Paralipomeni di Alice: I reduci di Trafalgar

Ed è venuto il momento di vedere la soluzione del primo dei tre rompicapi che compongono il decimo nodo di A tangled tale di Lewis Carroll.
Ricapitolando, abbiamo i reduci della battaglia di Trafalgar ognuno con una menomazione: chi l'occhio, chi l'orecchio, chi il braccio, chi la gamba. Carroll ci chiede quale dovrebbe essere la percentuale minima di reduci tornata a casa con tutte e quattro le tipologie di ferite.
Per risolvere il quesito possiamo fare i classici conti della serva, un po' come fa lo stesso Carroll. Iniziamo facendo la somma delle percentuali che il matematico ci fornisce: 310.
Come ben vediamo la somma è superiore a 100, ma possiamo anche interpretare questo numero come la somma totale di tutte le ferite con cui i reduci sono tornati a casa. A questo punto, per ottenere 310, basta che 90 uomini abbiano subito 3 ferite e 10 uomini 4. E quindi 10% è la percentuale minima di reduci con tutte e quattro le ferite.
Ci potremmo, però, chiedere se non esista una percentuale più piccola nel caso in cui inseriamo anche gli uomini con due ferite. In questo caso possiamo utilizzare Geogebra nella sua versione 3D per la verifica, facendo una intersezione tra il piano \[2x+3y+4z=310\] e il piano \[x+y+z=100\] L'intersezione si rivela una retta e se facciamo un'ulteriore intersezione con un piano del tipo \(z=h\) scopriamo che solo per \(h=10\) abbiamo come intersezione un punto con tutte le coordinate positive, mentre per \(h\) inferiori almeno una delle coordinate è negativa.
Con Geogebra non possiamo andare oltre, ovvero prima in 4 dimensioni aggiungendo i reduci con una sola ferita e poi in 5 dimensioni aggiungendo i reduci tornati a casa sani e salvi (almeno fisicamente). Il modo di trovare la soluzione è ovviamente mettendo a sistema le due equazioni di cui sopra opportunamente modificate nei due casi. Il risultato fornisce una retta parametrica, da cui si può ulteriormente chiedersi quale sia il valore minimo del parametro corrispondete a coloro che hanno riportato 4 ferite per cui la soluzione è un punto con tutte le coordinate positive.
Ammetto di aver fatto fare questa verifica a Gemini scoprendo che 90 reduci con 3 ferite e 10 reduci con 4 ferite è sempre e comunque la risposta al quesito di Carroll!