Rompicapi di Alice: Il cambio di giorno

Come avevo anticipato nella soluzione del terzo rompicapo contenuto nel nodo 10 di A tangled tale di Lewis Carroll, il rompicapo centrale di quel decimo nodo sarebbe stato l'ultimo di questa lunga serie. La soluzione di questo rompicapo, però, ve la fornirò (o proverò a fornirvela) direttamente in questo post. Per definire il problema, però, andiamo a leggere il dialogo tra Balbus, Lambert e Hugh che avviene all'incirca a metà del racconto:

«Bene, ora, supponiamo che qui a Chelsea sia mezzanotte. Allora è mercoledì a ovest di Chelsea (diciamo in Irlanda o in America), dove la mezzanotte non è ancora arrivata; ed è giovedì a est di Chelsea (diciamo in Germania o in Russia), dove la mezzanotte è appena passata?»
«Certamente», ripeté Balbus. Persino Lambert annuì questa volta.
«Ma non è mezzanotte da nessun'altra parte; quindi non può esserci un cambio di giorno da un'altra parte. Eppure, se in Irlanda, in America e così via lo chiamano mercoledì, e in Germania, in Russia e così via lo chiamano giovedì, ci deve essere un posto – non Chelsea – dove i giorni sono diversi ai due lati. E il peggio è che le persone lì hanno i giorni nell'ordine sbagliato: hanno mercoledì a est e giovedì a ovest, proprio come se il loro giorno fosse cambiato da giovedì a mercoledì!»
«Ho già sentito questo enigma!» esclamò Lambert. «E vi spiego. Quando una nave fa il giro del mondo da est a ovest, sappiamo che perde un giorno nel suo conteggio: così, quando torna a casa e chiama quel giorno mercoledì, qui la gente lo chiama giovedì, perché abbiamo avuto una mezzanotte in più rispetto alla nave. E quando si fa il giro inverso si guadagna un giorno.»
«Lo so già», disse Hugh, in risposta a questa spiegazione non proprio chiara: «ma non mi è di aiuto, perché la nave non ha giorni veri e propri. In un senso si hanno più di ventiquattro ore al giorno, nell'altro meno: quindi ovviamente i nomi si sbagliano: ma le persone che vivono in un posto hanno sempre ventiquattro ore al giorno.»
«Suppongo che un posto del genere esista», disse Balbus pensieroso, «anche se non ne ho mai sentito parlare. E la gente deve trovare molto strano, come dice Hugh, avere il vecchio giorno a est e il nuovo a ovest: perché, quando arriva la mezzanotte, con il nuovo giorno davanti e quello vecchio alle spalle, non si vede esattamente cosa succede. Devo rifletterci su.»

Paralipomeni di Alice: Porcili matematici

Il rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll poteva essere tradotto, in termini un po' più matematici, come segue:

Trovare una serie di 4 numeri tali che il successivo è più vicino al 10 rispetto a quello precedente. Inoltre il primo numero deve essere più vicino al 10 rispetto al quarto. Infine la somma dei quattro numeri deve essere 24.

Se esaminiamo matematicamente il rompicapo scritto in questo modo, abbiamo dal primo vincolo che \[d(n_1) > d(n_2) > d(n_3) > d(n_4)\] dove \(d(n_i)\) è la distanza dell'i-esimo numero da 10.
Messa così ci sono diverse soluzioni. Per esempio 3, 5, 7, 9.

• 5 è più vicino a 10 rispetto a 3: le rispettive distanze sono 5 e 7.
• 7 è più vicino a 10 rispetto a 5: le rispettive distanze sono 3 e 5.
• 9 è più vicino a 10 rispetto a 7: le rispettive distanze sono 1 e 3.
• La somma dei 4 numeri è 24.

