La forma dei numeri primi

Tutto inizia con un articolo su Il Post relativo ai numeri primi, che in effetti ripropone un tema raccontato un mesetto prima su Quanta Magazine. Ad attirare la mia attenzione era stato il riassunto dell'articolo:

Due matematici hanno dimostrato con un approccio creativo la fondatezza di una congettura matematica discussa da tempo.

Il mio primo pensiero, e leggendo i commenti non sono stato l'unico, è andato immediatamente all'ipotesi di Riemann (che sarebbe più corretto indicare come congettura) e alla segreta speranza che fosse stata dimostrata. Così, però, non è stato e il riferimento era a una congettura decisamente molto più giovane, però sempre legata ai numeri primi.
Poiché non scrivo di queste faccende da un bel po', vale la pena allora cogliere l'occasione e tornarci su.

La fattorizzazione dei numeri interi

La spirale di Ulam - via commons

Per capire l'importanza dei numeri primi in matematica iniziamo dal teorema fondamentale della matematica, che stabilisce che ogni numero naturale ha una fattorizzazione unica in fattori primi. Questo ha due conseguenze che ha ricadute importanti sulla definizione di numero primo che viene normalmente insegnata a scuola.
Un numero primo, infatti, ci viene raccontato essere un numero divisibile solo per 1 e per se stesso. Questa definizione ha indubbiamente il vantaggio di essere semplice e basarsi su "cose" come l'1 e la divisione che sono veloci da assimilare. In termini del teorema fondamentale, però, la definizione corretta sarebbe un'altra: un numero primo è tale se non può essere fattorizzato.
Già sento le proteste: e \(2 = 2 \times 1\)? In realtà questa fattorizzazione non è una vera fattorizzazione nei termini del teorema fondamentale perché 1 non è un numero primo. Il modo più semplice per vederlo è riflettere su una proprietà particolare dell'1: essere l'elemento neutro del prodotto. Pertanto potrei scrivere: \[ 2 = 2 \times 1 = 2 \times 1 \times 1 = 2 \times 1 \times 1 \times \cdots \times 1\] E quindi la fattorizzazione non sarebbe più unica!
Ovviamente in termini pratici la definizione che ci viene fornita a scuola è più che sufficiente per cogliere le proprietà importanti dei numeri primi, ma è innegabile che nel momento in cui si approfondiscono le basi logiche della matematica, ciò non è più sufficiente.
Abbandoniamo, però, queste faccende, che ho approfondito negli articoli che ho linkato in precedenza, ma che sono state utili per creare il contesto e passiamo oltre, in particolare alle formule che permettono di determinare i numeri primi.

A caccia di numeri primi

Una delle prime formule di successo per scovare numeri primi è quella scoperta dal matematico francese Marin Mersenne \[2^p - 1\] con \(p\) numero primo. I numeri primi di questa forma sono detti numeri primi di Mersenne.
Un'altra formula particolarmente efficace fu quella scoperta da Pierre de Fermat: \[2^{2^n} + 1\] e ovviamente i numeri primi di questa forma sono detti numeri primi di Fermat. In realtà non tutti i numeri di Fermat sono primi, come dimostrò Leonhard Euler nel 1732 scovando un controesempio (per chi volesse provare, basta porre \(n=5\)).
Fermat, però, ha anche scoperto, senza dimostrarlo, un interessante teorema sui numeri primi, oggi è noto come il piccolo teorema di Fermat:

Se \(p\) è un numero primo, allora per ogni intero \(a\) \[a^p \equiv a (\mod p)\]

L'operazione di modulo (mod) \(p\) mi da come risultato il resto della divisione per \(p\). Ovvero \(10 \mod 5 \equiv 0\) perché 10 è divisibile per 5, mentre \(12 \mod 5 \equiv 2\) perché 2 è il resto della divisione tra 12 e 5. A dimostrare questo teorema furono Gottfried Wilhelm Leibniz e il già citato Euler in maniera indipendente (e diversa) uno dall'altro.
Un'altra proprietà dei numeri trovata da Fermat e sempre dimostrata da Euler recita che

Ogni numero primo del tipo \[p \equiv 1 (\mod 4)\] può essere scritto come \[x^2 + y^2\] con \(x\), \(y\) interi.

Fermat, però, non si fermò qui e come per la generalizzazione del teorema di Pitagora (il famoso ultimo teorema di Fermat!), anche in questo caso si pose una domanda più generale, chiedendosi per quali valori di \(n\) i numeri \[x^2 + ny^2\] fossero numeri primi. Euler dimostro la primalità di questi numeri per 2 e 3, mentre Giuseppe Luigi Lagrangia per \(n = 5\). Ed è proprio numeri primi di questa forma che sono stati studiati da Ben Green e Mehtaab Sawhney nel loro lavoro uscito a inizio ottobre 2024. Prima, però, di arrivare a quel punto abbiamo bisogno di introdurre gli interi di Gauss.

Gli interi di Gauss

Visualizzazione dei primi di Gauss - via Wolfram MathWorld

Gli interi di Gauss sono numeri complessi della forma \(a + bi\) dove \(a\) e \(b\) sono entrambi numeri interi. La prima volta che questo genere di numeri venne trattato fu in Vorlesungen über Zahlentheorie del 1863 di Peter Dirichlet e Richard Dedekind e solo alcuni anni più tardi vennero "dedicati" a Carl Gauss, il principe della matematica. Ciò che a noi interessa in questa sede, però, è capire quando un intero di Gauss è primo, ovviamente nei termini del teorema fondamentale.
Alla fine della faccenda, un intero di Gauss della forma \(a + ib\) è primo all'interno di questo campo se è verificata una di queste due condizioni:

• uno tra \(a\) e \(b\) è nullo mentre il valore assoluto dell'altro è un numero primo della forma \(4n + 3\);
• entrambi sono non nulli e \(a^2 + b^2\) è un numero primo.

