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lunedì 21 marzo 2016

Breve storia del pi greco - parte 4

Come da tradizione, sebbene con un certo ritardo su quanto avessi preventivato, ecco arrivare la quarta parte della "breve storia del pi greco", costruita con le notizie pi greche estratte dal Carnevale della Matematica #95

da Science: a Discovery in Comics di Margreet de Heer
Il pi greco, definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, è un numero trascendentale. Il calcolo di questo rapporto ha impegnato centinaia di migliaia di matematici nel corso dei millenni, ma il primo approccio scientifico al problema viene tradizionalmente assegnato ad Archimede, che utilizzando i metodi di esaustione e compressione fornì un intervallo per il valore del $\pi$.
Il matematico cinese Liu Hui, vissuto tra il 220 e il 280, all'interno del suo più noto trattato, lo Jiuzhang suanshu, che si può rendere come I nove capitoli dell'arte matematica, propone un metodo che è una variazione di quello di Archimede con l'ausilio del teorema di gougu, o teorema dell'ipotenusa, ovvero il teorema di Pitagora.
L'idea di Liu Hui è quella di calcolare il rapporto tra circonferenza e diametro per iterazione, calcolando il perimetro di figure inscritte in una circonferenza di raggio $r$ con un numero di lati sempre maggiore. Supponiamo che il segmento $AB = p_{n-1}$ nella figura sia il lato di un poligono regolare con un numero di lati $N = 3 \cdot 2^{n-1}$. $AY$ sarà la metà di $AB$, e quindi, utilizzando il teorema di Pitagora \[OY = \sqrt{r^2 - \left ( \frac{p_{n-1}}{2} \right )^2}\] da cui per sottrazione la lunghezza di $XY$. Questo vuol dire che, utilizzando ancora una volta Pitagora, si riesce a ricavare la lunghezza $AX$, che è la lunghezza del lato del poligono regolare con numero di lati $N = 3 \cdot 2^n$: \[p_n = \sqrt{r \left ( 2r - \sqrt{4r^2 - p_{n-1}^2} \right )}\] Ponendo $r=1$, il valore approssimato del pi greco sarà dalla metà di $p_n$. Aumentando $n$, e quindi il numero dei lati della figura, aumenta la precisione del calcolo. Liu Hui ottenne come approssimazione 3.14159, che corrisponde a un $n$ di 3072.
Restando alla matematica asiatica, sono da segnalare le approssimazioni di Zu Chongzhi, anch'egli matematico e astronomo cinese, vissuto tra il 429 e il 500, che calcolò $\pi$ inscrivendo un poligono di 12288 lati in una circonferenza. Fornì un valore compreso tra 3.1415926 e 3.1415927 e due approssimazioni razionali, 355/113 e 22/7.
Il matematico giapponese Arima Yoriyuki ha, invece, fornito nel 1776 un'approssimazione razionale corretta fino alla 29.ma cifra \[\pi \approx {\frac {428224593349304}{136308121570117}}\]

Fox Trot di Bill Amend
All'interno della nostra storia ha un ruolo importante Ludolph Van Ceulen, matematico tedesco nato il 28 gennatio 1748 a Hildesheim e successivamente emigrato inisieme con la famiglia a Delft, nei Paesi Bassi, molto probabilmente per sfuggire alla lunga mano dell'inquisizione spagnola che era giunta fino in Germania per affrontare i protestanti.
La passione per la matematica lo portò ad affrontare le classiche sfide con altri matematici, come quella lanciata da William Goudaan di Haarlem su un problema geometrico o quella, fondamentale per la carriera di Van Ceulen, con Simon van der Eycke, che nel 1584 propose una dimostrazione sulla quadratura del cerchio. In due articoli del 1585 e del 1586 Van Ceulen mostrò l'errore nel lavoro di van der Eycke e probabilmente furono proprio questi lavori che lo spinsero ad avvicinarsi al lavoro di Archimede, aiutato dal borgomastro di di Delft, Jan Cornets de Groot, che provvide a tradurgli i vari trattati.
Il primo importante risultato nella ricerca delle cifre del $\pi$ venne pubblicato nel trattato Vanden circkel (Sul cerchio) del 1596 dove vennero presentate 20 cifre decimali corrette per $\pi$, dove venne utilizzato un poligono di $15 \cdot 2^{31}$ lati. Successivamente, utilizzando un poligono di $2^{62}$ lati, arrivò a 35 cifre decimali: questo risultato venne pubblicato postumo, prima in un articolo uscito nel 1615 su iniziativa di Adriana Simondochter, la sua vedova, dove vennero pubblicate 33 delle 35 cifre, quindi nel 1621 su Cyclometricus, trattato del suo allievo Willebrord Snell, che peraltro tradusse in latino alcuni dei lacori di Van Ceulen per permetterne una maggiore diffusione.
Il suo metodo, variazione di quello di Archimede, conduce alla formula che potremmo definire formula di Van Ceulen \[\pi = n \sin \frac{180^\circ}{n}\] Per ricavarla, prendiamo una circonferenza di raggio $\frac{1}{2}$, così che la circonferenza stessa risulta pari a $\pi$. Dato un qualunque poligono regolare inscritto all'interno della circonferenza, il suo perimetro sarà dato dal prodotto degli $n$ lati per la lunghezza del lato $l$. Prendiamo un lato qualunque: essendo una corda in una circonferenza, esso risulta perpendicolare con il raggio passante per il punto medio, generando così due triangoli rettangoli con angolo di vertice O centro del cerchio pari a $\theta$. Utilizzando il teorema dei seni, è semplice vedere che \[\sin \theta = 2 \frac{l}{2} = l\] e quindi il perimetro del poligono sarà dato da \[n \sin \theta\] All'interno del poligono possono costruire $2n$ triangoli rettangoli, quindi dividendo l'angolo giro per il numero dei lati ottengo il valore di $\theta = \frac{360}{2n} = \frac{180}{n}$ e da qui la formula di Van Ceulen, il cui risultato sarà più vicino al valore di $\pi$ all'aumentare del numero dei lati del poligono.
Come Archimede, anche Van Ceulen produsse un limite massimo, 3.14159265358979323846264338327950289, e un limite minimo, 3.14159265358979323846264338327950288, scolpiti sulla sua pietra tombale in quel di Leida. In suo onore il $\pi$ in Germania è anche noto come numero ludolphino.

