I paralipomeni di Alice: Ritorno alla locanda

Come promesso alla fine della recensione di A tangled tale di Lewis Carroll, ho iniziato a proporvi nella rubrica dei Rompicapi di Alice i quiz matematici presenti in quella raccolta. Ho iniziato con il primo nodo, proponendo il rompicapo senza alcuna soluzione. Cosa che vi propongo nel post di oggi.
Date le velocità di percorrenza ricavabili dal testo di Carroll relative ai tratti in pianura, \(s_p\), salita, \(s_s\), e discesa, \(s_d\), possiamo scrivere le equazioni che ci permettono di ricavare i tempi di percorrenza: \[t_p = \frac{s_p}{4}, \; t_s = \frac{s_s}{3}, \; t_d = \frac{s_d}{6}\] Il tempo totale, che sappiamo essere di 6 ore, è quindi dato dalla somma dei tre tempi di cui sopra: \[\frac{3 s_p + 4 s_s + 2 s_d}{12}\] Facciamo una prima semplificazione, ricordando che il tempo totale percorso dai due ospiti della locanda è \(s = s_p + s_s + s_d\), e quindi: \[\frac{3s + s_s - s_d}{12} = \frac{3s}{12} = \frac{s}{4}\] dove si ricorda che lo spazio in salita e quello in discesa sono identici e quindi si annullano.
E come detto il tempo di percorrenza è pari a 6 ore, e quindi siamo in grado di calcolare quanto i due turisti hanno percorso: 24 miglia. Che poi è proprio la soluzione indicata da Carroll nella sua rubrica.
Per quel che riguarda l'arrivo in cima, considerando la mezz'ora di tolleranza che concede Carroll nel testo, si può ragionevolmente pensare che l'arrivo sia 3 ore e mezza dopo la partenza. Possiamo, però, fare un paio di calcoli. Considerando \(x\) come il tratto in pianuta e \(y\) il tratto in salita, il tempo del viaggio dell'andata sarà: \[t = \frac{1}{4} \left ( \frac{x}{2} \right ) + \frac{1}{3} y\] D'altra parte sappiamo che lo spazio percorso all'andata è dato da \[12 = \frac{x}{2} + y\] Sostituendo quest'ultima nell'equazione del tempo d'andata troviamo che \[t = \frac{1}{4} \left ( \frac{x}{2} \right ) + \frac{1}{3} \left ( 12 - \frac{x}{2} \right )\] che dopo alcun calcoli diventa la retta \[t = 4 - \frac{1}{24} x\] Sostituendo a \(x\) il valore di 12 miglia, ovvero considerando un percorso senza salite e discese, scopriamo che il viaggio d'andata in questo caso durerebbe 3 ore e mezza.
Non deve stupire il risultato nel caso estremo. Se infatti ragioniamo nello stesso modo per il ritorno otteniamo \[t = 2 + \frac{1}{24} x\] e quindi un tempo di ritorno, senza discesa, di 2 ore e mezza.
Estremi a parte, però, siamo abbastanza sicuri che qualunque soluzione intermedia, ricavata fissando lo spazio in pianura, risulta ragionevole visto che è vincolata dalla durata totale del viaggio, pari a 6 ore: la somma delle due durate è, infatti, esattamente 6. Questo vuol dire che la stima più ragionevole per la durata del viaggio d'andata dovrebbe essere di 3 ore e 15 minuti, essendo questo a metà tra l'estremo di 3 ore e mezza e l'estremo di 4 ore (ovvero la durata senza alcun tratto in pianura), migliorando così la pur ragionevole stima originale di Carroll!