Matematica, lezione 7: Teoria dei giochi

Per me la teoria dei giochi è sempre stata rappresentata da John Nash, soprattutto per via del suo dilemma del prigioniero. Il suo risultato più importante, però, è quello noto come gli equilibri di Nash, che ha dato una svolta decisa alla teoria dei giochi. Ciò che, però, non sapevo (o non ricordavo bene) era il contributo fondativo a tale teoria dato da John von Neumann, che non solo ha scoperto il risultato da cui la teoria dei giochi ha avuto il via, ma che ha mostrato come tale teoria poteva agilmente essere associata all'economia. Questo piccolo risultato viene raccontato da La teoria dei giochi, settimo volume della collana Matematica della Gazzetta dello Sport curata da Maurizio Codogno che scrive anche il testo del volume.
La cosa, in qualche modo, ce la si poteva aspettare, vista la vicinanza del tema con la matematica ricreativa, come ben dimostrano i Giochi matematici in cui Maurizio definisce i nimeri, a loro volta definiti da uno dei più grandi esperti di matematica ricreativa, John Conway. E d'altra parte la scelta stilistica di Maurizio per raccontare gli elementi essenziali della teoria dei giochi è proprio quella di un libro di matematica ricreativa, con l'aggiunta di definizioni e teoremi, questi ultimi dimostrati in maniera quanto più semplice possibile. E qui, forse, la scoperta più incredibile di tutte del libro, almeno per il lettore più a digiuno della matematica: non solo la teoria dei giochi ha ricadute in altre branche della matematica, ma per la dimostrazione del suo teorema più importante, quello degli equilibri di Nash, servono risultati provenienti da altre branche della matematica. D'altra parte sin dall'inizio viene utilizzato un formalismo tipico di geometria piana e algebra lineare che quindi dovrebbero semplificare un po' le possibilità del lettore che ha letto i volumi precedenti di seguire le pagine di questo settimo volume.
Nella sezione biografica, invece, Sara Zucchini propone la biografia di Pierre de Fermat: ne emerge il ritratto di un matematico, per quanto dilettante, dai molti interessi in molti campi di questa disciplina, senza dimenticare il suo risultato più famoso, l'ultimo teorema di Fermat, la cui dimostrazione alla fine ha coinvolto altre branche della matematica, nonostante il problema di partenza ricada nella teoria dei numeri.
Direi alla fine un ottimo volume, ben curato, senza refusi e con uno stile scorrevole, non solo nella parte biografica.

Ritratti: Andrew Wiles

Andrew Wiles

La biografia di Andrew John Wiles è obiettivamente piuttosto scarna: nato l'11 aprile del 1953 a Cambridge, in Gran Bretagna, dal professore di teologia (nonché cappellano) Maurice Frank Wiles e da Patricia Mowll, ha passato praticamente tutta la sua carriera di matematico a perfezionare un'unica dimostrazione, quella del famoso ultimo teorema di Fermat.
La fascinazione verso questo apparentemente semplice teorema arrivò sin dalla gioventù, da quando aveva dieci anni, per la precisione. Wiles rimase folgorato dalla semplicità dell'enunciato e dalla difficoltà nella sua dimostrazione, considerando che l'avvocato Pierre de Fermat enunciò il teorema (e la sua presunta dimostrazione) nel lontano 1637:

È impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore.

o in termini matematici

L'equazione \[x^n + y^n = z^n\] non ha alcuna soluzione a parte quella banale nei numeri interi per $n$ maggiore di 2.

Da alcune semplici considerazioni, il giovane Andrew prese, però, la triste decisione di abbandonare il suo donchisciottesco proposito: non possedeva i necessari strumenti per affrontare il problema.
Almeno fino a che non iniziò a lavorare nel campo. Aveva ottenuto la laurea in matematica presso il Merton College a Oxford nel 1974 e il dottorato nel 1980 proprio a Cambridge, presso il Clare College, con John Coates come supervisore. Da qui in poi iniziò il classico percorso da vagabondo della ricerca che lo portò prima a Bonn, poi a Harvard e quindi a Parigi. E si trovava proprio nella capitale francese quando il problema di Fermat lo catturò nuovamente con tutta la sua forza.

