Ritratti: Ludolph van Ceulen

Recupero, con colpevole ritardo, il "ritratto" di uno degli ultimi matemtici a calcolare il $\pi$ con il metodo dei poligoni.

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Non è raro leggere di matematici che, prima di ottenere il giusto riconoscimento, devono superare grandi difficoltà. Non fa eccezione Ludolph van Ceulen, matematico tedesco nato il 28 gennaio 1540 a Hildesheim. Il padre, Johannes Van Ceulen, era un piccolo commerciante che non navigava certo nell'oro e non poteva permettere un'educazione avanzata per un figlio che, invece, mostrava un certo interesse per la matematica. In questa situazione la principale difficoltà era rappresentata dal latino (e in parte dal greco), lingua nella quale erano scritti i testi basilari oltre che quelli più recenti nel campo all'epoca. E il latino era una materia da studi avanzati.

Una vita in viaggio

Altra fondamentale difficoltà era data dal periodo storico particolare in cui si trovò a vivere Ludolph. A quel tempo, infatti, la vita per i protestanti era piuttosto complicata: l'inquisizione spagnola era, infatti, sufficientemente potente da estendere le sue lunghe mani addirittura in Germania. I Van Ceulen, in quanto protestanti, furono costretti, come molti nelle stesse condizioni, a emigrare verso i più accoglienti Paesi Bassi del principe Guglielmo d'Orange.
D’altro canto lo stesso Ludolph ha avuto la propensione del viaggiatore: subito dopo la morte del padre si fece un viaggietto prima nella regione della Livonia, tra le attuali Lettonia ed Estonia, quindi ad Anversa per andare a trovare il fratello Gert e quindi a Delft nei Paesi Bassi dove si stabilì per un certo tempo, considerato che lì nacque una dei suoi cinque figli il 4 maggio del 1578.
La moglie, Mariken Jansen, morì nel 1590, ma il buon Ludolph rimase per poco in stato di vedovanza, risposandosi il 17 giugno di quell'anno con Adriana Simondochter, vedova di Bartholomew Cloot, contabile e insegnante di matematica, con il quale aveva generato ben otto figli, per un totale così di 13 bocce da sfamare. Le due famiglie Cloot e Van Ceulen erano in stretti rapporti di amicizia, quindi è abbastanza scontato immaginare che il matrimonio tra i due coniugi rimasti fosse la soluzione migliore per non disperdere un saldo rapporto.

Breve storia del pi greco - parte 4

Come da tradizione, sebbene con un certo ritardo su quanto avessi preventivato, ecco arrivare la quarta parte della "breve storia del pi greco", costruita con le notizie pi greche estratte dal Carnevale della Matematica #95

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da Science: a Discovery in Comics di Margreet de Heer

Il pi greco, definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, è un numero trascendentale. Il calcolo di questo rapporto ha impegnato centinaia di migliaia di matematici nel corso dei millenni, ma il primo approccio scientifico al problema viene tradizionalmente assegnato ad Archimede, che utilizzando i metodi di esaustione e compressione fornì un intervallo per il valore del $\pi$.
Il matematico cinese Liu Hui, vissuto tra il 220 e il 280, all'interno del suo più noto trattato, lo Jiuzhang suanshu, che si può rendere come I nove capitoli dell'arte matematica, propone un metodo che è una variazione di quello di Archimede con l'ausilio del teorema di gougu, o teorema dell'ipotenusa, ovvero il teorema di Pitagora.

