Ritratti: Archimede

Come ha ricordato Sara Zucchini nella biografia in appendice a Statistica inferenziale di Alessandro Viani, quando Sophie Germain, bambina, fu costretta a restare chiusa in casa con la madre a causa dei moti rivoluzionari, scoprì un mondo interessantissimo che valeva la pena approfondire: la matematica. A illuminarla fu in particolare Storia della matematica di Jean-Etienne Montucla, soprattutto la vita di Archimede. A colpirla fu su tutti l'episodio in cui il fisico e matematico siracusano venne ucciso da un soldato romano poiché era troppo concentrato su un problema matematico, e quindi non si accorse degli ordini perentori (e arroganti, come tutti i soldati) che questi gli stava rivolgendo.
L'episodio, riletto su un libro, mi ha fatto riflettere sulla leggendaria difesa di Siracusa, avvenuta nel corso della seconda guerra punica. In quell'occasione la città siciliana si era schierata dalla parte di Annibale Barca e la flotta romana, guidata da Marco Claudio Marcello, assediò la città, che all'inizio si difese strenuamente anche grazie, dice la leggenda, alle invenzioni di Archimede, in particolare i cosiddetti specchi ustori.

Un fuoco dal cielo

In effetti la storia degli specchi ustori potrebbe essere un tantinello esagerata, soprattutto se rivista con gli occhi della scienza moderna. Nel 2010, infatti, Cesare Rossi della Federico II propose una versione alternativa di questo mito storico: non già degli specchi mka una specie di cannone a vapore.
Come avevo già scritto alcuni anni addietro, nonostante il sistema degli specchi ustori fosse stato verificato nel 1974 da un ingegnere greco, Joannis Stakas, il sistema generava non poche perplessità (che non ripeto in questa sede). D'altra parte a suffragio dell'ipotesi di Rossi c'è un frammento di Leonardo Da Vinci, ritrovato nel 1841 dal pittore e scrittore francese Étienne-Jean Delécluze, in cui è disegnato lo schema proprio di un cannone a vapore, chiamato architronito, e che Leonardo attribuì proprio ad Archimede:

Architronito è una macchina di fine rame, invenzione di Archimede, e gitta ballotte di ferro con grande strepito e furore. E sasi in questo modo. La terza parte dello strumento istà in fra gran quantità di foco di carboni, e quando sarà bene da quelle infocata, serra la vite, d, ch'è sopra al vaso dell'acqua abc; e nel serrare di sopra la vite e' si distopperà di sotto, e tutta l'acqua discenderà nella parte infocata dello strumento, e lì subito si convertirà in tanto fumo che parirà maraviglia, e massime a vedere la furia e sentire lo strepido.
Questa cacciava una ballotta, che pesava un talento (una palla del peso tra i 26 e i 38 kg), sei stadi (una gittata di 1100 m).
Fa che 'l ferro cn sia pontato in mezzo la tavola, che gli è appiccata di sotto, a ciò che l'acqua possa in un tempo cadere d'intorno a essa asse.
(da Ms. B, f. 33 v.)

Anche Francesco Petrarca nel De Remediis Utriusque Fortunae (I rimedi contro la buona e la cattiva sorte), scritto tra il 1360 e il 1366, descrisse un dispositivo simile, attribuendolo sempre ad Archimede:

Straordinario, se non anche le palle di bronzo, che vengono scagliate con tuono orribile. Non era abbastanza l'ira di Giove che tuonava dal cielo, se il piccolo uomo (o crudeltà unita alla superbia) non avesse tuonato anche dalla terra: la violenza umana ha imitato il non imitabile fulmine, come dice Virgilio. E quello che di solito è scagliato dalle nuvole, e mandato con uno strumento sì di fuoco, ma infernale. Ed alcuni ritengono che questo sia stato inventato da Archimede, nel tempo in cui Marcello assediava Siracusa. Per la verità lo escogitò per difendere la libertà dei suoi cittadini, sia per allontanare sia per differire la rovine della patria; e voi vene servite, invece, per opprimere i popoli liberi o col giogo o con la distruzione. Questa peste non molto tempo fa rara, ora siccome gli animi sono succubi alle cose più malvagie, è comune come qualsiasi genere di armi.

