Il problema finale

Più o meno nello stesso periodo (il 1914) in cui Arthur Conan Doyle scriveva La valle della paura, quarto e ultimo romanzo di Sherlock Holmes, Srinivasa Ramanujan iniziò a scrivere (era il 1913) una serie di lettere con diversi problemi matematici ad alcuni matematici dell'Università di Cambridge.
Dei molti cui scrisse, solo uno gli rispose: Godfrey Harold Hardy. Questi, con grandissima umiltà, aveva non solo compreso il grande talento matematico del giovane indiano, ma era anche conscio di non essere alla sua altezza.
Negli anni successivi fece di tutto per supportare Ramanujan, riuscendo anche a farlo arrivare in Inghilterra, per lavorare proprio a Cambridge. Da questa "collaborazione", in un arco di tempo relativamente ristretto, la matematica si arricchì di migliaia e migliaia di nuovi risultati (qualcosa come all'incirca 3900 risultati tra teoremi, equazioni e nuove identità).
Nel 1919, a causa di alcuni seri problemi di salute, Ramanujan tornò in India: morì all'incirca un anno dopo, il 26 aprile del 1920, all'età di 32 anni.

Un paio di articoli su Ramanujan e il pi greco

Ho voluto provare la nuova funzionalità di Acholar Labs con il pi greco, giusto per iniziare a scaldare un po' l'ambiente in vista del pi day!

---

A Formal Proof of a Continued Fraction Conjecture for \(\pi\) Originating from the Ramanujan Machine

Provides a formal analytic proof for a class of non-canonical polynomial continued fractions that represent \(\pi/4\), which was originally conjectured by the Ramanujan Machine using algorithmic induction.

Analytic Regularization of a Ramanujan Machine Conjecture

Provides a formal analytic derivation of a continued fraction identity for \(-\pi/4\), which was recently conjectured by the Ramanujan Machine.

La macchina di Ramanujan è un software sviluppato da un team di ricercatori dell'istituto israeliano di tecnologia, il Technion, allo scopo di scoprire nuove formule matematiche. I dettagli del progetto sono stati pubblicati nel 2021 su Nature.

Breve storia del pi greco: Edizione indiana

Bentrovati alla puntata del 2025 della Breve storia del pi greco, una serie di articoli che "ristampano" i box delle notizie pi greche che dal lontano 2013 tediano allegramente i Carnevali della matematica del pi day che ho l'onore di ospitare. Come ormai dal 2020, un po' tutte le puntate hanno perso l'ordinale per un più pratico titolo che ne sintetizza i contenuti, e la cosa succede anche alle notizie pi greche estratte dal Carnevale della matematica #185, quello di quest'anno.
Prima di procedere con la lettura, c'è una novità: ho deciso, infatti, di raccogliere i post della serie in una pagina apposita, scelta più pratica del solito copia/incolla della lista completa:

Breve storia del pi greco: la serie completa

Come raccontato nell'ormai lontano Carnevale della matematica #59 (oppure nella prima puntata della Breve storia del pi greco), il moderno calcolo delle cifre decimali del \(\pi\) si basa su una combinazione degli algoritmi iterativi con le serie rapidamente convergenti. La serie di record, ben 18, ottenuta dal matematico giapponese Yasumasa Kanada è stata possibile proprio grazie a questo genere di serie.
Le prime serie rapidamente convergenti sono dovute al Srinivasa Ramanujan, che nel 1914 pubblicò diverse di queste serie, tutte caratterizzate da una grande eleganza matematica e, soprattutto, dalla loro velocità nel convergere. Per esempio, una di queste formule, basata sulle equazioni modulari, è

Aspettando il pi day 2025: Ramanujan e il pi greco

Come antipasto per il Carnevale della Matematica #185 dedicato al pi greco vi propongo un video sulla quadratura del cerchio con, tra i protagonisti, il buon Srinivasa Ramanujan. In effetti questo video è la riedizione di un video precedente (trovate qui l'articolo ispirativo). Buona visione e a tra poco con il Carnevale della Matematica!