L'idea di Liu Hui è quella di calcolare il rapporto tra circonferenza e diametro per iterazione, calcolando il perimetro di figure inscritte in una circonferenza di raggio $r$ con un numero di lati sempre maggiore. Supponiamo che il segmento $AB = p_{n-1}$ nella figura sia il lato di un poligono regolare con un numero di lati $N = 3 \cdot 2^{n-1}$. $AY$ sarà la metà di $AB$, e quindi, utilizzando il teorema di Pitagora \[OY = \sqrt{r^2 - \left ( \frac{p_{n-1}}{2} \right )^2}\] da cui per sottrazione la lunghezza di $XY$. Questo vuol dire che, utilizzando ancora una volta Pitagora, si riesce a ricavare la lunghezza $AX$, che è la lunghezza del lato del poligono regolare con numero di lati $N = 3 \cdot 2^n$: \[p_n = \sqrt{r \left ( 2r - \sqrt{4r^2 - p_{n-1}^2} \right )}\] Ponendo $r=1$, il valore approssimato del pi greco sarà dalla metà di $p_n$. Aumentando $n$, e quindi il numero dei lati della figura, aumenta la precisione del calcolo. Liu Hui ottenne come approssimazione 3.14159, che corrisponde a un $n$ di 3072.
Restando alla matematica asiatica, sono da segnalare le approssimazioni di Zu Chongzhi, anch'egli matematico e astronomo cinese, vissuto tra il 429 e il 500, che calcolò $\pi$ inscrivendo un poligono di 12288 lati in una circonferenza. Fornì un valore compreso tra 3.1415926 e 3.1415927 e due approssimazioni razionali, 355/113 e 22/7.
Il matematico giapponese Arima Yoriyuki ha, invece, fornito nel 1776 un'approssimazione razionale corretta fino alla 29.ma cifra \[\pi \approx {\frac {428224593349304}{136308121570117}}\]

Carnevale della Matematica #95

Come da tradizione degli ultimi anni, anche per questo 2016 il Carnevale della Matematica del 14 marzo, il pi day, è ospitato sulle pagine elettroniche di DropSea. Dopo la tradizionale edizione san valentina dei Rudi Mathematici, in numero pari come ogni anno, arriva dunque l'edizione dedicata al numero di Archimede, anch'essa come ogni anno di numero dispari, per la precisione #95.
A differenza del numero dell'edizione precedente, il 95 è un numero composto i cui fattori primi sono 5 e 19. Poiché la somma dei divisori, cui viene incluso anche l'1, è 25 < 29, il numero è detto difettivo. D'altra parte essendo 5 e 19 numeri primi, ciò permette al 95 di essere un semiprimo, ovvero un numero generato da due numeri primi, non necessariamente distinti.
E' il sesto numero di Thabit (dal matematico Thābit ibn Qurra), ovvero un numero intero della forma \[3 \cdot 2^n -1\] I matematici greci classificavano i numeri anche in base alla loro disposizione geometrica. Immaginiamo di identificare un numero con la quantità di sassi necessaria per rappresentarlo. Se ad esempio prendiamo il 3, i sassi che lo identificano si possono disporre come un triangolo, e quindi il 3 è un numero triangolare. Se invece prendiamo il 4, esso può essere disposto per formare un quadrato, da cui un numero... quadrato!
Ovviamente si può proseguire definendo numeri per ciascuna figura geometrica regolare a partire dalla seguente definizione: \[P_s(n) = P_s(n-1) + (s-2)(n-1) + 1\] che può essere ridotta utilizzando la definizione dei numeri triangolari: \[P_s(n) = (s-2)T(n-1) + n\] con \[T_n = \frac{n(n+1)}{2}\] In tutto questo il 95 è un numero endecagonale, ovvero che può essere disposto come un endecagono, figura geometrica regolare di 11 lati.
Restando nel campo della geometria, il 95 è poi presente nelle seguenti terne pitagoriche:

(57, 76, 95), (95, 168, 193), (95, 228, 247), (95, 900, 905), (95, 4512, 4513)

Un'ultima curiosità sul 95 è legata alla funzione di Mertens, a sua volta legata alla funzione di Möbius $\mu (n)$. Tale funzione, senza entrare eccessivamente nei dettagli, classifica i numeri interi positivi in tre categorie, identificate dai numeri -1, 0, +1. La funzione di Mertens associa a un dato intero positivo $n$ la somma dei valori della funzione di Möbius calcolata fino al dato $n$: \[M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)\] Questa funzione è oscillante, nel senso che salta tra vari valori, ma nei primi 100 naturali assume essenzialmente valori negativi con un massimo di 1. Ebbene proprio con il 95 la funzione di Mertens sfonda per la prima volta questo limite superiore assumendo il valore di 2.