Rompicapi di Alice: La spirale di Ulam

Mentre Stanislaw Ulam stava aspettando l'inizio di una conferenza presso i laboratori di Los Alamos, per passare un po' il tempo disegnò una griglia di linee orizzontali e verticali su uno dei fogli di appunti che si era portato dietro. Ulam, che era anche uno scacchista, all'inizio pensò di ideare un problema scacchistico, poi la sua mente andò in un'altra direzione e iniziò a scrivere all'intersezione delle linee un numero intero, partendo da 1 posto al centro della griglia.
Iniziò a disporli nella forma di una spirale e poi, una volta completata la griglia, iniziò a cerchiare i numeri primi, osservando come questi sembravano disporsi lungo linee dritte. Gli venne, così, in mente di capire cosa sarebbe successo riuscendo a realizzare una struttura con molti più punti all'interno della griglia.
Per fortuna di Ulam ai laboratori di Los Alamos erano dotati di un nastro magnetico (all'epoca i dati si registravano su delle bobine di pellicola dette nastri magnetici) su cui erano registrati i primi 90 milioni di numeri primi. Inoltre i ricercatori avevano a disposizione un supercomputer (super per l'epoca, ovviamente), MANIAC. Così, insieme con Myron Stein e Mark Wells, scrisse un programma per visualizzare sullo schermo del computer una spirale con tutti i numeri primi compresi tra 1 e 65000. Il risultato lo vedete nell'immagine qui sotto, tratta da The remarkable lore of the prime numbers di Martin Gardner, pubblicato nella sua rubrica dei Mathematical games su Scientific American 210:

La forma dei numeri primi

Tutto inizia con un articolo su Il Post relativo ai numeri primi, che in effetti ripropone un tema raccontato un mesetto prima su Quanta Magazine. Ad attirare la mia attenzione era stato il riassunto dell'articolo:

Due matematici hanno dimostrato con un approccio creativo la fondatezza di una congettura matematica discussa da tempo.

Il mio primo pensiero, e leggendo i commenti non sono stato l'unico, è andato immediatamente all'ipotesi di Riemann (che sarebbe più corretto indicare come congettura) e alla segreta speranza che fosse stata dimostrata. Così, però, non è stato e il riferimento era a una congettura decisamente molto più giovane, però sempre legata ai numeri primi.
Poiché non scrivo di queste faccende da un bel po', vale la pena allora cogliere l'occasione e tornarci su.

Cosmo Brain: Il ritorno del pi greco

Sembra sia passata una vita fa, eppure è successo poco più di un anno fa: il 14 marzo del 2019 sono stato ospite di Cosmo Brain, quando era ospitata dagli studi di Radio Bla Bla. Ora Laura Paganini si sta muovendo in maniera indipendente, ma quella trasmissione lì avevo promesso che l'avrei resa disponibile, prima o poi. L'audio, che ho preso con il cellulare, non è sempre il massimo, ma spero che possiate apprezzarlo.
Due note sulla scaletta. Troviamo, tra le varie canzoni citate, ma non ascoltabili nell'audio, ci sono A little over zero di Elisa (di cui ho scritto settimana scorsa), Hey Jude! dei Beatles (ecco l'articoletto al Caffé del Cappellaio Matto), Endlessly dei Muse (a cui magari dedicherò una puntata futura delle particelle elementari). Vi ricordo, visto che ci sono, che dell'identità di Eulero ho scritto giusto quest'anno.
Detto ciò, un buon ascolto a tutti:

Le grandi domande della vita: La Luna, Marte e i triangoli

Con la fine di agosto, sta rispuntando in giro una vecchia bufala, che era già assurta agli onori della cronaca nel 2016 ma che sembra sia in circolazione addirittura dal 2002: ovvero che nel mese di agosto è possibile vedere Marte con le stesse dimensioni apparenti della Luna, se non più grandi. Il problema è che ciò non è mai possibile. Vediamo perché.