Matematica, lezione 26: Le equazioni differenziali

L'esperienza di Marco Menale come divulgatore, in particolare per Maddmaths!, la si vede tutta e direi che pesa parecchio. Il tema delle equazioni differenziali, cui è dedicato il 26.mo volume della collana Matematica, viene infatti sviluppato con grande chiarezza pur senza perdere di formalismo. Ampia la sezione che Menale dedica agli esempi, iniziando, guarda un po' il caso, dai modelli epidemiologici, che erano arrivati agli onori della cronaca un po' di tempo fa grazie al covid19.
Altro esempio notevole molto ben sviluppato da Menale è quello dell'equazione del calore di Jean-Baptiste-Joseph Fourier, che, al netto di un formalismo non usuale, almeno per un fisico, ma sicuramente chiaro, viene anch'essa sviluppata non prima di aver introdotto la parte storica della stessa, in un'operazione che alla fine arricchisce il volume senza togliere spazio all'applicazione in quanto tale.
E mentre i giorchi matematici, sempre a cura di Maurizio Codogno, sono un'interessante sequenza di visualizzazioni geometriche, la sezione biografica è questa volta dedicata al più grande dei matematici dilettanti, Srinivasa Ramanujan, talentuoso matematico indiano arrivato agli onori internazionali della disciplina grazie a un altro grande protagonista della matematica, Godfrey Harold Hardy. La vita di Ramanujan è stata particolarmente sfortunata, in particolare per via della sua salute cagionevole, ma è stata segnata da un'unica, grande ossessione: la matematica. Non è detto che non gli dedicherò in futuro un articolo della serie dei Ritratti, e in quel caso è fuor di dubbio che il testo di Sara Zucchini, per la sua chiarezza e per il racconto appassionato e appassionante, sarà certo una delle fonti.

Ritratti: Leonard James Rogers

Leonard James Rogers - via commons

Qualunque affermazione straordinaria sui matematici avrebbe una necessità: dover essere dimostrata. Per cui affermare che Leonard James Rogers è stato un potenziale matematico romantico è una di quelle affermazioni straordinarie che necessita di essere dimostrata. E la dimostrazione è semplice: ha rischiato grosso a causa di non si sa bene quali malattie in due occasioni nel corso della sua vita. Per fortuna della matematica si è ripreso entrambe le volte, la prima durante la fanciullezza e la seconda in età adulta⁽¹⁾.
La malattia che lo colpì durante l'infanzia gli impedì, però, di frequentare regolarmente la scuola, così tale J Griffith del Jesus College, noto matematico di Oxford interessato alle funzioni ellittiche, notando le abilità matematiche del giovane figlio di Thorold Rogers, professore di economia politica, decise di istruirlo durante questo primo periodo travagliato dell'infanzia di Leonard.
Rogers, superata la malattia, crebbe uomo dai molteplici interessi, e in ognuno di questi riusciva sempre a distinguersi. Ad esempio coltivando la sua prima passione, la musica, era diventato un musicista dotato e discretamente famoso. Oltre questo era anche linguista, un bravo imitatore, un bravo pattinatore e si dilettava nella progettazione di giardini rocciosi. Il segreto del suo successo era impegnarsi in attività di suo gradimento⁽¹⁾.
Nel campo della matematica e dell'accademia ciò si tradusse in vari traguardi, oltre all'ottenimento dei vari titoli tipici dell'accademia britannica (la scholarship in matematica nel 1879 presso il Balliol College, cui si aggiunsero un secondo classical moderation nel 1882 e il bachelor in musica nel 1884). Tra il 1888 e il 1919, anno in cui si dovette ritirare per un certo periodo a causa di una nuova grave malattia, ricoprì la carica di professore di matematica presso lo Yorkshire College, oggi Università di Leeds⁽¹⁾.

Breve storia del pi greco / parte 6

E siamo giunti alla sesta puntata della "breve storia del pi greco" che sto componendo con certosina pazienza all'interno dei Carnevali della Matematica in edizione "pi day". E anche se l'edizione #127 è ancora abbastanza fresca, eccovi subito la puntata 2019 della storia del numero che ha fatto la matematica!

