Matematica, lezione 54: Sport

Nello sport la matematica rientra in molti modi. Alcuni di questi li ho anche esaminati in occasione di alcune competizioni sportive: per esempio ai bei tempi in cui Science Backstage faceva parte di Blogosfere, piattaforma ormai defunta, avevo raccontato di come alcuni ricercatori appassionati di calcio avevano applicato la matematica delle reti alla struttura di gioco delle nazionali di calcio nelle grandi competizioni sportive. Un altro esempio, invece, lo trovate proprio qui su DropSea quando ho raccontato le ricerche matematiche del giocatore di football John Urschel. E una di queste ricerche era proprio applicata al suo sport.
A differenza degli esempi che ho fatto poco sopra, però, il 54.mo volume della collana Matematica, che porta la firma del buon Paolo Alessandrini, non si occupa della struttura di gioco, bensì della composizione dei tornei, sia quelli all'italiana, o round robin (terminologia che, per esempio, ho imparato grazie alla Coppa America), sia quelli a eliminazione diretta. E anche in questa occasione giocano un ruolo fondamentale i grafi. Il tutto spiegato con una prosa scorrevole e chiara, ma che comunque non rinuncia, come giusto che sia per la collana, al formalismo matematico.

Ritratti: Andrew Wiles

Andrew Wiles

La biografia di Andrew John Wiles è obiettivamente piuttosto scarna: nato l'11 aprile del 1953 a Cambridge, in Gran Bretagna, dal professore di teologia (nonché cappellano) Maurice Frank Wiles e da Patricia Mowll, ha passato praticamente tutta la sua carriera di matematico a perfezionare un'unica dimostrazione, quella del famoso ultimo teorema di Fermat.
La fascinazione verso questo apparentemente semplice teorema arrivò sin dalla gioventù, da quando aveva dieci anni, per la precisione. Wiles rimase folgorato dalla semplicità dell'enunciato e dalla difficoltà nella sua dimostrazione, considerando che l'avvocato Pierre de Fermat enunciò il teorema (e la sua presunta dimostrazione) nel lontano 1637:

È impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore.

o in termini matematici

L'equazione \[x^n + y^n = z^n\] non ha alcuna soluzione a parte quella banale nei numeri interi per $n$ maggiore di 2.

Da alcune semplici considerazioni, il giovane Andrew prese, però, la triste decisione di abbandonare il suo donchisciottesco proposito: non possedeva i necessari strumenti per affrontare il problema.
Almeno fino a che non iniziò a lavorare nel campo. Aveva ottenuto la laurea in matematica presso il Merton College a Oxford nel 1974 e il dottorato nel 1980 proprio a Cambridge, presso il Clare College, con John Coates come supervisore. Da qui in poi iniziò il classico percorso da vagabondo della ricerca che lo portò prima a Bonn, poi a Harvard e quindi a Parigi. E si trovava proprio nella capitale francese quando il problema di Fermat lo catturò nuovamente con tutta la sua forza.

Un omaggio a Ramanujan

Arthur Clarke è, indubbiamente, uno dei più noti scrittori di fantascienza del XX secolo. Inserendosi nel filone di Isaac Asimov e Alfred Elton Van Vogt, Clarke ha utilizzato a piene mani la scienza per rendere il più verosimili e plausibili possibile i suoi romanzi e racconti. D'altra parte uno dei capolavori di Stanley Kubrik, 2001: Odissea nello spazio, è basato su un suo racconto, mentre la stessa sceneggiatura ha visto la collaborazione dello scrittore ed è stata solo il punto di partenza per una serie di romanzi intorno alla storia narrata nel film.
Per L'ultimo teorema, Clarke chiese l'assistenza alla scrittura di un altro grande scrittore della fantascienza statunitense, Frederik Pohl: la sintesi tra i due autori ha prodotto un romanzo appassionante che unisce la matematica con la geopolitica in un mix di spunti che indubbiamente colpiscono sia il lettore di fantascienza, sia quello più addentro alle "cose matematiche".
Il protagonista è Ranjit Subramanian, genio matematico dello Sri Lanka, la cui figura è evidentemente ricalcata su Srinivasa Ramanujan, il geniale matematico indiano. In effetti, se c'è una persona che ha mai incarnato il senso della parola "genio", questa è proprio Ramanujan, grazie alla sua quasi istintiva comprensione della matematica, anche a livelli più alti rispetto al semplice calcolo (basti pensare alle serie geometriche proposte per il calcolo del $\pi$).
Il romanzo di Clarke e Pohl, edito originariamente nel 2008 e giunto in Italia nel 2012 grazie a Urania, affronta anche un problema matematico tra i più spinosi: l'ultimo teorema di Fermat, da cui il titolo del libro.
Il teorema venne dimostrato nel 1994 da Andrew Wiles, cosa che gli valse il Premio Abel nel 2016, ma la sua dimostrazione ha sempre avuto un problema, almeno dal punto di vista della divulgazione matematica: è piuttosto complicata. Questo vuol dire che la dimostrazione che Pierre de Fermat millantava di avere ottenuto (e che non è stata ritrovata) o era errata o era molto avanti sui suoi tempi. Proprio la conoscenza di questi fatti ha evidentemente spinto Clarke a proporre per Subramanian proprio la ricerca di una dimostrazione più semplice dell'Ultimo teorema. Cosa che per altro, senza specificarla nei dettagli, riesce a scoprire. Il fatto curioso è che nel 2015 Ken Ono e Sarah Trebat-Leder scoprirono tra gli appunti di Ramanujan un lavoro sulle curve ellittiche che poteva essere collegato con la dimostrazione del famoso teorema di Fermat.
Ovviamente il romanzo non si limita solo a questo, ma racconta dei tentativi dell'umanità di raggiungere la pace sulla Terra: ciò, però, avviene solo grazie alla minaccia di un’arma satellitare, controllata dall'ONU. Questa, però, è per certi versi, una visione pessimistica da parte degli autori sulle possibilità che si possa raggiungere la pace senza un certo grado di coercizione politica.
Altro elemento interessante è il contatto con una razza aliena tecnologicamente avanzata, pacifica e che avrà conseguenze interessanti per la Terra e il protagonista del romanzo, che ovviamente invito tutti i lettori a recuperare in qualche banchetto al mercato.

