Su un errore di Godel

Kurt Godel in un testo del 1930 scrisse:

Se il teorema di completezza potesse essere dimostrato anche per le parti superiori della logica (il calcolo funzionale esteso), allora si potrebbe dimostrare in assoluta generalità che la completezza sintattica deriva dal monomorfismo; e poiché sappiamo, per esempio, che il sistema di assiomi di Peano è monomorfico, da ciò deriverebbe la risolubilità di ogni problema di aritmetica e analisi esprimibile nei Principia mathematica.
Una tale estensione del teorema di completezza è, tuttavia, impossibile, come ho recentemente dimostrato (...). Questo fatto può anche essere espresso così: il sistema di assiomi di Peano, con la logica dei Principia mathematica aggiunta come sovrastruttura, non è sintatticamente completo.

In questo caso Godel si riferisce in particolare al suo teorema di completezza, che stabilisce una corrispondenza tra validità logica e dimostrabilità logica nella logica del primo ordine, che è sostanzialmente una logica proposizionale (fatta di proposizioni e connettivi logici), con l'aggiunta di quantificatori esistenziali (esiste x) e universali (per ogni x), predicati, funzioni, costanti e variabili.

Matematica, lezione 27: La geometria algebrica

Ottavio Rizzo mi ha conquistato sin dalle prime righe del primo capitolo, dedicato alle coniche. Infatti La geometria algebrica, 27.mo voòume della collana Matematica allegata a Gazzetta dello Sport, ruota intorno allo studio delle coniche sotto un punto di vista differente rispetto a quanto visto nel 16.mo volume dedicato alla geometria analitica. E questo punto di vista, per quanto si basi anche sulle equazioni già viste in quel volume, e quindi abbia un attacco decisamente molto abbordabile, è decisamente molto differente, e per certi versi, quando lo si inizia ad assimilare, e quindi ad apprezzare, è anche più semplice.
Per esempio, se ci poniamo sul piano proiettivo, potremmo automaticamente concludere che tutte le coniche, inclusa la parabola, sono equivalenti a una circonferenza! Sembra quasi la formalizzazione matematica del concetto platonico del "mondo delle idee". Per sinstetizzare, secondo Platone, all'interno di questo mondo c'è un'unico cerchio (o circonferenza, o sfera se andiamo sulle 3 dimensioni) e tutti gli altri cerchi non sono altro che delle copie di questo cerchio, che quindi è da considerarsi quello reale.

Storie senza tempo

L'idea di Abraham Flexner quando nel 1930 fondò, insieme con Louis Bamberger e Caroline Bamberger Fuld, l'Institute for Advanced Study a Princeton, era quella di realizzare un luogo in cui gli scienziati potessero dedicarsi alla ricerca nei campi fondamentali senza alcun pensiero accessorio, inclusa la didattica, che non era obbligatoria.
La ricerca dei migliori talenti da portare all'IAS venne affidata a Oswald Veblen, che Flexner aveva sottratto alla vicina Università di Princeton, fino ad allora il principale istituto accademico della città. Il gran lavoro di Veblen in giro per il mondo diede ben presto i suoi frutti, anche grazie all'avanzare di nazifascismo in Europa: così scienziati del livello di Hermann Weyl, John von Neumann e soprattutto Albert Einstein trovarono un punto di riferimento per fuggire dai venti di guerra e dall'intolleranza crescente in Germania e nel resto del Vecchio Continente. E fu proprio all'IAS che Einstein intrecciò l'amicizia più profonda e sincera della sua vita, quella con il logico e matematico Kurt Gödel.
Un mondo senza tempo del filosofo Palle Yougrau prende spunto proprio da questa amicizia, per raccontare la vita dei due scienziati e, in particolare, recuperare la figura di Godel, riportando nella giusta dimensione i suoi contributi a logica, matematica, fisica e filosofia, inquadrando soprattutto in quest'ottica i risultati ottenuti nel campo della relatività generale di Einstein.

Le grandi domande della vita: Alan Turing

Oggi, 23 giugno, ricorrono i 105 anni dalla nascita di uno dei più noti e importanti matematici del XX secolo. Ed è stato allora più che naturale dedicargli la puntata odierna de Le grandi domande della vita!