---

Parte 1 | Parte 2 | Parte 3 | Parte 4 | Parte 5 | Parte 6

---

Dilbert di Scott Adams

---

Nel 1910 il più noto matematico indiano, Srinivasa Ramanujan, trovò una serie di formule rapidamente convergenti per il calcolo delle cifre decimali del $\pi$. Una di queste è già comparsa in una delle precedenti puntate della breve storia. La ripropongo anche qui per rinfrescare la memoria: \[\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k!) (1103 + 26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\] Un'ampia collezione di formule e metodi per determinare le cifre decimali del $\pi$ dovute a Ramanujan sono presenti in un suo articolo del 1914, Modular equations and approximations to $\pi$, che sono anche la base di partenza per le così dette formule di Ramanujan-Sato, sviluppate a partire dal lavoro del 2002 di Takeshi Sato proprio sull'articolo di Ramanujan. Di questo genere di formule ne esistono 11 tipi o livelli, ma tutte sono riducibili alla seguente struttura: \[\frac{1}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty s(k) \frac{Ak+B}{C^k}\] dove $s(k)$ è una sequenza di interi che può essere espressa usando i coefficienti binomiali (che per semplificare possiamo dire sono i numeri di cui è fatto il triangolo di Tartaglia, o di Pascal, dipende se siete italiani o francesi!), mentre $A$, $B$, $C$ sono forme modulari, ovvero funzioni analitiche a più dimensioni generalmente a valori complessi... e più semplice di così non riesco a spiegarle. O forse potrei proporre come esempio di forma modulare la serie di Eisenstein (che peraltro è stata oggetto di studio proprio di Ramanujan): \[E_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq\lambda\in\Lambda}\lambda^{-k}\] dove $k$ è un intero maggiore di $2$, condizione necessaria per la convergenza della serie, mentre $\lambda$ è un vettore dello spazio $\Lambda$.
L'aspetto interessante del coinvolgimento delle forme modulari è che le serie di Ramanujan-Sato note fino al 2012 coinvolgevano numeri reali, ma la prima con numeri complessi venne scoperta proprio quell'anno dal trio Heng Huat Chan, James Wan, Wadim Zudilin, che hanno contribuito abbondantemente allo sviluppo di questa particolare tipologia di successioni, che peraltro sono alla base degli algoritmi utilizzati oggi per determinare sempre più cifre del $\pi$.