Il diametro angolare

In astronomia esiste un numero particolare che misura le dimensioni apparenti di un oggetto nel cielo: il diametro angolare. Questo non è altro che un angolo, $\delta$, matematicamente definito dalla relazione \[\delta = 2 \arctan \frac{2}{2D}\] dove $d$ è il diametro dell'oggetto, $D$ la sua distanza dall'osservatore.
Se andiamo a vedere la tabella dei diametri orbitali, ci rendiamo conto che il diametro della Luna varia dai 1796 arcosecondi ai 2009 arcosecondi, mentre quello di Marte dai 3.5 arcosecondi ai 25.7 arcosecondi, quindi ben lontano dal $\delta$ della Luna.
A questo punto ci possiamo chiedere quanto dovrebbe essere distante Marte dalla Terra per apparire grande quanto la Luna. Prima di tutto invertiamo la formula di cui sopra: \[D = \frac{d}{2 \tan \frac{\delta}{2}}\] Sostituendo a $d$ il diametro di Marte e a $\delta$ il diametro angolare maggiore della Luna, opportunamente trasformato in gradi⁽¹⁾, si ottiene per la distanza Terra-Marte un valore di quasi 709000 chilometri, cioé quasi il doppio della distanza Terra-Luna e quasi 320 volte più piccolo della distanza reale tra il nostro pianeta e il pianeta rosso.

Aritmetica lunare

Una delle espressioni più amate in Italia per dare forza ai numeri è la matematica non è un'opinione. L'espressione è esclusivamente italiana e non è nemmeno vicina a una qualche diffusa opinione tra i matematici, visto che quest'ultimi si divertono a inventare un gran numero di matematiche differenti. Ad esempio una matematica curiosa è quella che oggi viene detta aritmetica lunare. In questo genere di aritmetica, la somma tra due cifre mi restituisce la cifra più grande, mentre il prodotto tra due cifre mi restituisce quella più piccola. Una particolare conseguenza della regola della moltiplicazione è la definizione dei numeri primi: in base 10 un numero primo lunare è un numero divisibile solo per se stesso e per 9, questo perché l'elemento neutro della moltiplicazione lunare è il 9.
Ci sono molte conseguenze interessanti che discendono da questo fatto, che si possono osservare dando un'occhiata alla lista dei numeri primi lunari. Ad esempio tutti i numeri più piccoli di 90 che contengono 9 come cifra sono primi; inoltre sono primi tutti i numeri da 90 a 99, estremi inclusi. 109 è un numero primo, e si può dimostrare l'assenza della sua fattorizzazione per assurdo e da qui dimostrare che tutti i numeri della forma 10...09 sono primi. Inoltre non tutti i numeri che contengono un 9 sono primi.
La divertente proposta venne avanzata nel 2011 da David Applegate, Marc LeBrun e Neil Sloane sul Journal of Integer Sequences. A spiegarla in maniera chiara e in tema con questo mese di luglio ci pensa proprio Sloane in questo video dal canale youtube Numberphile:

Le grandi domande della vita: viaggiatori uniti per il cosmo

Nuova settimana, nuova serie di domande fondamentali, quelle la cui risposta è, sempre e comunque, 42. Anche se ogni tanto sentire qualcosa didiverso può fare bene!

L'età dell'universo

Come riescono i fisici a calcolare l'età dell'universo?
Attualmente l'età dell'universo è stimata in 13.799 ± 0.021 miliardi di anni, ovvero il tempo impiegato dall'universo a espandersi. Il dato è stimato dalla combinazione delle osservazioni di Planck con altri dati esterni ed è uno dei dati sperimentali fondamentali del modello $\Lambda$-CDM, il modello standard della cosmologia.
Il fatto, allora, che l'universo sia in espansione (spinto ancora dall'energia iniziale liberata durante la singolarità del Big Bang) non è un buon motivo per chiedersi quanto velocemente la Terra si allontana dal Sole. I moti locali, persino quelli tra due galassie vicine, sono indipendenti dall'espansione dello spaziotempo essenzialmente perché i primi sono governati da una forza, quella di gravità, mentre l'espansione è (per quel che ne sappiamo, che però sembra funzionare bene) cinematica (dovuta solo al movimento). In questo senso differente sarebbe l'evento contrario, ovvero quelo di una possibile contrazione, poiché in questo caso la dominante sarebbe la gravità, ovvero una forza.

Le grandi domande della vita: questioni di estrema gravità

Nell'edizione odierna la fisica la fa da padrone, con un leggero apporto della matematica, che però è presente tra gli evergreen.