Per esempio, come conseguenza di ciò, né 2 né 5 sono primi di Gauss, ma poiché \(2^2 + 5^2 = 29\) è primo in \(\mathbb{N}\), allora \(2 + 5i\) è un primo di Gauss. Altra conseguenza dovuta alla definizione di primo di Gauss è che anche \(2 - 5i\), \(-2 + 5i\) e \(-2 - 5i\) sono primi di Gauss. Anche la definizione "scolastica" di numero primo si modifica un po'. Se infatti prendiamo il numero che ho usato nell'esempio, esso è divisibile non solo per 1 e per se stesso, ma anche per uno qualunque degli altri 3 numeri complessi che hanno la medesima proprietà (\(a^2 + b^2\) numero primo) e per una qualunque delle unità complesse (che sono quattro, ovvero 1, -1, \(i\), \(-i\)). All'infuori di questi divisori, però, non esiste nessun altro intero di Gauss che è divisore di \(2 + 5i\).
E proprio questa particolare classe di numeri sono stati oggetto di studio da parte di John Friedlander e Henryk Iwaniec in un articolo del 2018 in cui veniva stabilita la congettura dei numeri primi di Gauss, che in pratica prevede che questi particolari numeri primi sono infiniti.
E veniamo, quindi, al risultato di Green e Sawhney.

La forma dei numeri primi. Finalmente.

Nel loro articolo i due matematici si danno come obiettivo quello di dimostrare un risultato ancora più generale di quelli che abbiamo visto fino a ora. Ovvero

Se \(n \equiv 0\) o \(n \equiv 4 (\mod 6)\) allora esistono infiniti numeri primi della forma \[x^2 + ny^2\] con \(x\), \(y\) numeri primi.

ritornando, così, a uno dei risultati ottenuti da Fermat che ho citato un bel po' di righe fa.
Per ottenere questo risultato, che è solo una parte del teorema che viene dimostrato nell'articolo (60 pagine, incluse le appendici), e che ha avuto come risultato accessorio quello di dimostrare la congettura dei primi di Gauss, i due matematici sono passati attraverso la valutazione della sommatoria \[\sum_\gamma w(\gamma)\] dove \(\gamma\) sono tutti i numeri primi gaussiani e \(w(\gamma)\) è a sua volta il prodotto di due funzioni di Von Mangoldt, che rivestono una particolare importanza nello studio dei numeri primi non solo perché questi ultimi sono usati nella definizione di tali funzioni, ma anche perché possono essere associate alla distribuzione dei numeri primi e quindi all'ipotesi di Riemann.
Immaginando che a questo punto vi stiate perdendo, cercherò di farla breve raccontando l'ultimo pezzo importante di tutta questa faccenda.

Nello spazio

Una delle principali caratteristiche della matematica moderna è quella di prendere definizioni e tecniche sviluppate in branche specifiche della matematica e chiedersi come funzionerebbero le cose se le si trasporta in branche differenti. Prendiamo, per esempio, l'idea degli spazi vettoriali. Detta in termini semplici, uno spazio vettoriale è la geometrizzazione di uno spazio reale: basta trovare una origine dello spazio, definire i tre assi coordinati e in questo modo possiamo definire ogni punto dello spazio con 3 coordinate. Unendo con una freccia tali punti con l'origine degli assi, a ciascun punto possiamo associare un vettore.
All'interno di questi spazi vettoriali si può definire un prodotto tra vettori e una norma (generalmente i due sono legati), con quest'ultima che è generalmente associata alla lunghezza del vettore. La definizione di norma, però, è indipendente da questa interpretazione.
Se visti così gli spazi vettoriali sono abbastanza pratici, li si può rendere decisamente molto più astratti se si sostituiscono i vettori con le funzioni: in pratica, con una buona definizione di prodotto, si può rendere un insieme di funzioni in tutto e per tutto simile a uno spazio di vettori. E quindi è possibile definire anche una norma su tale spazio.
Se non vi siete persi troppo, avrete già intuito dove sono andati a parare Green e Sawhney: sono andati a valutare la sommatoria in uno spazio costituito dalle funzioni di Von Mangoldt utilizzando, come norma, la cosiddetta norma di Gowers, generalmente utilizzata in combinatoria.
Per riassumere in termini spiccioli: siamo partiti dai numeri primi, ci siamo spostati nei numeri complessi, quindi siamo finiti in uno spazio vettoriale costituito da funzioni su cui è stata definita una norma usata in combinatoria!
Lo spirito della dimostrazione è assolutamente identico a quello della dimostrazione di Andrew Wiles dell'ultimo teorema di Fermat e, secondo me, ha fornito un interessante strumento per attaccare la congettura o ipotesi di Riemann.

• Friedlander, J., & Iwaniec, H. (2021). Coordinate distribution of Gaussian primes. Journal of the European Mathematical Society, 24(3), 737-772.
• Green, B., & Sawhney, M. (2024). Primes of the form \(p^2+ nq^2\). arXiv preprint arXiv:2410.04189.