Girasoli

Della serie di Fibonacci ho scritto anche abbastanza di recente, ma oggi è il caso di ritornarci, visto che uno degli ultimi lavori di Alan Turing era dedicato alla serie numerica e alla sua presenza in natura, in particolare nella struttura delle piante⁽¹⁾: si potrebbero considerare gli sforzi di Turing come uno dei più importanti tentativi per rispondere al perché la sequenza si ripete in natura.
Il problema era noto come la fillotassi di Fibonacci e può essere definito come segue:

Le forme a spirale sulle teste dei girasoli sembrerebbero seguire la sequenza di Fibonacci, suggerendo la proposta di Turing che studiando i girasoli potremmo capire meglio come crescono le piante

Turing scrisse il suo interesse in ua lettra allo zoologo JZ Young:

Riguardo il punto (iii), Turing scrisse in un’altra lettera:

a nostra nuova macchina sta per arrivare lunedì. Spero di fare qualcosa riguardo alla “chimica embiologica”. In particolare penso di poter dare conto della comparsa dei numeri di Fibonacci in connessione con rappresentare l’aspetto dei numeri di Fibonacci in connessione con le pigne.⁽¹⁾

Nel 2012 Jonathan Swinton, durante il Manchester Science Festival che si tiene ad ottobre, annunciò i risultati del grande esperimento sui girasoli di Turing:

Paradosso cosmico

The Time Machine at the End of the World, di Les Edwards
via ahiddenworld.tumblr.com

Come tutti i generi, anche la fantascienza in ultima analisi è interessata a parlare dell'essere umano. In particolare, come ricorda Isaac Asimov, parla dell'essere umano contemporaneo, nascondendo il messaggio dietro una rappresentazione meravigliosa, dietro un sense of wonder dovuto a progressi scientifici inimmaginabili.
I due progressi scientifici che muovono la maggior parte della fantascienza (non sono gli unici, per fortuna), sono i viaggi interplanetari e i viaggi nel tempo. In quest'ultimo filone, il romanzo più noto è indubbiamente La macchina del tempo (1895) di George Wells, ma non è il primo viaggio nel tempo letterario propriamente detto. In effetti nel Mahabharata, testo mitologico indiano, viene raccontata la storia del re Revaita, che viaggia in molti mondi fino a raggiungere Brahma il creatore: una volta tornato a casa, scoprì che nel frattempo sulla Terra erano trascorsi centinaia di anni. Come scrive Bertil Falk, aveva evidentemente innescato una dilatazione del tempo einsteiniana⁽⁹⁾.

Auguste Blanche

Questa sorta di intuizione sulla dilatazione temporale non venne più utilizzata fino all'arrivo della teoria della relatività (in effetti in Rip van Winkle il protagonista non viaggia, ma si addormenta, e in ogni caso finisce nel futuro), mentre i paradossi temporali non attesero certo la teoria di Einstein per entrare in letteratura. Ad esempio nel 1846 il romanziere svedese August Blanche da alle stampe il racconto 1846 och 1946 (1846 e 1946), dove il protagonista, un archeologo, Bautastenius, si ritrova proiettato 100 anni nel futuro dalla dea della verità. Qui incontra suo nipote, persona antipatica, che gli rivela che il nonno paterno, risposatosi, era impazzito credendosi un grande archeologo, tanto da farsi mummificare. Così nel 1946 erano presenti contemporaneamente un Bautastenius viaggiatore del tempo e un Bautastenius mummificato. Tornato nel suo tempo, fu tanta e tale l'antipatia verso il nipote, che il nostro eroe decise di modificare il futuro, al punto da acconsentire alle nozze della figlia con il fidanzato e da non volersi più risposare, in modo da non generare l'odiato nipote⁽⁹⁾.
Questo di Blanche è un paradosso tutto sommato innocuo: l'intervento nel passato ha modificato solo la vita del protagonista e dei suoi parenti più stretti. E' un proto-paradosso della conoscenza: David Deutsch e Michael Lockwood utilizzano questo nome⁽⁵⁾ per sintetizzare paradossi tipo La scoperta di Morniel Mathaway di William Tenn, racconto radiofonico per la NBC trasmesso il 17 aprile 1957, dove il pittore Mathaway ottiene un grandissimo successo grazie a un critico d'arte del futuro che, in maniera incidentale, gli porta un catalogo con i suoi quadri, che ovviamente il pittore provvederà a ricopiare. E' un po' come se uno studente del futuro tornasse indietro nel tempo con la teoria della relatività generale per farsela firmare da Einstein prima che questi la scopra, permettendo ad Einstein di imparare la teoria della relatività e non di scoprirla. Nonostante il risultato sia identico, il processo nel suo complesso suonerebbe fortemente sbagliato.

