Breve storia del pi greco - parte 4

Come da tradizione, sebbene con un certo ritardo su quanto avessi preventivato, ecco arrivare la quarta parte della "breve storia del pi greco", costruita con le notizie pi greche estratte dal Carnevale della Matematica #95

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da Science: a Discovery in Comics di Margreet de Heer

Il pi greco, definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, è un numero trascendentale. Il calcolo di questo rapporto ha impegnato centinaia di migliaia di matematici nel corso dei millenni, ma il primo approccio scientifico al problema viene tradizionalmente assegnato ad Archimede, che utilizzando i metodi di esaustione e compressione fornì un intervallo per il valore del $\pi$.
Il matematico cinese Liu Hui, vissuto tra il 220 e il 280, all'interno del suo più noto trattato, lo Jiuzhang suanshu, che si può rendere come I nove capitoli dell'arte matematica, propone un metodo che è una variazione di quello di Archimede con l'ausilio del teorema di gougu, o teorema dell'ipotenusa, ovvero il teorema di Pitagora.

L'idea di Liu Hui è quella di calcolare il rapporto tra circonferenza e diametro per iterazione, calcolando il perimetro di figure inscritte in una circonferenza di raggio $r$ con un numero di lati sempre maggiore. Supponiamo che il segmento $AB = p_{n-1}$ nella figura sia il lato di un poligono regolare con un numero di lati $N = 3 \cdot 2^{n-1}$. $AY$ sarà la metà di $AB$, e quindi, utilizzando il teorema di Pitagora \[OY = \sqrt{r^2 - \left ( \frac{p_{n-1}}{2} \right )^2}\] da cui per sottrazione la lunghezza di $XY$. Questo vuol dire che, utilizzando ancora una volta Pitagora, si riesce a ricavare la lunghezza $AX$, che è la lunghezza del lato del poligono regolare con numero di lati $N = 3 \cdot 2^n$: \[p_n = \sqrt{r \left ( 2r - \sqrt{4r^2 - p_{n-1}^2} \right )}\] Ponendo $r=1$, il valore approssimato del pi greco sarà dalla metà di $p_n$. Aumentando $n$, e quindi il numero dei lati della figura, aumenta la precisione del calcolo. Liu Hui ottenne come approssimazione 3.14159, che corrisponde a un $n$ di 3072.
Restando alla matematica asiatica, sono da segnalare le approssimazioni di Zu Chongzhi, anch'egli matematico e astronomo cinese, vissuto tra il 429 e il 500, che calcolò $\pi$ inscrivendo un poligono di 12288 lati in una circonferenza. Fornì un valore compreso tra 3.1415926 e 3.1415927 e due approssimazioni razionali, 355/113 e 22/7.
Il matematico giapponese Arima Yoriyuki ha, invece, fornito nel 1776 un'approssimazione razionale corretta fino alla 29.ma cifra \[\pi \approx {\frac {428224593349304}{136308121570117}}\]

Carnevale della Matematica #95

Come da tradizione degli ultimi anni, anche per questo 2016 il Carnevale della Matematica del 14 marzo, il pi day, è ospitato sulle pagine elettroniche di DropSea. Dopo la tradizionale edizione san valentina dei Rudi Mathematici, in numero pari come ogni anno, arriva dunque l'edizione dedicata al numero di Archimede, anch'essa come ogni anno di numero dispari, per la precisione #95.
A differenza del numero dell'edizione precedente, il 95 è un numero composto i cui fattori primi sono 5 e 19. Poiché la somma dei divisori, cui viene incluso anche l'1, è 25 < 29, il numero è detto difettivo. D'altra parte essendo 5 e 19 numeri primi, ciò permette al 95 di essere un semiprimo, ovvero un numero generato da due numeri primi, non necessariamente distinti.
E' il sesto numero di Thabit (dal matematico Thābit ibn Qurra), ovvero un numero intero della forma \[3 \cdot 2^n -1\] I matematici greci classificavano i numeri anche in base alla loro disposizione geometrica. Immaginiamo di identificare un numero con la quantità di sassi necessaria per rappresentarlo. Se ad esempio prendiamo il 3, i sassi che lo identificano si possono disporre come un triangolo, e quindi il 3 è un numero triangolare. Se invece prendiamo il 4, esso può essere disposto per formare un quadrato, da cui un numero... quadrato!
Ovviamente si può proseguire definendo numeri per ciascuna figura geometrica regolare a partire dalla seguente definizione: \[P_s(n) = P_s(n-1) + (s-2)(n-1) + 1\] che può essere ridotta utilizzando la definizione dei numeri triangolari: \[P_s(n) = (s-2)T(n-1) + n\] con \[T_n = \frac{n(n+1)}{2}\] In tutto questo il 95 è un numero endecagonale, ovvero che può essere disposto come un endecagono, figura geometrica regolare di 11 lati.
Restando nel campo della geometria, il 95 è poi presente nelle seguenti terne pitagoriche:

(57, 76, 95), (95, 168, 193), (95, 228, 247), (95, 900, 905), (95, 4512, 4513)

Un'ultima curiosità sul 95 è legata alla funzione di Mertens, a sua volta legata alla funzione di Möbius $\mu (n)$. Tale funzione, senza entrare eccessivamente nei dettagli, classifica i numeri interi positivi in tre categorie, identificate dai numeri -1, 0, +1. La funzione di Mertens associa a un dato intero positivo $n$ la somma dei valori della funzione di Möbius calcolata fino al dato $n$: \[M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)\] Questa funzione è oscillante, nel senso che salta tra vari valori, ma nei primi 100 naturali assume essenzialmente valori negativi con un massimo di 1. Ebbene proprio con il 95 la funzione di Mertens sfonda per la prima volta questo limite superiore assumendo il valore di 2.