cofondatrice del Girton College, che venne presentata a Herta proprio da Ottilie. E proprio grazie a Bodichon, affrontyò gli esami locali dell'Università di Cambridge per le scuole superiori.

Paralipomeni di Alice: Un giardino alla Carroll

Con colpevole ritardo arriva la soluzione del secondo rompicapo presentato nel nono nodo di A tangel tale di Lewis Carroll.
Come più o meno intuibile dall'immagine, il rompicapo prevede di determinare le dimensioni di un giardino costituito interamente da un sentiero che gira su se stesso come una spirale. Il sentiero è largo una iarda ed è lungo due miglia e mezzo furlong, dove il furlong corrisponde a 1/8 di miglio o 220 iarde, mentre il miglio corrisponde a 1760 iarde. Con queste ultime informazioni possiamo, quindi, ricavare la lunghezza del sentiero in iarde, ovvero 3630.
Inoltre sappiamo che la differenza tra lunghezza e larghezza del giardino è di appena mezza iarda.
Per risolverlo utilizziamo innanzitutto l'informazione che esso sia costituito quasi esclusivamente dal sentiero, e dunque l'area del sentiero coincide con quella del giardino, ovvero 3630 iarde quadrate. Se poniamo con \(x\) il lato più corto, allora per determinare le dimensioni del giardino basta risolvere la seguente equazione di secondo grado: \(x (x+1/2) = 3630\) Con pochi calcoli (ma in effetti anche senza!) si ricava velocemente che \(x=60\) e dunque i due lati del giardino sono 60 e 60.5.

---

L'immagine abbinata è stata generata con Copilot

Matematica in vacanza #6: aprile-maggio 2026

Quest'oggi il Carnevale della Matematica non è andato online, come ha spiegato .mau., per cui ritorna dopo una lunga pausa Matematica in vacanza. A volte, in effetti, succede che saltiamo un'edizione oltre a quelle estive, e questo è stato il caso.
Comunque, considerando che Matematica in vacanza manca dall'estate scorsa, ricordiamo per i più distratti, o per i nuovi, il senso di questo link post: un riassunto di quanto ho pubblicato sulla matematica nel corso del mese precedente, quello intercorso tra oggi e l'edizione di aprile del Carnevale. Inoltre, alla fine della rassegna dei post personali, come avevo fatto nell'edizione #5, segnalerò anche un paio di post dagli altri blog matematti.
Scritto ciò, iniziamo!

Rompicapi di Alice: Il giardino

Dopo la pubblicazione della soluzione del primo e del terzo rompicapo presenti nel nono nodo di A tangled tale di Lewis Carroll è venuto il momento di vedere il rompicapo intermedio che lo scrittore di Alice nel Paese delle Meraviglie ha proposto ai suoi lettori.
Il rompicapo lo troviamo espresso nel seguente scambio di battute tra Balbus e Hugh:

"Un mio amico possiede un giardino... molto grazioso, anche se non molto grande..."
"Quanto è grande?" chiese Hugh.
"È quello che dovete scoprire!" rispose Balbus allegramente. "Ti dico solo che ha una forma oblunga.. appena mezza iarda più lungo della sua larghezza... e che un vialetto di ghiaia, largo una iarda, inizia da un angolo e lo circonda completamente."
"Si ricongiunge a se stesso?" chiese Hugh.
"Non si ricongiunge a se stesso, giovanotto. Poco prima di farlo, gira un angolo e gira di nuovo intorno al giardino, costeggiando la prima parte e poi entrando di nuovo in quella, serpeggiando sempre più all'interno, e ogni giro tocca il precedente, finché non ha occupato tutta l'area."
"Come un serpente con gli angoli?" disse Lambert.
"Esattamente. E se lo percorri per intero, fino all'ultimo centimetro, rimanendo al centro del sentiero, sono esattamente due miglia e mezzo furlong. Ora, mentre tu scopri la lunghezza e la larghezza del giardino, io cercherò di risolvere l'enigma dell'acqua di mare."

Il furlong corrisponde a 1/8 di miglio o 220 iarde, mentre il miglio corrisponde a 1760 iarde. Ci si vede prossimamente con la soluzione!

---

L'immagine abbinata è stata generata con Copilot

Rompicapi di Alice: Di secchi d'acqua e laghi

Era dal nodo 2 (la soluzione) di A tangled tale di Lewis Carroll che non ci imbattevamo in Balbus e nei suoi compari. E finalmente eccoli tornare nel nodo 9, il penultimo. Siamo quindi in dirittura d'arrivo con questa lunga serie dei Rompicapi e dei Paralipomeni dedicata al libro di puzzle matematici dello scrittore di Alice nel paese delle meraviglie.
Anche in questa occasione, come per il nodo precedente (prima parte e soluzione, seconda parte e soluzione), siamo di fronte a più di un rompicap all'interno dello stesso racconto, nello specifico tre. Visto, però, che due di essi ricadono nello stesso argomento, realizzo un unico post per i primi due e un post successivo per il terzo. D'altra parte rispondere al primo dovrebbe rendere più semplice anche rispondere al secondo.

Paralipomeni di Alice: Un via vai di omnibus

Il secondo rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll raccontava di un omnibus che dalla città va verso la spiaggia. I nostri viaggiatori vengono raggiunti dall'omnibus proveniente dalla spiagga 12 minuti e mezzo dopo essere partiti dalla fermata in città. A quel tumpo la richiesta era quella di determinare dopo quanto tempo sarebbero stati raggiunti dal prossimo omnibus.
Per rispondere innanzitutto dobbiamo avere in mente che questo omnibus è quello che sarebbe partito dalla città 2 minuti e mezzo dopo quel primo incontro, quindi approssimativamente possiamo considerare il tempo di fermata nullo.
Per questo Paralipomeno non voglio, però, proporvi la soluzione di Carroll, ma una soluzione un po' più matematica (nel senso: con più formule!).
Quando omnibus e pedoni si incontrano, sono passati 12.5 minuti e si trovano in un dato punto \(y\) del tragitto, che diciamo sia lungo in totale \(a\). In quel momento, in particolare, all'omnibus servono altri 2.5 minuti per giungere alla fermata in città. Sapendo che le velocità dei pedoni e dell'omnibus si possono scrivere rispettivamente con le seguenti formule