Paralipomeni di Alice: Il party per l'anno nuovo

La prima cosa che devo confessare è che il Rompicapo natalizio me lo sono fatto generare da Gemini. E la soluzione di quel Rompicapo ci dice tanto su Gemini e le attuali intelligenze artificiali conversazionali. Andando a risolvere, infatti (e se lo avessi fatto prima di pubblicare sarebbe stato meglio), si scopre che quel rompicapo non ha soluzione. Gli indizi del gioco di logica, infatti, sarebbero dovuti essere i seguenti:

• Ognuno ha portato un regalo diverso: una sciarpa, un libro, una tazza e un set di colori.
• Nessuno ha ricevuto il regalo che ha portato.
• La Lepre Marzolina ha portato la sciarpa, ma non ha ricevuto il libro.
• Il Ghiro ha ricevuto la tazza.
• Il Cappellaio ha ricevuto il regalo portato da chi ha ricevuto il set di colori.
• Il Cappellaio Matto ha portato il libro.

In questo modo si vede agilmente, utilizzando il classico schema dei rompicapi logici, che il set di colori lo ha portato il Ghiro (cosa che era possibile determinare anche con l'indizio errato), mentre è il Cappellaio colui che ha ricevuto la sciarpa. Il problema, infatti, era proprio il penultimo indizio.
Innanzitutto, quindi, mi scuso per il rompicapo errato che vi ho proposto: avevo fretta di trovare un gioco divertente a tema natalizio, ma anche carrolliano nello spirito (ma non solo: conto di approfondire la faccenda in una futura puntata dei Rompicapi). Per il futuro cercherò di non affidarmi troppo alle I.A. per la produzione di eventuali giochi e rompicapi originali.
Detto ciò, anche se in ritardo, eccovi ufficialmente un...

Buon anno!

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Immagine d'apertura generata con Gemini e pubblicata su NightCafe

Rompicapi (natalizi) di Alice: Lo scambio dei doni

Lo so: in questo periodo la serie dei Rompicapi di Alice è impegnata con i nodi tratti da A tangled tale di Lewis Carroll, però mi piaceva proporre un rompicapo a tema natalizio. Per renderlo carrolliano, anche se non esattamente ideato dallo scrittore di Alice, ho deciso di usare i quattro protagonisti del famoso tea party, il Cappellaio Matto, la Lepre Marzolina, il Ghiro e Alice.
I nostri hanno deciso di scambiarsi i doni per Natale, così si vedono nella radura in mezzo al bosco per un té natalizio, quattro chiacchiere e lo scarto dei regali. Le informazioni che abbiamo riguardo il party sono le seguenti:

• Ognuno ha portato un regalo diverso: una sciarpa, un libro, una tazza e un set di colori.
• Nessuno ha ricevuto il regalo che ha portato.
• La Lepre Marzolina ha portato la sciarpa, ma non ha ricevuto il libro.
• Il Ghiro ha ricevuto la tazza.
• Alice ha ricevuto il regalo portato da chi ha ricevuto il set di colori.
• Il Cappellaio Matto ha portato il libro.

Chi ha portato il set di colori e chi ha ricevuto la sciarpa?
Ovviamente la soluzione uscirà, come per i nodi, in un Paralipomeno apposito.
Nel frattempo...

Buon Natale!

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Immagine di apertura generata da Gemini e pubblicata su Nightcafe

Paralipomeni di Alice: Valutare quadri

Dopo una lunga attesa, arriva finalmente la soluzione del rompicapo del nodo 5 di A tangled tale di Lewis Carroll. La sfida prevedeva valutare dei quadri con una serie di croci e cerchi da assegnare secondo alcuni determinati vincoli.
Seguendo i vincoli, la soluzione per le croci è la seguente (le X tra parentesi sono opzionali):

Allo stesso modo per i cerchi si avrà:

Mettendo le due soluzioni insieme si ottiene quella del problema completo:

Rompicapi di Alice: Sfida a Burlington House

Dopo la sfida dei treni (qui la soluzione), ritroviamo l'arzilla signora nota come Mad Mathesis e la nipote Clara mentre si dirigono verso Burlington House, uno storico palazzo di Londra eretto intorno al 1664. All'epoca del racconto, tra il 1880 e il 1885, era ospitata tra le sue sale la Royal Academy of Arts, che aveva preso sede lì sin dal 1867. Negli anni successivi altre grandi istituzioni si unirono alla Royal Academy of Arts all'interno di Burlington House: oggi trovano sede lì anche la Geological Society of London, la Linnean Society of London, la Royal Astronomical Society, la Society of Antiquaries of London e la Royal Society of Chemistry.
Le due protagoniste del quinto nodo di A tangled tale di Lewis Carroll, però, erano interessate all'esposizione di quadri della Royal Society of Arts e questo per poter portare a compimento una sfida piuttosto particolare proposta da Madd Mathesis.

