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venerdì 15 marzo 2019

Breve storia del pi greco / parte 6

E siamo giunti alla sesta puntata della "breve storia del pi greco" che sto componendo con certosina pazienza all'interno dei Carnevali della Matematica in edizione "pi day". E anche se l'edizione #127 è ancora abbastanza fresca, eccovi subito la puntata 2019 della storia del numero che ha fatto la matematica!


Dilbert di Scott Adams

Nel 1910 il più noto matematico indiano, Srinivasa Ramanujan, trovò una serie di formule rapidamente convergenti per il calcolo delle cifre decimali del $\pi$. Una di queste è già comparsa in una delle precedenti puntate della breve storia. La ripropongo anche qui per rinfrescare la memoria: \[\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k!) (1103 + 26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\] Un'ampia collezione di formule e metodi per determinare le cifre decimali del $\pi$ dovute a Ramanujan sono presenti in un suo articolo del 1914, Modular equations and approximations to $\pi$, che sono anche la base di partenza per le così dette formule di Ramanujan-Sato, sviluppate a partire dal lavoro del 2002 di Takeshi Sato proprio sull'articolo di Ramanujan. Di questo genere di formule ne esistono 11 tipi o livelli, ma tutte sono riducibili alla seguente struttura: \[\frac{1}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty s(k) \frac{Ak+B}{C^k}\] dove $s(k)$ è una sequenza di interi che può essere espressa usando i coefficienti binomiali (che per semplificare possiamo dire sono i numeri di cui è fatto il triangolo di Tartaglia, o di Pascal, dipende se siete italiani o francesi!), mentre $A$, $B$, $C$ sono forme modulari, ovvero funzioni analitiche a più dimensioni generalmente a valori complessi... e più semplice di così non riesco a spiegarle. O forse potrei proporre come esempio di forma modulare la serie di Eisenstein (che peraltro è stata oggetto di studio proprio di Ramanujan): \[E_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq\lambda\in\Lambda}\lambda^{-k}\] dove $k$ è un intero maggiore di $2$, condizione necessaria per la convergenza della serie, mentre $\lambda$ è un vettore dello spazio $\Lambda$.
L'aspetto interessante del coinvolgimento delle forme modulari è che le serie di Ramanujan-Sato note fino al 2012 coinvolgevano numeri reali, ma la prima con numeri complessi venne scoperta proprio quell'anno dal trio Heng Huat Chan, James Wan, Wadim Zudilin, che hanno contribuito abbondantemente allo sviluppo di questa particolare tipologia di successioni, che peraltro sono alla base degli algoritmi utilizzati oggi per determinare sempre più cifre del $\pi$.

Fox Trot di Bill Amend

Nella ricerca delle migliori approssimazioni di pi greco, Ramanujan scoprì due interessanti approssimazioni che possono essere determinate con due particolari costruzioni geometriche.
La prima approssimazione \[\frac{355}{113} \left ( 1 − \frac{0.0003}{3533} \right ) = 3.1415926535897943 \cdots\] più grande di $\pi$ di circa il $10^{-15}$.
Vediamo come descrive la costruzione il matematico indiano:
Sia $AB$ il diametro di un cerchio di centro $O$. Bisecare $AO$ in $M$ e trisecare $OB$ in $T$. Tracciare da $T$ un segmento perpendicolare ad $AB$ che interseca la circonferenza in $P$. Disegnare una corda $BQ$ uguale a $PT$ e tracciare il segmento $AQ$. Disegnare da $O$ e da $T$ due segmenti paralleli a $BQ$ che intersecano $AQ$ rispettivamente in $S$ ed $R$. Disegnare una corda $AD$ uguale ad $AS$ e un segmento tangente alla circonferenza $AC = RS$. Tracciare i segmenti $BC$, $BD$ e $CD$; determinare su $BD$ il punto $E$ tale che $BE = BM$ e disegnare in $E$ un segmento parallelo a $CD$ che incontra $BC$ in $X$.
A questo punto il quadrato di $BX$ è quasi uguale all'area del cerchio, con un errore minore di un decimo di pollice quando il diametro del cerchio è di 40 miglia.
La seconda approssimazione \[\left( 9^2 + \frac{19^2}{22} \right )^{1/4}\] è invece legata a questa seconda costruzione geometrica:
Sia $AB$ il diametro di una circonferenza di centro $O$. Bisecare la semicirconferenza superiore in $C$ e trisecare $AO$ in $T$. Tracciare il segmento $BC$ e segnare i segmenti $CM$ e $MN$ uguali ad $AT$. Tracciare i segmenti $AM$ e $AN$ e trovare $P$ lungo quest'ultimo segmento in modo tale che $AP = AM$. Da $P$ tracciare la parallela a $MN$ che interseca $AM$ in $Q$. Tracciare $OQ$ e da $T$ il segmento parallelo a $OQ$ che interseca $AQ$ in $R$. Tracciare il segmento $AS$ perpendicolare ad $AO$ e uguale ad $AR$, quindi tracciare il segmento $OS$.
A questo punto il medio proporzionale tra $OS$ e $OB$ sarà molto vicino a essere uguale a un sesto della circonferenza, con un errore inferiore a un dodicesimo di polliche quando il diametro è 8000 miglia.