La gravità del nostro amore

La curvatura delo spaziotempo, da Cosmicomic di Amedeo Balbi e Rossano Piccioni

Quando si ragiona intorno alla gravità e al fatto che essa sia una forza in grado di curvare lo spaziotempo, prima o poi viene la domanda: e perché non può farlo anche l'elettromagnetismo?
Da un lato abbiamo la solita solfa: quando avremo una teoria quantistica definitiva (perché verificata sperimentalmente) sulla gravità, potremo iniziare a dare una risposta alla domanda. Per ora dobbiamo accontentarci di una spiegazione un po' più semplicistica: a curvare lo spaziotempo non è la gravità in se ma gli oggetti che si trovano nello spaziotempo. Questa, però, non è la risposta che preferisco. Personalmente trovo più affascinante suppore che la gravità sia l'espressione fisica della struttura geometrica dello spaziotempo.
D'altra parte, come visto ne La fisica di Star Trek, esiste la teoria di Kaluza-Klein che unifica elettromagnetismo e gravità in un universo in cinque dimensioni. L'aspetto interesante di questa idea è che, sviluppata da Beil (sci-hub), anche la forza elettromagnetica è in grado di generare una curvatura!
Altre tesi teoriche simili sono dovute ad Apsel (sci-hub) e Rodrigues (sci-hub).

Mondo matematico: i numeri primi

Nell'ultimo periodo, particolarmente lungo e difficile, mi sono ritrovato a leggere di seguito, intervallati da una sola raccolta di fantascienza, un po' di libri di scienza, soprattutto matematici. E', infatti, arrivata in edicola la serie Mondo matematico che, nonostante buona parte degli argomenti li conosca abbastanza bene, mi ha attirato e ho iniziato ad acquistare.
La collana è la versione italiana di una serie di libri divulgativi in spagnolo che presentano una strutura ben definita: prefazione, svuiluppo dell'argomento in una serie di capitoli, eventuali appendici, bibliografia e ringraziamenti. All'interno sono poi posizionati a intervallare il testo principale una serie di box che propongono brevi digressioni e curiosità che arricchiscono la lettura e possono ovviamente essere letti secondo i gusti del lettore.
Vediamo un po' quali libri e quali argomenti propone la collana iniziando con il volume dedicati ai numeri primi, di Enrique Gracian.

La biblioteca di Alessandria

Il libro è una cavalcata nella storia dello studio di questi particolari numeri a partire dalle origini: la necessità del contare con la scoperta dei numeri stessi e di uno dei primi risultati ad essa legati, il teorema fondamentale dell'aritmetica sulla fattorizzazione. Da qui il salto verso la ricerca di una qualche regolarità nella distribuzione dei numeri primi è breve e passa anche attraverso la mitica biblioteca di Alessandria.

Costruita da Tolomeo I "Sotere", venne affidata alla gestione di Demetrio, allievo di Teofrasto, all'epoca in esilio. Il modus operandi della biblioteca era abbastanza semplice: chiedere in prestito testi da altre città, su tutte Atene, e ricopiarli per poi mandare indietro le copie e tenersi gli originali. Stessa operazione venne fatta con le navi che giungevano nel porto. Quando il gioco venne scoperto, con la protezione di Tolomeo, la città impose ai commercianti che giungevano al porto di... portare dei testi di varia natura per essere consegnati e ricopiati nella biblioteca.
La biblioteca di Alessandria divenne, così, il maggior centro di raccolta di informazioni e cultura dell'antichità, ma anche un ottimo modo per diffonderla. Inclusa la matematica.

Da Mersenne a Fermat

Torniamo ai numeri primi: il primo salto importante venne fatto con Marin Mersenne, religioso dell'ordine dei minimi. Proprio a lui sono dedicati i numeri primi di Mersenne, numeri della forma \[2^p -1\] con $p$ primo.
Un'altra delle caratteristiche di Mersenne fu la sua capacità di mantenere i contatti con altri scienziati e matematici dell'epoca, con i quali portava avanti varie ricerche nel campo. Lo si potrebbe considerare un antesignano della moderna colaborazione accademica e uno spirito piuttosto affine all'ungherese Paul Erdos, il matematico con il maggior numero di collaborazioni.