Carnevale della Matematica #127

E' passato un anno, ma appena dieci edizioni, dall'ultimo pi day festeggiato insieme e anche per questo 2019 l'edizione di marzo del Carnevale della Matematica viene ospitata, per l'ottavo anno di fila, qui su DropSea. Il Carnevale, nel frattempo, è giunto alla ragguardevole cifra di 127 edizioni, per cui prima di addentrarci tra i contributi di questo mese e le ormai consuete notizie pi greche permettetemi di introdurvi alle curiosità legate al numero principe dell'edizione.
31.mo numero primo dopo il 113 e prima del 131, il 127 è un numero primo di Mersenne, come il 107, un numero primo isolato, poiché né 125 = 127 - 2 né 129 = 127 + 2 sono numeri primi, e un numero primo cubano. No, questo genere di numeri non è stato scoperto né da un matematico cubano, né è stato visto scorrazzare sulle spiaggie di Cuba, ma nella sua espressione gioca un ruolo fondamentale il cubo.
In effetti si distinguono due tipi differenti di primi cubani, quelli della prima forma, ricavabili dalla seguente espressione: \[p = \frac{x^3-y^3}{x-y} \text{ con } x = y+1\] ovvero della forma \[3y^2+3y+1\] e quelli della seconda forma \[p = \frac{x^3-y^3}{x-y} \text{ con } x = y+2\] ovvero della forma \[3y^2+6y+4\] con $y$ numero intero positivo. In particolare il 127 è un primo cubano della prima forma: per generarlo basta mettere 6 al posto di $y$. In realtà non tutti i numeri di questa forma sono anche primi. Ad esempio per $y$ pari a 5 si ottiene 91, che è solo dispari, e per $y$ pari a 7 ecco 169 come risultato, neanch'esso primo. Sempre restando nel "dominio" dei numeri primi, il 127 è anche la somma dei primi 9 numeri primi dispari.
Il 127 è anche un numero esagonale centrato, ovvero uno di quei numeri che può essere rappresentato con la forma di un esagono e assume l'espressione matematica \[1 + 3n (n-1)\] che sviluppandola diventa \[3n^2 -3n +1\] che non è molto differente dalla prima forma dei numeri cubani. E infatti i numeri esagonali che si ottengono con $n$ intero positivo sono gli stessi numeri cubani della prima forma, numero 1 a parte che è "solo" esagonale (è cubano, ma non primo cubano, per $y = 0$).
Tornando un attimo ai numeri primi di Mersenne, ovvero numeri della forma $2^n-1$, si scopre agilmente che 127 è il più piccolo primo di Mersenne triplo. Il motivo è che $127 = 2^7-1$ e $7=2^3-1$, con $3=2^2-1$ il più piccolo numero di Mersenne e $7$ il più piccolo numero di mersenne doppio.
Il 127 è anche un numero di Motzkin, il settimo per la precisione. Questi numeri curiosi vennero scoperti da Theodore Motzkin in ambito geometrico.
Li spiego con un esempio: supponiamo di mettere su una circonferenza 4 punti. A questo punto ci possiamo chiedere in quanti modi possiamo collegare i punti con delle corde che non si intersecano. La risposta è 9, che è anche il quinto numero di Motzkin. Ovviamente ogni numero di questo genere risponde proprio alla domana su quanti modi esistono per collegare $n$ punti su una circonferenza con corde non intersecantesi.
E' anche un numero di Friedman in ben due basi differenti. In base 10: \[120 = -1+2^7\] e in base 2: \[1111111 = (1 + 1)^{111} - 1 \cdot 1\] dove ovviamente 1111111 è la rappresentazione binaria di 127.
Come il 117 è un numero congruente e nontotiente e come il 37 è anche fortunato. Inoltre fa parte della terna pitagorica (127, 8064, 8065).
Altra proprietà curiosa è quella di essere il numero dispari più piccolo che non può essere scritto nella forma $p + 2^n$, con $p$ numero primo ed $n$ intero.
Fuori dall'ambito matematico il 127 è associato a due oggetti celesti, la cometa 127P/Holt-Olmstead e l'asteroide 127 Johanna.
Come di consueto i pezzi di storia del pi greco sono inseriti tra un contributo e l'altro come notizie pi greche, per cui iniziamo subito con i contributi dei carnevalisti per l'edizione 2019 del pi day!

Un omaggio a Ramanujan

Arthur Clarke è, indubbiamente, uno dei più noti scrittori di fantascienza del XX secolo. Inserendosi nel filone di Isaac Asimov e Alfred Elton Van Vogt, Clarke ha utilizzato a piene mani la scienza per rendere il più verosimili e plausibili possibile i suoi romanzi e racconti. D'altra parte uno dei capolavori di Stanley Kubrik, 2001: Odissea nello spazio, è basato su un suo racconto, mentre la stessa sceneggiatura ha visto la collaborazione dello scrittore ed è stata solo il punto di partenza per una serie di romanzi intorno alla storia narrata nel film.
Per L'ultimo teorema, Clarke chiese l'assistenza alla scrittura di un altro grande scrittore della fantascienza statunitense, Frederik Pohl: la sintesi tra i due autori ha prodotto un romanzo appassionante che unisce la matematica con la geopolitica in un mix di spunti che indubbiamente colpiscono sia il lettore di fantascienza, sia quello più addentro alle "cose matematiche".
Il protagonista è Ranjit Subramanian, genio matematico dello Sri Lanka, la cui figura è evidentemente ricalcata su Srinivasa Ramanujan, il geniale matematico indiano. In effetti, se c'è una persona che ha mai incarnato il senso della parola "genio", questa è proprio Ramanujan, grazie alla sua quasi istintiva comprensione della matematica, anche a livelli più alti rispetto al semplice calcolo (basti pensare alle serie geometriche proposte per il calcolo del $\pi$).
Il romanzo di Clarke e Pohl, edito originariamente nel 2008 e giunto in Italia nel 2012 grazie a Urania, affronta anche un problema matematico tra i più spinosi: l'ultimo teorema di Fermat, da cui il titolo del libro.
Il teorema venne dimostrato nel 1994 da Andrew Wiles, cosa che gli valse il Premio Abel nel 2016, ma la sua dimostrazione ha sempre avuto un problema, almeno dal punto di vista della divulgazione matematica: è piuttosto complicata. Questo vuol dire che la dimostrazione che Pierre de Fermat millantava di avere ottenuto (e che non è stata ritrovata) o era errata o era molto avanti sui suoi tempi. Proprio la conoscenza di questi fatti ha evidentemente spinto Clarke a proporre per Subramanian proprio la ricerca di una dimostrazione più semplice dell'Ultimo teorema. Cosa che per altro, senza specificarla nei dettagli, riesce a scoprire. Il fatto curioso è che nel 2015 Ken Ono e Sarah Trebat-Leder scoprirono tra gli appunti di Ramanujan un lavoro sulle curve ellittiche che poteva essere collegato con la dimostrazione del famoso teorema di Fermat.
Ovviamente il romanzo non si limita solo a questo, ma racconta dei tentativi dell'umanità di raggiungere la pace sulla Terra: ciò, però, avviene solo grazie alla minaccia di un’arma satellitare, controllata dall'ONU. Questa, però, è per certi versi, una visione pessimistica da parte degli autori sulle possibilità che si possa raggiungere la pace senza un certo grado di coercizione politica.
Altro elemento interessante è il contatto con una razza aliena tecnologicamente avanzata, pacifica e che avrà conseguenze interessanti per la Terra e il protagonista del romanzo, che ovviamente invito tutti i lettori a recuperare in qualche banchetto al mercato.