Urania 900

In effetti questo genere di paradosso può essere considerato come una sorta di loop temporale, concetto che gioca un ruolo fondamentale in Paradosso cosmico di Charles Harness, chimico e avvocato, che scrive il suo romanzo per arrotondare lo stipendio nei ritagli di tempo concessigli dal lavoro.
Il risultato è sicuramente pregevole, al livello della miglior fantascienza che può venirvi in mente, mentre il protagonista, Alar, membro della Società dei Ladri, viene sviluppato nel solco della tradizione dei personaggi di Alfred Elton Van Vogt o dell'Hedrock l'immortale di Robert Heinlein. Rispetto, però, ai personaggi di Van Vogt e di Heinlein, Alar sembra velato da una qual certa malinconia, mentre l'intera vicenda è gravata da un forte senso di inevitabilità. Il ladro, infatti, che insieme alla sua società combatte per la liberazione del genere umano dalle società distopiche presenti sul pianeta, è bloccato all'interno di un loop temporale, vittima di un viaggio nello spazio conclusosi male.
Il concetto di loop temporale, però, che in un certo senso accomuna i due romanzi di Blanche e Harness, dal punto di vista scientifico non sarebbe possibile concepirlo senza il lavoro in particolare del logico e matematico Kurt Godel.

I numeri primi e la ricerca delle fondamenta

Nel momento in cui affermiamo che un dato numero è primo, ovvero nel momento in cui affermiamo matematicamente che

$n$ è un numero primo

stiamo, in effetti, affermando che $n$ è un numero naturale divisibile solo per se stesso e per l'unità. Questa definizione può però essere ulteriormente ridotta come segue⁽¹⁾:

$n$ è un numero naturale e, presi comunque due numeri naturali $h$ e $k$, se $n$ è $h \cdot k$, allora $h$ o $k$ è 1.

E' chiaro, in questo caso, che il senso di riduzione per una definizione matematica va nella direzione del non utilizzare notazioni che necessitano di ulteriori definizioni, ovvero una ricerca delle basi fondamentali della matematica, di un linguaggio irriducibile che permetta di descriverla⁽¹⁾, possibilmente in maniera completa. In quest'ordine di pensieri, è evidente che la nuova definizione di numero primo non è ancora sufficientemente ridotta. Sono infatti molti gli elementi che possono essere ridotti ai loro minimi termini, partendo dal prodotto tra $h$ e $k$. Il modo usuale per arrivare alla definizione fondamentale di numero primo è passando attraverso la teoria degli insiemi, quella sviluppata da Georg Cantor, che diventa, quindi, il linguaggio fondamentale della matematica⁽²⁾.
All'interno di questo contesto, la definizione di numero primo è⁽¹⁾:

Scritta così, perde sicuramente di chiarezza, ma ha il vantaggio di utilizzare esclusivamente un vocabolario fondamentale, lasciando quindi la sensazione che

(...) tutta la matematica possa essere riscritta nel vocabolario della teoria degli insiemi.⁽¹⁾

Il problema è che si scoprì relativamente presto che la teoria degli insiemi è meno solida della matematica, che si fonda su di essa. La storia, infatti, è nota: nel 1901 Bertrand Russell scoprì il paradosso che porta il suo nome⁽¹⁾:

Esiste almeno un $y$ tale che per ogni $x$, $x \in y$ se e solo se non $x \in x$

peccato che tale affermazione non sia dimostrabile. Da un punto di vista divulgativo, però, il paradosso è equivalente al famoso paradosso del barbiere (ispirato a un altro paradosso simile, ideato da Lewis Carroll), o, in una reinterpretazione vignettistica, il paradosso del postino⁽³⁾:

WOW: Almanacco scientifico disneyano

Solo orariesco a proporvi queste foto, scattate un paio di mesi fa al museo WOW di Milano. Queste sono solo alcune delle foto della mini-mostra allestita in quel periodo con l'accostamento tra alcuni personaggi disneyani scientifici con alcuni protagonisti della scienza. Direi che un solo accostamento mi sembra molto ingeneroso, quello nei confronti di Bell, che forse nella vicenda del telefono fu più vittima, al pari di Meucci, che non carnefice. Gli altri accostamenti, invece, sono tutti abbastanza immediati a parte gli ultimi due. Non solo Volta è un fisico e non un archeologo, come Zapotec, ma Godel è un logico e un matematico, anche se si è interessato di relatività, mentre Marlin è sicuramente un relativista.
A parte queste brevi considerazioni, una buona visione con la galleria, che può essere un buon modo per avviarsi verso le festività di fine anno: