Il problema finale

Più o meno nello stesso periodo (il 1914) in cui Arthur Conan Doyle scriveva La valle della paura, quarto e ultimo romanzo di Sherlock Holmes, Srinivasa Ramanujan iniziò a scrivere (era il 1913) una serie di lettere con diversi problemi matematici ad alcuni matematici dell'Università di Cambridge.
Dei molti cui scrisse, solo uno gli rispose: Godfrey Harold Hardy. Questi, con grandissima umiltà, aveva non solo compreso il grande talento matematico del giovane indiano, ma era anche conscio di non essere alla sua altezza.
Negli anni successivi fece di tutto per supportare Ramanujan, riuscendo anche a farlo arrivare in Inghilterra, per lavorare proprio a Cambridge. Da questa "collaborazione", in un arco di tempo relativamente ristretto, la matematica si arricchì di migliaia e migliaia di nuovi risultati (qualcosa come all'incirca 3900 risultati tra teoremi, equazioni e nuove identità).
Nel 1919, a causa di alcuni seri problemi di salute, Ramanujan tornò in India: morì all'incirca un anno dopo, il 26 aprile del 1920, all'età di 32 anni.

Il quaderno perduto

Nel corso di questo periodo Ramanujan, che continuò a "fare" matematica, scrisse solo una lettera a Hardy, nella quale, pur scusandosi della scarsa corrispondenza, gli annunciava una nuova scoperta matematica, quelle che egli definì le funzioni \(\vartheta\) fittizie.
Parte di questa lettera sembra sia andata perduta: quel che resta è stata pubblicata nei Collected papers di Ramanujan. La lettera venne successivamente ristampata nel 1988 quando venne pubblicato il cosiddetto Lost notebook and Other Unpublished Papers, una raccolta proprio di questi ultimi lavori di Ramanujan. Parte di questi lavori, però, si suppone che siano in qualche modo arrivati anche a Hardy, visto che nel 1935 il matematico George Neville Watson presentò alla London Mathematical Society The final problem: An account of the mock theta functions, evidentemente legato proprio alle funzioni \(\vartheta\) fittizie della lettera di Ramanujan.
Non devono sfuggire alcune interessanti coincidenze, che evidentemente lo stesso Watson (omonimo del fittizio biografo di Holmes) colse per primo, visto che il titolo The final problem, era un esplicito riferimento, se non proprio un omaggio, al racconto noto in Italia come L'ultima avventura. Pubblicato orginariamente nel numero di dicembre del 1893 dello Strand Magazine, sarebbe dovuto essere l'ultimo racconto di Holmes, ma, come sappiamo, Doyle diversi anni più tardi fu "costretto" a riprendere il personaggio.

Gli ultimi risultati

Nel caso di Ramanujan, il problema finale era in effetti costituito da una coppia di identità presenti in un frammento isolato, rispettivamente collegate ai problemi del cerchio e del divisore. Queste due questioni irrisolte erano storicamente associate rispettivamente a Carl Friedrich Gauss e Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
In particolare il problema del cerchio lo abbiamo già incontrato tempo fa nell'edizione algoritmica della Breve storia del pi greco.
Il problema del divisore è in qualche modo simile. Si parte dalla funzione \(d(n)\), ovvero il numero dei divisori positivi di un intero \(n\). Calcolando una stima asintotica per valori di \(n\) molto grandi, emerge un errore, \(\Delta(x)\): il problema è, dunque, determinare come cresce esattamente tale errore quando \(n\) va all'infinito.
Nel frammento isolato di cui sopra Ramanujan, utilizzando una serie infinita di funzioni di Bessel, aveva formulato due eleganti identità a due variabili associate proprio ai problemi del cerchio e del divisore.
Le funzioni di Bessel sono delle funzioni piuttosto particolari che compaiono nelle soluzioni di problemi sul moto delle onde, la conduzione del calore e altri problemi fisici con simmetria circolare o cilindrica. Le due identità così ottenute da Ramanujan erano, però, rimaste indimostrate per qualcosa come un secolo, fino a che Bruce Berndt, Sun Kim e Alexandru Zaharescu non dimostrarono quella del cerchio nel 2013, e sempre Berndt e Zaharescu, questa volta con Junxian Li, non dimostrarono quella del divisore nel 2019, chiudendo così il cerchio su uno dei più grandi matematici del XX secolo.