L'ultimo teorema di Fermat

Sui margini di una copia di un vecchio trattato di matematica (il secondo volume dell'Arithmetica di Diofanto), il più grande dei matematici dilettanti Pierre de Fermat, scrive queste parole

E' impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore.

In pratica \[a^n + b^n = c^n, \quad \geq 3\] Sempre sullo stesso testo, quasi una sfida ai matematici del futuro, Fermat scrisse:

Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina.

Queste poche righe, scritte come l'enunciato del teorema in latino, sono l'inizio di una sfida tra i matematici e Fermat, che tra l'altro, sempre a margine del testo, realizzò una dimostrazione nel caso di $n=4$. La sfida, accolta da alcuni dei più illustri matematici dei secoli successivi, venne sempre e solo in parte vinta, nel senso che ogni matematico che vi lavorò sopra riuscì sempre ad ottenere sempre e solo una dimostrazione parziale o ad ottenere uno strumento utile per la sua dimostrazione definitiva.
Già. La dimostrazione definitiva. Perché una dimostrazione definitiva c'è, ed è quella di Andrew Wiles, che utilizzando alcuni degli strumenti matematici più potenti e adattandone e, perché no, inventandone altri, è riuscito a realizzare una dimostrazione completa presentata ad un congresso tenutosi a Cambridge nel 1993. Peccato che quella prima dimostrazione conteneva un errore, come si accorse Nick Katz, uno dei referee che dovevano esaminare il manoscritto di Wiles per la pubblicazione su Inventiones Mathematicae, rivista diretta da Barry Mazur, amico e conoscente, come Katz, di Wiles. Per concludere la dimostrazione, però, Wiles, dopo molti mesi in cui cercò di riprodurre la magica alchimia di solitudine e concentrazione che gli consentì di arrivare ad alcuni importanti risultati, su consiglio di Peter Sarnak decide di chiedere aiuto ed assistenza ad uno dei suoi ex-allievi, tra l'altro anche uno dei referee scelti dalla rivista, Richard Taylor. Grazie all'unione dei due ingegni e ad un'intuizione improvvisa quanto inaspettata anche questo incredibile teorema matematico trova soluzione finale, ottenendo alla fine anche un risultato fondamentale, l'unione tra due mondi matematici separati come le equazioni ellittiche e le forme modulari. La dimostrazione di Wiles, infatti, si basa sulla dimostrazione della congettura di Taniyama e Shimura (oggi assurta a teorema), due ricercatori giapponesi, due amici molto legati che le vicende della ricerca e della vita separarono indissolubilmente (Taniyama, ormai vicino al matrimonio, si uccise per non meglio identificati motivi, in una vicenda un po' alla Majorana).
Tutto questo e molto altro ancore ne L'ultimo teorema di Fermat di Simon Singh, uno splendido racconto sulla matematica e su uno dei suoi più ostici teoremi, in cui il giornalista britannico descrive al lettore con chiarezza e passione la storia di un teorema, di una dimostrazione e di tutti coloro che l'hanno affrontata, il tutto tra miti e leggende (il che è inevitabile quando si parla di personalità dell'antichità come Pitagora, o piuttosto solitarie come lo stesso Fermat, o decisamente molto particolari e sopra le righe come Evariste Galois).

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P.S.: alla fine il manoscritto originale e la correzione alla dimostrazione vennero pubblicati su Annals of Mathematics:
* Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, AoM vol.141, No. 3, pag. 443 (pdf via berkeley)
* Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, AoM vol.141, No. 3, pag. 553