Topolino #3649: Paperino fritto misto

Si potrebbe ridurre la storia d'apertura, Paperino e il flagello degli otto mari, a come lo descrive Cormorano Teach, scrittore e avventuriero:

Mi piace come sei... un fritto misto di fifa e ardimento!

La forza di questa frase è come riesce a sintetizzare in poche parole il personaggio di Paperino e la sua storia, fatta di avventure a solo in cui mostra un coraggio inusitato e di altre, spesso urbane, in cui il timore, dell'ingonto in generale, lo frena inevitabilmente. D'altra parte Marco Nucci aveva girato intorno a questo concetto in altre storie del passato di Paperino, e questa avventura in due tempi, infarcita come sempre da gustosissime running gag, è indubbiamente quella in cui si avvicina di più al Paperino "multidimensionale" di Carl Barks.
Ai disegni, però, troviamo un fabrizio Petrossi in grande forma che, per questa storia particolare, che si merita anche la prima delle due variant cover lucchesi (ordinata: in attesa che arrivi!), esibisce lo stile adottato nelle storie realizzate per la Glenat, molto dinamico e con un occhio particolare all'animazione.
Se poi a questo aggiungiamo gli omaggi, i rimandi e le strizzate d'occhio di Nucci alla letteratura d'avventura di genere marinaresco (su tutti L'isola del tesoro), il risultato finale è una gran bella storia!

Paralipomeni di Alice: Tutti in salotto!

Proseguiamo con le soluzioni tratte dai racconti matematici che costituiscono A tangled tale di Lewis Carroll. Nel secondo nodo abbiamo incontrato un rompicapo in qualche modo vacanziero: tre amici, infatti, hanno trovato 4 alloggi interessanti che si affacciano su una piazza quadrata. L'idea è scegliere uno di questi 4 alloggi come soggiorno, in particolare quello che li costringe a camminare di meno.
Per procedere con la soluzione mi sono detto: perché non utilizzare i messi moderni, come per esempio geogebra?
Ciò su cui bisogna fare maggiore attenzione è posizionare correttamente le porte, ricordando che queste sono 20 e suddividono il quadrato in 21 parti uguali. Avendo in mente ciò, e ricordando che le stanze visitate sono ai numeri 9, 25, 52 e 73, graficamente avremo una soluzione del tipo:

Rompicapi di Alice: Una piazza perfettamente quadrata

Continuo a presentarvi i rompicapi tratti da A tangled tale di Lewis Carroll con la struttura testo del rompicapo dentro i Rompicapi di Alice e soluzione dentro i Paralipomeni di Alice. Questa struttura, in effetti, è perfetta per questo periodo estivo e così, dopo il primo nodo e la sua soluzione, eccoci al secondo nodo.
I protagonisti del racconto matematico sono Balbus, Hugh e Lambert. I tre si trovano a Little Mendip, una stazione termale molto rinomata, e quindi piena di alloggi fino all'orlo, però girovagando trovano che in una piazza quadrata si trovano delle acconce dimore (in pratica dei bed&breakfast, come diremmo oggi!). La piazza è costituita da 20 palazzine per lato e ciascun lato è suddiviso in 21 parti uguali.
I tre visitano quattro stanze differenti, tutte sul retro delle case e con vista sull'orto! Le stanze visitate sono la n.9, 25, 52, 73. Balbus vuole prendere tutte e quattro le stanze, una per usarla come soggiorno e le altre tre come camere da letto. La domanda che quindi pone ai suoi giovani compagni è quindi:

Su un errore di Godel

Kurt Godel in un testo del 1930 scrisse:

Se il teorema di completezza potesse essere dimostrato anche per le parti superiori della logica (il calcolo funzionale esteso), allora si potrebbe dimostrare in assoluta generalità che la completezza sintattica deriva dal monomorfismo; e poiché sappiamo, per esempio, che il sistema di assiomi di Peano è monomorfico, da ciò deriverebbe la risolubilità di ogni problema di aritmetica e analisi esprimibile nei Principia mathematica.
Una tale estensione del teorema di completezza è, tuttavia, impossibile, come ho recentemente dimostrato (...). Questo fatto può anche essere espresso così: il sistema di assiomi di Peano, con la logica dei Principia mathematica aggiunta come sovrastruttura, non è sintatticamente completo.