Un omaggio a Ramanujan

Arthur Clarke è, indubbiamente, uno dei più noti scrittori di fantascienza del XX secolo. Inserendosi nel filone di Isaac Asimov e Alfred Elton Van Vogt, Clarke ha utilizzato a piene mani la scienza per rendere il più verosimili e plausibili possibile i suoi romanzi e racconti. D'altra parte uno dei capolavori di Stanley Kubrik, 2001: Odissea nello spazio, è basato su un suo racconto, mentre la stessa sceneggiatura ha visto la collaborazione dello scrittore ed è stata solo il punto di partenza per una serie di romanzi intorno alla storia narrata nel film.
Per L'ultimo teorema, Clarke chiese l'assistenza alla scrittura di un altro grande scrittore della fantascienza statunitense, Frederik Pohl: la sintesi tra i due autori ha prodotto un romanzo appassionante che unisce la matematica con la geopolitica in un mix di spunti che indubbiamente colpiscono sia il lettore di fantascienza, sia quello più addentro alle "cose matematiche".
Il protagonista è Ranjit Subramanian, genio matematico dello Sri Lanka, la cui figura è evidentemente ricalcata su Srinivasa Ramanujan, il geniale matematico indiano. In effetti, se c'è una persona che ha mai incarnato il senso della parola "genio", questa è proprio Ramanujan, grazie alla sua quasi istintiva comprensione della matematica, anche a livelli più alti rispetto al semplice calcolo (basti pensare alle serie geometriche proposte per il calcolo del $\pi$).
Il romanzo di Clarke e Pohl, edito originariamente nel 2008 e giunto in Italia nel 2012 grazie a Urania, affronta anche un problema matematico tra i più spinosi: l'ultimo teorema di Fermat, da cui il titolo del libro.
Il teorema venne dimostrato nel 1994 da Andrew Wiles, cosa che gli valse il Premio Abel nel 2016, ma la sua dimostrazione ha sempre avuto un problema, almeno dal punto di vista della divulgazione matematica: è piuttosto complicata. Questo vuol dire che la dimostrazione che Pierre de Fermat millantava di avere ottenuto (e che non è stata ritrovata) o era errata o era molto avanti sui suoi tempi. Proprio la conoscenza di questi fatti ha evidentemente spinto Clarke a proporre per Subramanian proprio la ricerca di una dimostrazione più semplice dell'Ultimo teorema. Cosa che per altro, senza specificarla nei dettagli, riesce a scoprire. Il fatto curioso è che nel 2015 Ken Ono e Sarah Trebat-Leder scoprirono tra gli appunti di Ramanujan un lavoro sulle curve ellittiche che poteva essere collegato con la dimostrazione del famoso teorema di Fermat.
Ovviamente il romanzo non si limita solo a questo, ma racconta dei tentativi dell'umanità di raggiungere la pace sulla Terra: ciò, però, avviene solo grazie alla minaccia di un’arma satellitare, controllata dall'ONU. Questa, però, è per certi versi, una visione pessimistica da parte degli autori sulle possibilità che si possa raggiungere la pace senza un certo grado di coercizione politica.
Altro elemento interessante è il contatto con una razza aliena tecnologicamente avanzata, pacifica e che avrà conseguenze interessanti per la Terra e il protagonista del romanzo, che ovviamente invito tutti i lettori a recuperare in qualche banchetto al mercato.

Mondo matematico: i numeri primi

Nell'ultimo periodo, particolarmente lungo e difficile, mi sono ritrovato a leggere di seguito, intervallati da una sola raccolta di fantascienza, un po' di libri di scienza, soprattutto matematici. E', infatti, arrivata in edicola la serie Mondo matematico che, nonostante buona parte degli argomenti li conosca abbastanza bene, mi ha attirato e ho iniziato ad acquistare.
La collana è la versione italiana di una serie di libri divulgativi in spagnolo che presentano una strutura ben definita: prefazione, svuiluppo dell'argomento in una serie di capitoli, eventuali appendici, bibliografia e ringraziamenti. All'interno sono poi posizionati a intervallare il testo principale una serie di box che propongono brevi digressioni e curiosità che arricchiscono la lettura e possono ovviamente essere letti secondo i gusti del lettore.
Vediamo un po' quali libri e quali argomenti propone la collana iniziando con il volume dedicati ai numeri primi, di Enrique Gracian.

La biblioteca di Alessandria

Il libro è una cavalcata nella storia dello studio di questi particolari numeri a partire dalle origini: la necessità del contare con la scoperta dei numeri stessi e di uno dei primi risultati ad essa legati, il teorema fondamentale dell'aritmetica sulla fattorizzazione. Da qui il salto verso la ricerca di una qualche regolarità nella distribuzione dei numeri primi è breve e passa anche attraverso la mitica biblioteca di Alessandria.

Costruita da Tolomeo I "Sotere", venne affidata alla gestione di Demetrio, allievo di Teofrasto, all'epoca in esilio. Il modus operandi della biblioteca era abbastanza semplice: chiedere in prestito testi da altre città, su tutte Atene, e ricopiarli per poi mandare indietro le copie e tenersi gli originali. Stessa operazione venne fatta con le navi che giungevano nel porto. Quando il gioco venne scoperto, con la protezione di Tolomeo, la città impose ai commercianti che giungevano al porto di... portare dei testi di varia natura per essere consegnati e ricopiati nella biblioteca.
La biblioteca di Alessandria divenne, così, il maggior centro di raccolta di informazioni e cultura dell'antichità, ma anche un ottimo modo per diffonderla. Inclusa la matematica.

Da Mersenne a Fermat

Torniamo ai numeri primi: il primo salto importante venne fatto con Marin Mersenne, religioso dell'ordine dei minimi. Proprio a lui sono dedicati i numeri primi di Mersenne, numeri della forma \[2^p -1\] con $p$ primo.
Un'altra delle caratteristiche di Mersenne fu la sua capacità di mantenere i contatti con altri scienziati e matematici dell'epoca, con i quali portava avanti varie ricerche nel campo. Lo si potrebbe considerare un antesignano della moderna colaborazione accademica e uno spirito piuttosto affine all'ungherese Paul Erdos, il matematico con il maggior numero di collaborazioni.

Pierre de Fermat di Bernarda Bryson

Tra gli amici di penna di Mersenne figurava anche Pierre de Fermat, noto soprattutto per il suo famoso ultimo teorema, ha anche ottenuto diversi risultati nella teoria dei numeri. In particolare il piccolo teorema di Fermat:

Dimostrazione mirabile

Come ormai saprete ieri è stato assegnato il premio Abel a Andrew Wiles, il matematico britannico che nel 1994 è riuscito a dimostrare dopo molti secoli di tentativi più o meno infruttuosi il famoso ultimo teorema di Fermat. La storia ve la risparmio, (anche perché ne ho scritto su Medium, riunendo e rielaborando insieme un paio di post che avevo precedentemente scritto proprio per DropSea), però vorrei ripescare dai miei archivi una storia che reputo interessante: il tentativo di Daniele De Pedis di ricostruire la demonstrationem mirabilem di Pierre de Fermat del suo famoso teorema.
De Pedis, intervistato a fine 2011 da Popinga in occasione dell'uscita del suo romanzo Il mondo sotto chiave, aveva caricato su arXiv giusto qualche mese prima un articolo in cui proponeva una possibile dimostrazione del teorema ragionevolmente alla portata dello stesso Fermat.
In pratica, per farla breve, Daniele De Pedis utilizza lo sviluppo polinomiale di un binomio per ridurre la dimostrazione del teorema a quella che una determinata equazione polinomiale ottenuta a partire dal teorema di Fermat non possiede soluzioni.
Gli elementi interessanti della dimostrazione sono, però, l'uso dei coefficienti binomiali (che nella notazione moderna, usata nell'articolo, sono stati introdotti nel 1826), noti sin dal decimo secolo, e la ricerca delle radici di equazioni di grado generico.
Al di là della completezza della dimostrazione, ciò che però sarebbe stato il maggiore ostacolo per Fermat è proprio la parte relativa alla ricerca delle radici delle equazioni polinomiali: è ovvio che dimostrare l'assenza di soluzioni di un'equazione polinomiale a parte l'eventuale soluzione banale è cosa ben diversa rispetto a trovare le eventuali soluzioni dell'equazione. Per cui, pur con tutto il rispetto, penso che quella su arXiv sia la dimostrazione mirabile di De Pedis!

I rompicapi di Alice: I problemi della teoria dei numeri

ispirato da @Popinga1 @DarioBressanini @maddmaths et al!

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La teoria dei numeri è piuttosto problematica. Forse è il caso di chiedere un colloquio con i genitori.

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Uno degli ultimi problemi matematici virali, il compleanno di Ceryl, è, in effetti, un problema di logica, ma, come spero i lettori sappiano, è solo uno dei molti che sono giunti all'attenzione del pubblico. La storia della matematica ricreativa è infatti piena di molti di questi problemi e in apertura vorrei segnalarvi quello dei tre marinai (che magari potrebbe diventare - o ritornare a essere - anch'esso virale!):

Il problema dei tre marinai

Tre marinai naufragano su un'isola deserta dove l'unica fonte di cibo sono gli alberi di cocco. I tre decidono, allora, di raccoglierne una gran quantità. Alla fine della giornata, però, sono troppo stanchi per dividerle in tre parti uguali, così rimandano il problema al giorno dopo e vanno a dormire. Durante la notte uno dei marinai si sveglia e, non fidandosi dei suoi compagni, decide di prendersi quanto gli spetta dal mucchio di noci di cocco senza attendere il mattino successivo. Si mette così a contare le noci di cocco raccolte e osserva che, tolta una noce dal mucchio, le restanti sono perfettamente divisibili per 3. A questo punto seppellisce la sua parte e lascia il resto del mucchio intatto, quindi ritorna a dormire. Più tardi il secondo marinaio si sveglia e, anche lui non fidandosi dei suoi compagni, decide di prendere in anticipo la sua parte. Avvicinatosi al mucchio, scopre che, tolta una noce di cocco, le restanti sono perfettamente divisibili per 3. A questo punto seppellisce il suo terzo di noci di cocco e torna a dormire. Ancora più tardi è il terzo marinaio a svegliarsi, sempre con la stessa idea di anticipare la divisione delle noci: anche quest'ultimo, avvicinatosi al mucchio, osserva che, tolta una noce, le restanti sono perfettamente divisibili per 3. Così anch'egli si prende il suo buon terzo, lo seppellisce e va a dormire.
A questo punto la domanda è: quale è il numero minimo di noci di cocco che i tre devono aver raccolto affinché la storia proceda come raccontato senza alcun intoppo?

Biografie essenziali: Pierre de Fermat

La citazione che segue è tratta dal romanzo "The Girl Who Played with Fire", secondo della serie "Millennium" ed è tratta dal sito found in books; la traduzione è mia, non possedendo le edizioni italiane dei romanzi, quindi se è identica a quella pubblicata è semplicemente per un caso.

Pierre de Fermat nacque nel 1601 a Beaumont-de-Lomange nel sudovest della Francia. Egli non fu solo un matematico, ma anche un magistrato che si dedicò alla matematica per hobby. E' stato considerato come uno dei più geniali matematici auto-didatti mai vissuto.

(Stieg Larsson)

Pierre de Fermat e il suo teorema impossibile

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

E' questo quello che scrisse Pierre de Fermat a margine della sua copia del secondo volume dell'Arithmetica di Diofanto e in pratica sancisce l'impossibilità di trovare soluzioni, nel campo dei numeri naturali, per l'equazione diofantea⁽¹⁾ che generalizza il teorema di Pitagora: \[a^n + b^n = c^n\] Sappiamo che per $n = 2$ abbiamo l'enunciato matematico del famoso teorema del matematico crotonese, e sappiamo anche che tale teorema presenta soluzioni nel campo dei numeri naturali. Tali soluzioni sono dette terne pitagoriche. Quando invece $n = 3$ o superiore non ci sono soluzioni.
Fermat, evidentemente studiando sul volume di Diofanto, ebbe l'intuizione sulle potenze superiori a 2, però fornì semplicemente la dimostrazione per $n = 4$, mentre la prima, dopo Fermat, ad affrontare il teorema fu la matematica Sophie Germain⁽²⁾, che dimostrò il seguente teorema:

L'ultimo teorema di Fermat

Sui margini di una copia di un vecchio trattato di matematica (il secondo volume dell'Arithmetica di Diofanto), il più grande dei matematici dilettanti Pierre de Fermat, scrive queste parole

E' impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore.

In pratica \[a^n + b^n = c^n, \quad \geq 3\] Sempre sullo stesso testo, quasi una sfida ai matematici del futuro, Fermat scrisse:

Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina.

Queste poche righe, scritte come l'enunciato del teorema in latino, sono l'inizio di una sfida tra i matematici e Fermat, che tra l'altro, sempre a margine del testo, realizzò una dimostrazione nel caso di $n=4$. La sfida, accolta da alcuni dei più illustri matematici dei secoli successivi, venne sempre e solo in parte vinta, nel senso che ogni matematico che vi lavorò sopra riuscì sempre ad ottenere sempre e solo una dimostrazione parziale o ad ottenere uno strumento utile per la sua dimostrazione definitiva.
Già. La dimostrazione definitiva. Perché una dimostrazione definitiva c'è, ed è quella di Andrew Wiles, che utilizzando alcuni degli strumenti matematici più potenti e adattandone e, perché no, inventandone altri, è riuscito a realizzare una dimostrazione completa presentata ad un congresso tenutosi a Cambridge nel 1993. Peccato che quella prima dimostrazione conteneva un errore, come si accorse Nick Katz, uno dei referee che dovevano esaminare il manoscritto di Wiles per la pubblicazione su Inventiones Mathematicae, rivista diretta da Barry Mazur, amico e conoscente, come Katz, di Wiles. Per concludere la dimostrazione, però, Wiles, dopo molti mesi in cui cercò di riprodurre la magica alchimia di solitudine e concentrazione che gli consentì di arrivare ad alcuni importanti risultati, su consiglio di Peter Sarnak decide di chiedere aiuto ed assistenza ad uno dei suoi ex-allievi, tra l'altro anche uno dei referee scelti dalla rivista, Richard Taylor. Grazie all'unione dei due ingegni e ad un'intuizione improvvisa quanto inaspettata anche questo incredibile teorema matematico trova soluzione finale, ottenendo alla fine anche un risultato fondamentale, l'unione tra due mondi matematici separati come le equazioni ellittiche e le forme modulari. La dimostrazione di Wiles, infatti, si basa sulla dimostrazione della congettura di Taniyama e Shimura (oggi assurta a teorema), due ricercatori giapponesi, due amici molto legati che le vicende della ricerca e della vita separarono indissolubilmente (Taniyama, ormai vicino al matrimonio, si uccise per non meglio identificati motivi, in una vicenda un po' alla Majorana).
Tutto questo e molto altro ancore ne L'ultimo teorema di Fermat di Simon Singh, uno splendido racconto sulla matematica e su uno dei suoi più ostici teoremi, in cui il giornalista britannico descrive al lettore con chiarezza e passione la storia di un teorema, di una dimostrazione e di tutti coloro che l'hanno affrontata, il tutto tra miti e leggende (il che è inevitabile quando si parla di personalità dell'antichità come Pitagora, o piuttosto solitarie come lo stesso Fermat, o decisamente molto particolari e sopra le righe come Evariste Galois).

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P.S.: alla fine il manoscritto originale e la correzione alla dimostrazione vennero pubblicati su Annals of Mathematics:
* Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, AoM vol.141, No. 3, pag. 443 (pdf via berkeley)
* Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, AoM vol.141, No. 3, pag. 553