Breve storia del pi greco - parte 3

Calvin & Hobbes di Bill Watterson

Le tecniche di costruzione geometriche degli antichi greci erano dette "con riga e compasso". In questo modo è possibile costruire una gran quantità di poligoni regolari, per esempio, ma esistono tre problemi che risultano impossibili a meno di non utilizzare tecniche differenti: la trisecazione di un angolo, la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio.
In particolare per la quadratura, è semplice vedere come, detto $r$ il raggio del cerchio, il lato del quadrato con la stessa area sarà \[l = \sqrt{\pi} r\] Poiché il nostro amato pi greco è un numero trascendentale, la formula qui sopra è la più semplice rappresentazione dell'impossibilità della quadratura del cerchio utilizzando riga e compasso, con i quali è possibile trattare numeri razionali e irrazionali, come per esempio $\sqrt{2}$ (in questo caso basta semplicemente disegnare un quadrato di lato 1).
Utilizzando questi due strumenti è possibile ottenere una costruzione approssimata e, quindi, un corrispondente approssimato valore per il pi greco. In era moderna si contano approssimazioni di C.D. Olds (1963), Martin Gardner (1966), Benjamin Bold (1982), tutte alla fine variazioni sulla costruzione geometrica di Srinivasa Ramanujan del 1913 che approssimò pi greco con la frazione \[\frac{355}{113} = 3.1415929203539823008 \dots\] corretto fino alla sesta cifra decimale.
Sempre Ramanujan ottenne l'anno dopo un'approssimazione ancora più accurata (fino all'ottava cifra decimale), sempre utilizzando riga e compasso: \[\left( 9^2 + \frac{19^2}{22} \right )^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525826461252 \dots\]

Se però al compasso e alla riga aggiungiamo anche un po' di meccanica riusciamo a ottenere una interessante quadratura del cerchio (con conseguente misura del pi greco!). Prendiamo una circonferenza di raggio $r$ e facciamola rotolare con velocità costante lungo una sua retta tangente. Il punto di tangenza $N$ descriverà una curva detta cicloide.
E' possibile, poi, costruire una seconda cicloide utilizzando la proiezione del punto $M$ (l'estremo del diametro perpendicolare al raggio cui appartiene $N$) sulla retta tangente. L'intersezione $B$ del diametro $NN'$ con questa seconda cicloide ci fornirà un segmento di lato $NB$ la cui lunghezza sarà pari a $\sqrt{\pi} r$, ovvero il lato del quadrato con area identica al cerchio di partenza. Dividendo, quindi, il segmento così costruito per il raggio del cerchio di partenza è possibile, alla fine determinare il valore del pi greco.
E come suggerito questa costruzione non è semplicemente geometrica, ma possiamo anche farla realmente, magari con un piccolo disco di ottone come suggerisce August Zielinski, il propositore del metodo di quadratura or ora sommariamente descritto.
Ovviamente in questo caso la precisione del valore di pi greco determinato dipende dalla precisione del metodo di misurazione.