In questo caso Godel si riferisce in particolare al suo teorema di completezza, che stabilisce una corrispondenza tra validità logica e dimostrabilità logica nella logica del primo ordine, che è sostanzialmente una logica proposizionale (fatta di proposizioni e connettivi logici), con l'aggiunta di quantificatori esistenziali (esiste x) e universali (per ogni x), predicati, funzioni, costanti e variabili.

Attraverso lo specchio

Nonostante conoscessi la storia contenuta nel seguito di Alice nel paese delle meraviglie, e anzi avessi letto diversi passi soprattutto grazie a Il libro dei rompicapi di Alice di John Fisher, non avevo mai affrontato la lettura integrale di Attraverso lo specchio. Mi era rimasto, però, il rimpianto di non aver acquistato l'ultima edizione italiana di The Annotated Alice di Martin Gardner risalente, se la memoria non mi inganna, a una quindicina di anni fa, quando ero appena arrivato a Milano. Per cui quando al Bookpride mi sono ritrovato di fronte all'edizione tascabile di Attraverso lo specchio di Alter ego non ho saputo resistere e l'ho acquistata.
L'edizione in oggetto, con la traduzione di Silvio Spaventa Filippi del 1914 riadattata dall'editore, non presenta il testo a fronte in inglese (e su questo si può anche soprassedere, anche se è un peccato visti i giochi di parole di cui è ricco questo seguito del Paese delle meraviglie), ma non può nemmeno essere considerata completamente aderente all'edizione originale, non solo per l'assenza delle illustrazioni originali di John Tenniell, ma soprattutto per l'assenza di qualsiasi riferimento alla partita a scacchi su cui si basa l'intero svolgimento dei capitoli.

Matematica, lezione 42: Computer

42 è la risposta fondamentale alla domanda fondamentale. Il problema è che la domanda è andata perduta e va dunque ritrovata. Su questo caposaldo umoristico si fonda Guida galattica per autostoppisti di Douglas Adams, diventato un mantra, più che un meme, per tutti gli appassionati di questa saga. Grande protagonista di questa ricerca fondamentale è Pensiero Profondo, il computer preposto a trovare la risposta. Ma, appunto, non la domanda.
Allo stesso modo il nuovo volume di Paolo Caressa è dedicato al rapporto tra la matematica e il computer e chissà, magari la scelta di far uscire proprio questo titolo come 42.ma uscita della collana è proprio ispirato a questo legame con il 42. A usare questo legame pop, però, non è Caressa nel suo testo, ma il buon Maurizio Codogno, che nei giochi matematici prosegue con quanto iniziato sul volume precedente, ovvero la spannometria. Veniamo, però, al testo principale di Caressa.

Matematica, lezione 37: Filosofia

Dopo i due volumi precedenti, non esattamente molto apprezzati, dedicati ai giochi combinatori e all'analisi di Fourier, attendevo Matematica e filosofia carico di aspettative, che Paolo Caressa, già autore del volume dedicato alla logica (ma non solo), ha completamente distrutto.
Devo essere onesto: mi aspettavo qualcosa di molto simile al Teorema di Pitagora di Paolo Zellini e invece mi trovo di fronte a un ineccepibile libro sui fondamenti logici della matematica, quindi sui teoremi di incompletezza di Godel. Il volume, quindi, non sviluppa il tema principale, che da il titolo allo stesso, ma si concentra su alcuni aspetti logici che sì, possono anche passare per filosofia della matematica, ma non certo per filosofia o per quel che ci si sarebbe ragionevolmente dovuti attendere, ovvero il rapporto tra matematica e filosofia.