Leonardo di de Groot e Turk

Una delle illustrazioni più note di Leonardo Da Vinci è L'uomo vitruviano, che vede un uomo incastonato all'interno di un quadrato e di una circonferenza intersecantesi tra loro. L'illustrazione di Leonardo è ispirata a un passaggio dal De architectura di Vitruvio dove vengono descritte le divine proporzioni di un essere umano. Vediamo di capire se, dal punto di vista matematico, l'illustrazione di Leonardo e, per traslato, l'uomo descritto da Vitruvio ha qualcosa di divino o perfetto.
Se prendiamo un cerchio di raggio 1, allora il quadrato dell'uomo vitruviano leonardesco ha lato pari a 1.656, mentre il quadrato corrispondente quadrato aureo ha lato 1.618. Se invece vogliamo che il perimetro del quadrato sia uguale alla circonferenza del cerchio, allora il lato del quadrato risulta pari a 1.571; se infine vogliamo che le aree delle due figure geometriche siano congruenti, allora il quadrato deve avere lato 1.772. Da questo breve esame vediamo che L'uomo vitruviano, per quanto sembri connesso al famoso problema della quadratura del cerchio, non riesca nell'intento, oltre a risultare una stima per eccesso del quadrato divino, se mi passate il termine.
Eppure, secondo qualcuno, Leonardo è andato vicino alla quadratura del cerchio per approssimazione. Intorno all'uomo vitruviano, infatti, si possono realizzare tutta una serie di costruzioni geometriche, o basate sulla descrizione di Vitruvio o per ricostruire il cerchio e il quadrato di Leonardo. In particolare tale Hubert Weller ha identificato una costruzione geometrica, basata sull'uomo vitruviano, che portata avanti per iterazione permette di quadrare il cerchio!

S. Ramanujan (1914), "Modular equations and approximations to $\pi$", Quarterly Journal of Mathematics XLV, 350 – 372 (pdf)
T. Sato, Apéry numbers and Ramanujan's series for $\pi$, Abstract of a talk presented at the Annual meeting of the Mathematical Society of Japan, 28–31 March 2002
Chan, H. H., Wan, J., & Zudilin, W. (2012). Complex series for $1 / \pi$. The Ramanujan Journal, 29(1-3), 135-144. doi:10.1007/s11139-011-9358-2 (pdf)
R.Berdan (2004). Vitruvian Man by Leonardo da Vinci (html
Murtinho, V. (2015). Leonardo’s vitruvian man drawing: a new interpretation looking at Leonardo’s geometric constructions. Nexus Network Journal, 17(2), 507-524. doi:10.1007/s00004-015-0247-7
Weller, H. (1999). Squaring the Circle and Leonardos Vitruvian man (pdf)

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