Paralipomeni di Alice: Un giro sul treno

via pixels.com rielaborato graficamente con Canva

Dopo un'attesa di un mese, eccoci finalmente a discutere la soluzione del terzo nodo di A tangled tale di Lewis Carroll.
La lunga attesa è dovuta a due motivi: per prima cosa voler iniziare a coordinare i Rompicapi tratti dal libro di Carroll con il Carnevale della matematica, nel dettaglio farli uscire prima dell'edizione successiva, mentre le soluzioni solo dopo, dando così tempo a coloro che vengono a conoscenza del rompicapo tramite il Carnevale di poter trovare una soluzione.
Il secondo motivo è strettamente legato al rompicapo in questione: il mio cruccio era trovare una soluzione da fisico. E questo perché la fisica nella soluzione di Carroll non c'è, o se preferite è molto ben nascosta. La sua soluzione, infatti, recita così:

I treni in una direzione impiegavano 180 minuti, nell'altra 120. Prendiamo il minimo comune multiplo, 360, e dividiamo la ferrovia in 360 unità. Quindi, un gruppo di treni viaggiava alla velocità di 2 unità al minuto e a intervalli di 30 unità; l'altro alla velocità di 3 unità al minuto e a intervalli di 45 unità. Un treno che parte da est ha 45 unità tra sé e il primo treno che incontrerà: ne percorre 2/5 mentre l'altro ne percorre 3/5, incontrandolo così alla fine 18 unità, e così via per tutto il percorso. Un treno che parte da ovest ha 30 unità tra sé e il primo treno che incontrerà: ne percorre 3/5 mentre l'altro ne percorre 2/5, incontrando così alla fine 18 unità, e così via per tutto il percorso. Quindi, se la ferrovia viene divisa, con 19 pali, in 20 parti, ciascuna contenente 18 unità, i treni si incontrano a ogni palo e, in (1), ogni viaggiatore supera 19 pali nel suo giro, incontrando quindi 19 treni. Ma, in (2), la viaggiatrice orientale inizia a contare solo dopo aver percorso 2/5 del percorso, cioè al raggiungimento dell'ottavo palo, e quindi conta 12 pali: analogamente, l'altra ne conta 8. Si incontrano alla fine dei 2/5 di 3 ore, o dei 3/5 di 2 ore, cioè 72 minuti.

Proviamo, però, a ragionare utilizzando la fisica, ovvero utilizzando l'equazione che definisce la velocità: \[v = \frac{s}{t}\] Avendo questa in mente è abbastanza semplice scoprire che, detto \(s\) il percorso totale dei treni, il treno che viaggia verso ovest percorrerà ogni quarto d'ora una distanza pari a \(\frac{s}{8}\), mentre quello diretto verso est, che è più lento, percorrerà una distanza pari a \(\frac{s}{14}\).
A quel punto, interessanto a dimostrare o confutare (approssimativamente) le soluzioni di Carroll, per semplicità ho scelto una lunghezza del percorso totale che fosse un minimo comune multiplo tra 8 e 14, ovvero 56. Questo implica che: \[s_E (15 \, min) = 4\] \[s_O (15 \, min) = 7\] In questo modo è semplice verificare, utilizzando una tabellina, che nel secondo caso (conteggiare i treni solo dopo che quelli partiti contemporaneamente dalla stazione si sono incontrati lungo il percorso) il treno diretto verso est incontrerà un numero maggiore di treni rispetto a quello diretto verso ovest.
Nel primo caso, invece, ho ragionato prima mettendomi sul treno verso ovest e poi sul treno verso est. Iniziamo:
Quando il treno verso ovest partirà, chè un treno verso est che si trova a un quarto d'ora dall'arrivare in stazione. Ovvero avrà 4 unità da percorrere. Risolvendo l'incontro tra i due treni come un classico esercizio di fisica delle superiori, si vede che al momento dell'incontro il treno diretto verso ovest ha percorso all'incirca 2.5 unità e dunque gli restano 53.5 unità da percorrere. E incontrerà un treno ogni 2.5 unità, e questo perché a ogni incontro c'è un treno diretto verso est a un quarto d'ora da lui. In totale incontrerà all'incirca 22 treni, incluso il primo.
Stesso discorso vale per il treno verso est, con l'unica differenza che l'intervallo iniziale sarà di 7 unità. A conti fatti, però, il treno verso est incontrerà il treno verso ovest dopo aver percorso 2.5 unità e dunque, come prima, incontrerà nel suo percorso all'incirca 22 treni.
Alla fine, anche ragionando "da fisici" (ovvero partendo dalla legge del moto) abbiamo ritrovato le soluzioni di Carroll, dimostrando che, seppur nascosta, la fisica si trova anche nella sua soluzione. Cosa che non ci dovrebbe stupire visto che la legge del moto è comunque una legge di proporzionalità matematica, in un ciclo di influenze reciproche che dura ancora oggi!