Una lettera d'amore algoritmica

Prima dei text-to-image generator e dei text-to-music generator (di questi ultimi ne parleremo presto) c'erano i semplici text generator. Cose tipo i "semplici" generatori di frasi di questo o quel politico o dei raffinati generatori di articoli scientifici (non ricordo se quello deputato alla matematica o quello alla fisica fu usato per generare un articolo poi sottomesso a una rivista scientifica). Molti di questi progetti mettevano a disposizione i loro algoritmi e, soprattutto, i loro dizionari.
Il loro funzionamento era abbastanza semplice: la logica del software implementava la grammatica, che poi assemblava le parole presenti nel dizionario secondo quelle regole. Più era raffinata la logica, più ricco era il dizionario e più credibili i risultati prodotti.
Ciò che forse è ancora meno noto rispetto a questo genere di programmi è chi programmò il capostipite di tutto: Christopher Strachey, il giovane studente diventato presto assistente e amico di Alan Turing che abbiamo incontrato un po' di tempo fa quando ho raccontato dei primi suoni mai prodotti da un computer.
E quel primo algoritmo da cui possiamo dire che tutto iniziò era un love letter generator!

Matematica, lezione 4: Gli insiemi

Dopo il secondo volume sulla logica, Paolo Caressa torna a raccontarci qualcosa sulla teoria degli insiemi, che in realtà è strettamente connessa proprio alla logica.
Questo legame, generalmente, non viene mai raccontato negli usuali programmi scolastici, e anche all'università, a meno di non intraprendere il percorso di studi della matematica, viene raramente approfondito. Il formalismo che conduce il lettore attraverso tutte le pagine è ovviamente quello introdotto nel secondo volume, di cui questo è un ideale completamento. E come quello non ha la pretesa di essere esaustivo (in questo caso agli interessati consiglierei Tutto, e di più di David Foster Wallace), però ci sono alcuni punti decisamente molto interessanti a partire dai due numi tutelari del libro, Giuseppe Peano e Georg Cantor, senza dimenticare quel "rompiscatole" di Kurt Godel. A questi tre grandi matematici non può che aggiungersi a un certo punto anche Ernst Zermelo con i suoi due fondamentali risultati de il teorema della scelta e il teorema del buon ordinamento.
In effetti, nella costruzione logica utilizzata da Caressa, il teorema della scelta viene indicato come assioma, visto che da esso è possibile dimostrare quello del buon ordinamento, ma come lo stesso autore fa notare, se si adotta il buon ordinamento come assioma, da questo discende il teorema della scelta (che poi quest'ultima era la scelta adottata da Cantor nello sviluppo della sua teoria degli insiemi). Questa apparente ambiguità è diretta conseguenza dell'incompletezza della matematica, così come venne dimostrato da Godel.

Matematica, lezione 2: La logica

Dopo l'esperienza del primo volume, sono stato fortemente tentato di non dare nemmeno la classica seconda occasione alla serie, ma poi il richiamo della logica matematica, argomento di questa seconda uscita, è stato più forte di tutto e così eccomi qui a raccontarvi qualcosa sul testo di Paolo Caressa.
L'argomento di questa uscita non è certo esattamente semplice per il lettore medio che transita dall'edicola, ma Caressa, abbracciando la filosofia dell'intera collana, adotta un approccio molto interessante che, pur non rinunciando al formalismo e a quel minimo di dimostrazioni necessarie per far comprendere il pensiero logico matematico, riesce a fornire gli elementi essenziali di logica che, si spera, possono permettere al lettore di non abusare del classico ma è logico!, che mi pare sia utilizzato un po' da tutti un po' a sproposito.
L'aggiunta poi dei problemi ricreativi di Maurizio Codogno completa il quadro, insieme con gli esercizi più formali, di una disciplina sì difficile, ma che viene qui presentata come un po' più alla portata di tutti. Inoltre i pochi elementi di storia della logica permettono anche di chiarire come, in effetti, la logica in realtà sia stata patrimonio dei matematici in tempi molto antichi e solo la perdita di molti testi di questo genere ha reso la disciplina preda dei filosofi.