Carnevale della Matematica #83

Benvenuti, come ogni 14 del mese, al Carnevale della Matematica. E ben trovati sulle pagine elettroniche di DropSea che per il 4.o anno consecutivo ospita il Carnevale nel pi day, il giorno in cui si festeggia il pi greco e la matematica tutta. Quest'anno, poi, la ricorrenza è persino epica, visto che si possono festeggiare fino a 9 cifre decimali, riuscendo a conteggiare anche i secondi (cosa impossibile al momento con blogger...). Ad ogni modo, nel corso di questa edizione, come già accaduto per i due precedenti pi day, potrete leggere le "notizie pi greche", ovvero dei piccoli box con curiosità e approfondimenti dedicati al numero famoso archimedeo. Invece nell'introduzione, come da tradizione, andrò ad approfondire alcune delle caratteristiche dell'83, 23° numero primo compreso tra il 79 e l'89.
Sul numero che contraddistingue questa edizione (che in base 8 si scrive 123 che, tra le altre cose, è il nome di uno degli avi degli attuali fogli di calcolo) c'è, però, poco da raccontare: il nostro è la somma di tre numeri primi consecutivi, $23 + 29 + 31$, nonché di 5 numeri primi consecutivi, $11 + 13 + 17 + 19 + 23$, ed è anche la somma dei primi tre numeri primi la cui ultima cifra è 1, $11 + 31 + 41$. Inoltre è la somma dei quadrati dei primi tre numeri dispari, $3^2 + 5^2 + 7^2$. Infine è il numero primo più grande (tra quelli noti) ad essere la somma di tre numeri triangolari distinti, $10 + 28 + 45$.
Se, poi, proviamo a mettere in file tutti i numeri primi, osserviamo che proprio con l'83 compare per la prima volta la cifra "8", completando l'elenco di tutte le cifre da 1 a 9.
E' anche un primo di Sophie Germain: ovvero un dato numero primo $p$ è detto primo di Sophie Germain se anche $2p +1$ è un numero primo, e infatti 167 è primo. 83 è anche un numero primo sicuro, ovvero un numero primo di Sophie Germain generato da un altro numero primo (che evidentemente è anch'esso di Sophie Germain), e infatti 83 è generato dal 41, che è primo.
83 è anche un numero primo di Chen, dove un numero primo $p$ è detto di Chen se $p+2$ è primo o se è un prodotto di numeri primi. Esempio: 83 è primo di Chen perché $85 = 83 + 2 = 5 \cdot 17$.
83 è poi un numero primo di Eisenstein con parte immaginaria nulla e parte reale della forma $3n - 1$. Anche in questo caso ricordo che un primo di Eisenstein è così definito: \[z = a + b \omega\] dove \[\omega = e^\frac{2i \pi}{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\] Questo numero qui, però, per essere primo deve essere irriducibile, ma la sua irriducibilità è da intendersi nel senso della teoria degli anelli e può essere riassunta attraverso queste due semplici regole, che quando verificate fanno del numero un primo di Eisenstein:

1. $z$ è il prodotto tra un numero primo della forma $3n-1$ e una unità dell'anello;
2. $|z|^2 = a^2 − ab + b^2$ è un numero primo.

A causa della complessità di $\omega$, esistono anche primi di Eisenstein non reali.
Tra le sue proprietà più curiose c'è anche il fatto che $83^4 + 2$ è un numero primo, così come è primo anche $2^{83} - 83^2$.
Se poi provate a fare la somma delle cifre di 3999998999 (che è un numero primo!), otterrete un altro numero primo, l'83!
Il quadrato di 83, 6889, è un numero strobogrammatico, ovvero un numero che, ruotato di 180° è ancora uguale a se stesso. Tra l'altro 83 è il numero primo più piccolo ad avere questa singolare proprietà.
Infine 83 è il numero atomico del bismuto, che è l'elemento più pesante a non essere radioattivo.

Altre curiosità sull'83 su Prime Curios!