Frank & Ernest di Thaves
A partire dalla 762.ma cifra decimale di $\pi$ inizia una sequenza di sei $9$ consecutivi detta punto di Feynman. Il nome deriva da un aneddoto non verificato con protagonista Richard Feynman, che durante una conferenza disse che avrebbe voluto imparare le cifre decimali di $\pi$ proprio fino a quel punto.
All'interno della sequenza delle cifre decimali del pi greco sono presenti altri gruppi come questo, come un secondo insieme di sei $9$ consecutivi in posizione 193.034 o un gruppo di sei $8$ in posizione 222.299.
L'interesse verso queste sequenze all'interno della sequenza generale è dovuto alla congettura che $\pi$ sia un numero normale, ovvero che le cifre che lo compongono siano distribuite con la stessa frequenza (in effetti si ritiene che $\pi$ possa addirittura essere assolutamente normale, ovvero normale per ogni base numerica).
Fino a ora non è stata trovata nessuna reale traccia di anormalità per il pi greco, ma non è stata prodotta nemmeno alcuna dimostrazione formale per la sua normalità. Questa ricerca, che potrebbe invece essere più fruttuosa in termini di risultato finale rispetto, ad esempio, alla dimostrazione della congettura di Collatz, si intrecca con la formula di Borwein, Bailey e Plouffe, meglio nota come la formula BBP: \[\pi = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i + 1} - \frac{2}{8i + 4} - \frac{1}{8i + 5} - \frac{1}{8i + 6} \right)\] Uno dei vantaggi più interessanti di questa formula è che permette di calcolare le cifre dello sviluppo del pi greco a partire da un qualunque punto. Questa proprietà, però, funziona solo in base 16 (o eventualmente in una base potenza di 2) ma non con la base 10.
L'idea di partenza di David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe è quella di determinare un algoritmo in grado di calcolare l'$n$-sima cifra di un numero trascendentale in basi differenti. I numeri cui sono interessati sono della forma \[\sum_{k=1}^\infty \frac{p(k)}{b^{ck}q(k)}\] dove $p(k)$ e $q(k)$ sono polinomi, mentre $b$ è la base nella quale calcolare la cifra e $c$ un intero positivo.
Utilizzando formule tipo la BBP (quindi della forma generale poc'anzi fornita) Borwein insieme con Richard Crandall è riuscito a fornire i criteri per stabilire la normalità in una data base dei numeri della forma: \[\frac{1}{b^{c^k} c^k}\] In particolare $b$ e $c$ devono essere primi fra loro.
Tra gli altri risultati hanno anche determinato la sequenza \[\ln 2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k 2^k}\]
Biografia di Van Ceulen su MacTutor
Bary Cipra, Digist of Pi, What's Happening in the Mathematical Sciences, Volume 6 (pdf)
(2000) Computing Pi-oneer. Science, 289(5477), 241e-241.
Bailey, D., Borwein, P., & Plouffe, S. (1997). On the rapid computation of various polylogarithmic constants Mathematics of Computation, 66 (218), 903-914 DOI: 10.1090/S0025-5718-97-00856-9
Bailey, D., & Crandall, R. (2001). On the Random Character of Fundamental Constant Expansions Experimental Mathematics, 10 (2), 175-190 DOI: 10.1080/10586458.2001.10504441 (Project Euclid)
Bailey, D., & Crandall, R. (2002). Random Generators and Normal Numbers Experimental Mathematics, 11 (4), 527-546 DOI: 10.1080/10586458.2002.10504704 (Project Euclid)
Video: How to calculate Pi

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