Stomachion

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lunedì 14 marzo 2016

Carnevale della Matematica #95

Come da tradizione degli ultimi anni, anche per questo 2016 il Carnevale della Matematica del 14 marzo, il pi day, è ospitato sulle pagine elettroniche di DropSea. Dopo la tradizionale edizione san valentina dei Rudi Mathematici, in numero pari come ogni anno, arriva dunque l'edizione dedicata al numero di Archimede, anch'essa come ogni anno di numero dispari, per la precisione #95.
A differenza del numero dell'edizione precedente, il 95 è un numero composto i cui fattori primi sono 5 e 19. Poiché la somma dei divisori, cui viene incluso anche l'1, è 25 < 29, il numero è detto difettivo. D'altra parte essendo 5 e 19 numeri primi, ciò permette al 95 di essere un semiprimo, ovvero un numero generato da due numeri primi, non necessariamente distinti.
E' il sesto numero di Thabit (dal matematico Thābit ibn Qurra), ovvero un numero intero della forma \[3 \cdot 2^n -1\] I matematici greci classificavano i numeri anche in base alla loro disposizione geometrica. Immaginiamo di identificare un numero con la quantità di sassi necessaria per rappresentarlo. Se ad esempio prendiamo il 3, i sassi che lo identificano si possono disporre come un triangolo, e quindi il 3 è un numero triangolare. Se invece prendiamo il 4, esso può essere disposto per formare un quadrato, da cui un numero... quadrato!
Ovviamente si può proseguire definendo numeri per ciascuna figura geometrica regolare a partire dalla seguente definizione: \[P_s(n) = P_s(n-1) + (s-2)(n-1) + 1\] che può essere ridotta utilizzando la definizione dei numeri triangolari: \[P_s(n) = (s-2)T(n-1) + n\] con \[T_n = \frac{n(n+1)}{2}\] In tutto questo il 95 è un numero endecagonale, ovvero che può essere disposto come un endecagono, figura geometrica regolare di 11 lati.
Restando nel campo della geometria, il 95 è poi presente nelle seguenti terne pitagoriche:
(57, 76, 95), (95, 168, 193), (95, 228, 247), (95, 900, 905), (95, 4512, 4513)
Un'ultima curiosità sul 95 è legata alla funzione di Mertens, a sua volta legata alla funzione di Möbius $\mu (n)$. Tale funzione, senza entrare eccessivamente nei dettagli, classifica i numeri interi positivi in tre categorie, identificate dai numeri -1, 0, +1. La funzione di Mertens associa a un dato intero positivo $n$ la somma dei valori della funzione di Möbius calcolata fino al dato $n$: \[M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)\] Questa funzione è oscillante, nel senso che salta tra vari valori, ma nei primi 100 naturali assume essenzialmente valori negativi con un massimo di 1. Ebbene proprio con il 95 la funzione di Mertens sfonda per la prima volta questo limite superiore assumendo il valore di 2.

giovedì 31 dicembre 2015

Wikiritratti: Arima Yoriyuki

Arima Yoriyuki, nato il 31 dicembre del 1714, è stato una matematico giapponese vissuta durante il periodo Edo. E' stato signore del feudo di Kurume e ha determinato un valore approssimato di $\pi$ e di $\pi^2$. La sua approssimazione razionale, determinata nel 1776, risulta corretta fino alla 29.ma cifra: \[\pi \approx {\frac {428224593349304}{136308121570117}}=3.14159265358979323846264338327(569...)\]
Vedi anche: Collection of approximations for $\pi$