Rompicapi di Alice: L'uovo e la gallina

via commons

Mi sono sempre chiesto se Lewis Carroll abbia mai trovato una risposta a uno dei paradossi più famosi di tutti i tempi, È nato prima l'uovo o la gallina?
In effetti Carroll nacque nel 1832, quindi era in vita quando Charles Darwin mandò alle stampe L'origine della specie nel 1859. Inoltre se prendiamo in considerazione l'episodio di Alice e della Regina Rossa in Attraverso lo specchio, datato 1871, saremmo portati a concludere che non solo Carroll conosceva l'opera di Darwin, ma l'aveva compresa e ne era anche un estimatore. Per cui probabilmente la sua risposta sarebbe stata: l'uovo.
Facciamo, però, un passo indietro: il paradosso venne formulato per la prima volta nei Saturnalia del 430, opera letteraria e filosofica di Ambrogio Teodosio Macrobio. E anche quest'ultimo concorda con la risposta di cui sopra. Il punto interessante del passo in cui fornisce una spiegazione della sua risposta risulta particolarmente moderno e molto vicino proprio alla teoria dell'evoluzione:

Solo tu puoi decidere

Riprendiamo il nostro percorso attraverso Into the electric castle, terzo album degli Ayreon, il progetto musicale di Arjen Anthony Lucassen. Con questo concept album Lucassen passa a un livello di scrittura molto più complesso e raffinato, non solo musicalmente, come abbiamo già visto nelle due puntate precedenti, ma anche narrativo. Con la quinta traccia, The decision tree (we're alive), i personaggi debbono decidere del loro destino

Ah, my friends! So light of foot. So swift. You have come this far. And now - here beneath the
ancient, omniscient boughs of the Decision Tree - one of you must depart this world of flesh.
Only seven may continue. Only you can decide...

Il titolo viene preso in "prestito", non so quanto consapevolmente, dal così detto albero delle decisioni, un particolare diagramma di flusso che viene utilizzato come supporto per prendere decisioni. E' uno strumento utilizzato per valutare le possibili conseguenze di determinate scelte. In altri termini è un modo per visualizzare un algoritmo costituito esclusivamente da istruzioni di tipo condizionale (cose del tipo se... allora...).

I paralipomeni di Alice: In piedi come un uovo

Come promesso, anche se con un certo ritardo rispetto a quanto pensavo, arrivano le soluzioni dei Rompicapi dedicati alle uova e ispirati a Cristoforo Colombo.
Nel primo bisognava disporre nove uova in modo da formare il numero maggiore possibile di file, ciascuna costituita da tre uova. Di seguito la disposizione con le linee di congiunzione che mettono in evidenza 9 delle 10 file possibili:

I rompicapi di Alice: In piedi come un uovo

La pecora prese i soldi e li mise in una scatola: quindi disse: "Non metto mai la merce in mano ai clienti, non sta bene: devi prenderla da te". Detto ciò, andò dall'altra parte del negozio e mise l'uovo in piedi su uno scaffale.

- da Attraverso lo specchio di Lewis Carroll

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La leggendaria impresa di Cristoforo Colombo, riuscire a mettere fermo e in piedi un uovo, venne tramandata fino a noi grazie a uno scritto del 1565 di Girolamo Benzoni. L'esploratore, nonché storico, ricorda come Colombo sfidò alcuni nobili spagnoli a lasciare dritto sul tavolo un uovo, vincendo la scommessa semplicemente schiacciando in maniera leggera la base più larga dell'uovo. Esistono, però, anche altri metodi per ottenere lo stesso risultato. Ad esempio agitando l'uovo, in modo tale che il contenuto si amalgami e il centro di gravità totale diventi più stabile. Oppure si posiziona sul tavolo un mucchietto di sale, al cui centro si pone l'uovo. Quindi si toglie il sale poco alla volta utilizzando uno spazzolino con setole fini, fino a che non resta così poco sale da essere praticamente invisibile.
Intorno all'uovo di Colombo, usato più che altro come contesto narrativo, Sam Loyd sviluppò alcuni interessanti rompicapi. Ve ne presento tre, due tratti dal secondo volume dei Passatempi matematici curato da Martin Gardner e un terzo tratto da Il libro dei rompicapi di Alice di John Fisher (che tra l'altro da il nome a questa serie di articoletti). Iniziamo dai rompicapi che il piccolo Tommy propone a Re Cervellone.