Pierre de Fermat di Bernarda Bryson

Tra gli amici di penna di Mersenne figurava anche Pierre de Fermat, noto soprattutto per il suo famoso ultimo teorema, ha anche ottenuto diversi risultati nella teoria dei numeri. In particolare il piccolo teorema di Fermat:

Storia e gloria di un numero uno

Stupiti che 1 non sia primo? Scopriamo insieme perché è "solo" l'unità!

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Abbiamo già visto come, partendo dai numeri primi, si possa sviluppare un discorso più o meno approfondito sulle fondamenta matematiche. Altrettanto fondamentale, però, si rivela provare a rispondere alla domanda su quale sia il numero primo più piccolo. E', infatti, abbastanza noto come il numero 1 sia stato ora inserito ora escluso dalla lista dei numeri primi, ottenendo in alcuni casi lo status di più piccolo tra i numeri primi, ora perdendolo in favore del 2.
Il problema, gli antichi greci, non se lo ponevano nemmeno: Euclide, infatti, non considerava l'1 come un numero e quindi non poteva essere nemmeno considerato il più piccolo dei numeri primi. Nel libro 7 degli Elementi, il matematico greco definisce come unità ciò per la cui virtù tutte le altre cose esistono⁽⁶⁾, e la chiama 1; un numero, poi, è una moltitudine composta da unità⁽⁶⁾; un numero primo, infine, è ciò che può essere misurato solo utilizzando unità⁽⁶⁾.
Ovviamente Euclide non era il solo a non considerare l'unità un numero. Scrive Smith⁽²⁾:

Aristotele, Euclide, e Teone di Smirne definivano un numero primo come un numero "misurata da nessun numerose non che dalla sola unità", con leggere variazioni nel testo.
Dal momento che l'unità non era considerato un numero, spesso non veniva menzionato.

La tradizione che porta l'1 al non essere un numero è lunga e consolidata e passa per una serie di illustri matematici del passato, gente come Nicomaco di Gerasa, Severino Boezio, Cassiodoro, Marziano Capella, che stabilisce non solo che l'1 non è un numero⁽³⁾, ma anche quali siano le proprietà e le qualità di ciascuno di essi. Questo fronte non era però così unanime: ad esempio, come riporta Taran, Speusippo (siamo nel 350 circa) faceva partire da 1 la sequenza dei numeri primi⁽⁶⁾.
Il primo punto di svolta in questa storia arrivò nel 1585 quando Simon Stevin nel De Thiende, oltre a porre le basi per il sistema decimale, definì l'1 come numero. Questa piccola rivoluzione venne successivamente formalizzata circa un secolo dopo nel dizionario matematico di Moxon⁽⁶⁾

I numeri primi e la ricerca delle fondamenta

Nel momento in cui affermiamo che un dato numero è primo, ovvero nel momento in cui affermiamo matematicamente che

$n$ è un numero primo

stiamo, in effetti, affermando che $n$ è un numero naturale divisibile solo per se stesso e per l'unità. Questa definizione può però essere ulteriormente ridotta come segue⁽¹⁾:

$n$ è un numero naturale e, presi comunque due numeri naturali $h$ e $k$, se $n$ è $h \cdot k$, allora $h$ o $k$ è 1.

E' chiaro, in questo caso, che il senso di riduzione per una definizione matematica va nella direzione del non utilizzare notazioni che necessitano di ulteriori definizioni, ovvero una ricerca delle basi fondamentali della matematica, di un linguaggio irriducibile che permetta di descriverla⁽¹⁾, possibilmente in maniera completa. In quest'ordine di pensieri, è evidente che la nuova definizione di numero primo non è ancora sufficientemente ridotta. Sono infatti molti gli elementi che possono essere ridotti ai loro minimi termini, partendo dal prodotto tra $h$ e $k$. Il modo usuale per arrivare alla definizione fondamentale di numero primo è passando attraverso la teoria degli insiemi, quella sviluppata da Georg Cantor, che diventa, quindi, il linguaggio fondamentale della matematica⁽²⁾.
All'interno di questo contesto, la definizione di numero primo è⁽¹⁾:

Scritta così, perde sicuramente di chiarezza, ma ha il vantaggio di utilizzare esclusivamente un vocabolario fondamentale, lasciando quindi la sensazione che

(...) tutta la matematica possa essere riscritta nel vocabolario della teoria degli insiemi.⁽¹⁾