Carnevale della Matematica #59

La sua 59.ma cifra è un 4. Ovviamente sto parlando del $\pi$ che giusto dopo un anno torna protagonista del Carnevale della Matematica. Oggi, infatti, 14 Marzo 2013, è un'altra volta il Pi Day e come per l'edizione 2012, anche quest'anno il Carnevale del Pi Day è ospitato su DropSea. E visto che questa è anche la 59.ma edizione del Carnevale scientifico più longevo d'Italia, passerei innanzitutto alle presentazioni.
Il primo ospite da introdurre è inevitabilmente il numero di questa edizione, il 59, che è, udite udite, un bel numero primo, il 17.mo per la precisione, preceduto nella lista dal 53 e succeduto dal 61, di cui è il gemello. E come tutti i numeri primi non è solo un numero primo ma fa parte anche di un altro po' di club più o meno prestigiosi. Innanzitutto anche lui, come il 47, è un numero di Eisenstein. Questi numeri, come abbiamo visto un anno fa, sono dei numeri che possono essere anche complessi, visto che sono definiti come \[z = a + b \omega\] dove \[\omega = e^\frac{2i \pi}{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\] e in particolare 57 può essere scritto con parte immaginaria nulla e parte reale pari a $3n + 1$. 59, però, è anche un numero di Pillai. Un numero primo $p$ è un numero di Pillai se esiste un intero $n > 0$ tale che il fattoriale di $n$, ovvero $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n$, è inferiore di una unità rispetto a un multiplo di $p$, o detto in altri termini se $n! - 1$ è un multiplo di $p$. In particolare $15! - 1$ è divisibile per 59, e questo fa del nostro numero primo un numero di Pillai, nome che sta a ricordare il matematico Subbayya Sivasankaranarayana Pillai, che si interessò a questo genere di numeri, che tra l'altro sono infiniti, come è stato dimostrato da gente come Subbarao, Erdős, Hardy. Questo uno scorcio della loro lista:

23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, ...

E' poi un numero primo regolare e supersingolare ed è anche un numero altamente cototiente. Un numero intero $k$ di questo genere è un numero per cui l'equazione \[x - \varphi(x) = k\] ha il numero di soluzioni maggiore rispetto a qualsiasi numero più piccolo, 1 escluso (visto che per 1 l'equazione ha un numero infinito di soluzioni). Si ricorda poi che $\varphi(x)$ è la funzione di Eulero, che quando $x$ è un numero primo $p$ assume questa forma: \[\varphi(p^z) = (p-1) p^{z-1}\] con $z > 1$.
59 è poi un numero primo sicuro, non nel senso che è uno dei pochi numeri primi ad essere sicuro di essere un numero primo, ma nel senso che può essere scritto nella forma $2p + 1$, con $p$ a sua volta numero primo. Nel caso di 59 possiamo scrivere:

59 = 2 * 29 +1

con 29 a sua volta numero primo. Anche in questo caso eccovi l'inizio della lista:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, ...

Il 59, però, non ha ancora esaurito le curiosità matematiche: risulta, infatti, somma di tre numeri primi consecutivi, ovvero 17, 19 e 23, ed è anche il divisore del primo numero di Euclide $E_n$ a non essere a sua volta un numero primo.
I numeri di Euclide sono così definiti: \[E_n = p_n \# + 1\] dove $p_n \#$, detto primordiale, è il prodotto di tutti i numeri primi fino a $p_n$, anch'esso primo (in un certo senso è l'equivalente del fattoriale ma solo per i numeri primi). Si osserva che i numeri di Euclide sono primi fino al sesto: \[E_6 = 30031 = 59 \cdot 509\] Infine da un icosaedro regolare si possono costruire 59 stellazioni (che potete produrre voi stessi con un progetto proposto su Wolfram Demonstations), dove per stellazione si intende un procedimento geometrico che permette di costruire a partire da una figura in 2 o in 3 dimensioni una nuova figura sempre in 2 o in 3 dimensioni.
Delle stellazioni dell'icosaedro, vi propongo la 59.ma secondo la classificazione proposta in The Fifty-Nine Icosahedra di H.S.M. Coxeter, P. DuVal, H.T. Flather, J.F. Petrie:

Dopo aver ricordato che il praseodimio ha numero atomico 59, non mi resta che dare inizio alle danze!