Il problema è che si scoprì relativamente presto che la teoria degli insiemi è meno solida della matematica, che si fonda su di essa. La storia, infatti, è nota: nel 1901 Bertrand Russell scoprì il paradosso che porta il suo nome⁽¹⁾:

Esiste almeno un $y$ tale che per ogni $x$, $x \in y$ se e solo se non $x \in x$

peccato che tale affermazione non sia dimostrabile. Da un punto di vista divulgativo, però, il paradosso è equivalente al famoso paradosso del barbiere (ispirato a un altro paradosso simile, ideato da Lewis Carroll), o, in una reinterpretazione vignettistica, il paradosso del postino⁽³⁾:

Diagonali prime

L'illustrazione della copertina [di Letture da Le Scienze: Verità e dimostrazione. Questioni di matematica], tratta dalla copertina del numero di marzo del 1964 di Scientific American disegnata da Joan Starwood, rappresenta un curioso comportamento dei numeri primi, cioé dei numeri interi che sono divisibili solo per se stessi e per l'unità, messo in luce per la prima volta da Stanislaw M. Ulam dei Los Alamos Scientific Laboratory. Ulam ha scoperto che se si scrivono i numeri naturali su carta quadrettata disponendoli secondo una spirale, i numeri primi tendono a disporsi lungo linee diagonali. Sulla copertina la spirale è indicata con una linea nera marcata, i numeri primi sono in rosso e le linee diagonali sono in verde.

Breve storia del pi greco - parte 2

Come l'anno scorso, anche quest'anno ecco l'estrazione delle notizie pi greche per far loro posto in un articolo a parte, consono per l'aggregazione. Ovviamente il Carnevale della Matematica #71 dedicato al pi day è sempre a disposizione per la consultazione.

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Warped di Mike Cavna via Bamdad's Math Comics

Una volta introdotto nella matematica il $\pi$, uno dei problemi a margine per la determinazione delle sue cifre fu, evidentemente, comprenderne la sua natura, ovvero che genere di numero esso sia. La classificazione è abbastanza nota e semplice per tutti: avendo come base di partenza i numeri naturali (gli interi positivi e negativi), si possono definire i numeri razionali, ovvero quelli generati dal rapporto di due numeri naturali. Ciascun numero razionale può quindi essere espresso nella forma $\frac{a}{b}$, con $a$, $b$, naturali e $b$ non nullo.
Il primo a dimostrare la natura irrazionale di $\pi$ fu Johann Heinrich Lambert nel 1761 in Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques:

che in termini moderni può essere scritta come segue: \[\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}\] Lambert dimostrò che se $x$ è non nullo e razionale, allora questa espressione deve essere irrazionale. E poiché $\tan (\pi /4) = 1$, segue che $\pi$ è irrazionale.
Una semplificazione di questa dimostrazione è stata proposta da Laczkovich nel 1997, mentre Li Zhou, nel 2009, ne ha proposto una variazione che fa uso del calcolo integrale.
In particolare la seconda dimostrazione dell'irrazionalità di $\tan x$ e quindi di $\pi$ prende ispirazione dalla dimostrazione del 1873 che Charles Hermite lasciò in due lettere a Paul Gordan e Carl Borchardt. Una semplificazione di questa dimostrazione, che utilizza la tecnica della riduzione per assurdo, è stata proposta da Mary Cartwright, così come divulgato da Harold Jeffreys in Scientific interference del 1973.
Un'ultima dimostrazione dell'irrazionalità di $\pi$, che sta tra l'altro in una paginetta, è data da Ivan Niven nel 1946. La trascendenza di $\pi$, invece, così come quella di $e$, è una diretta conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass che afferma che, dati $\alpha_1$, $\cdots$, $\alpha_n$ numeri algebrici linearmente indipendenti nel campo dei numeri razionali, allora $e^{\alpha_1}$, $\cdots$, $e^{\alpha_n}$ sono algebricamente indipendenti sui razionali, dove per numero algebrico si intende un numero che è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali.
Nel 1882 Lindemann, utilizzando proprio questo teorema, dimostrò che $e$ è trascendentale, e quindi, utilizzando l'identità di Eulero, si può dimostrare anche la trascendenza di $\pi$.