Vaghe informazioni su un uomo mirabile

Le informazioni sulla vita di Archimede, però, sono vaghe e incomplete, il che lo renderebbe una figura leggendaria, al pari di Pitagora, se non fosse per via degli stretti rapporti epistolari che il siracusano aveva con gli altri studiosi dell'epoca. D'altra parte i trattati, in quel periodo, erano sostanzialmente distribuiti proprio in questo modo, cosa che li rendeva anche difficili da recuperare, un po' come accaduto proprio con il famoso Palinsesto perduto di Archimede.
Se il suo decesso è storiacamente ben documentato, risalente appunto al 212 a.C. a seguito della presa di Siracusa da parte della flotta romana, la sua nascita viene fatta risalire alla seconda metà del 280 a.C. (forse il 287 a.C., almeno stando all'informazione tramandata da Giovanni Tzetzes che fosse morto all'età di 75 anni).
Secondo Plutarco era imparentato con Gerone II, il monarda di Siracusa, con il quale comunque c'era un grande rispetto reciproco (il che, forse, suggerirebbe che non fossero parenti!).
Secondo il filologo Friedrich Blass, era figlio di un astronomo di nome Fidia, dal quale evidentemente eredità la passione per la scienza (e anche per l'astronomia, visto che Cicerone gli attribuiva la costruzione di un planetario: ne scriverò più sotto). Tale informazione è stata estrapolata da Blass da una frase apparentemente priva di senso all'interno dell'Arenario, un interessante trattato in cui Archimede provò a misurare l'universo (all'epoca ristretto al solo Sistema Solare) usando i granelli di sabbia. Il testo presenta una serie di definizioni matematiche che, in qualche modo, avvicinano Archimede a Georg Cantor e all'idea di afferrare l'infinito utilizzando i numeri transfiniti, che per il matematico siracusano sono le miriadi (in effetti i due concetti sono formalmente differenti, ma trovo che siano tuttosommato simili).

Afferrare l'infinito

Proprio la capacità di afferrare l'infinito, senza le remore dei pitagorici è forse l'eredità maggiore che ci ha lasciato Archimede. Ne La misura del cerchio ha fornito una stima del valore dei pi greco molto precisa per l'epoca: tra 22/7 (circa 3.1429) e 223/71 (circa 3.1408). Il metodo per ottenerla è abbastanza semplice da raccontare: utilizzando dei poligoni regolari inscirtti e circoscritti a un dato cerchio con un numero di lati crescente. Le due serie conducevano, appunto, ai due valori sopra citati.
Uno dei più grandi successi nel campo della somma di termini infiniti, però, è contenuto nella Quadratura della parabola, dove Archimede calcola l'area di una porzione del piano delimitata da un arco di parabola e da una retta secante la parabola stessa. In questo caso Archimede utilizza una serie di triangoli inscritti all'interno di questa porzione di spazio ottenendo una serie geometrica che dimostra essere convergente.
Un metodo simile venne applicato dal siracusano per calcolare il volume di un'unghia cilindrica, calcolo contenuto nel precedentemente citato Palinsesto.
I risultati per cui, però, Archimede è maggiormente noto, visto che vengono sempre citati a scuola, sono legati a due episodi in qualche modo leggendari.

Di spinte e leve

Probabilmente a Siracusa erano abituati alle stranezze del geniale Archimede, ma non so quanti presero bene la corsa di quest'ultimo per le strade della città mentre urlava Eureka! dopo aver risolto un prblema postogli proprio da Gerone II. Immaginate un settantenne, completamente bagnato (e nudo) che corre tra le strade sabbiose di Siracusa e avrete un'idea dell'effetto che potrebbe aver fatto sui passanti. D'altra parte il problema che doveva affrontare non era semplice: capire se un dato oggetto fosse costituito da un unico metallo, per esempio l'oro della corona dell'aneddoto, o da una lega che ne abbassava il valore.
Non è detto che tale episodio, tramandatoci da Vitruvio, sia avvenuto davvero, sta di fatto, però, che, come descritto in Sui corpi galleggianti, Archimede aveva ben in mente, con secoli di anticipo, l'idea alla base del metodo scientifico: eseguire degli esperimenti. E fu proprio grazie a quegli esperimenti che Archimede scoprì quella spinta che oggi porta il suo nome, ovvero la forza, che va dal basso verso l'alto, che ricevono tutti i corpi quando vengono immersi in un liquido, come per esempio l'acqua.
L'altro aneddoto, invece, è legato a una frase altrettanto famosa:

Datemi un punto d'appoggio e solleverò il mondo.

Secondo vari autori, come Pappo di Alessandria e Simplicio, Archimede sarebbe riuscito a spostare una nave grazie a una macchina da lui inventata, la leva, appunto. Il successo di questa impresa lo spinse a dire le parole sopra riportate.

La matematica al servizio del mondo

Una delle caratteristiche delle opere di Archimede, però, come ben si evince dai suoi trattati matematici, è la sua visione "pratica" di questa disciplina: non semplicemente formale, ma qualcosa di utile per misurare il mondo. Lo si vede esaminando attentamente le sue opere legate alla matematica pura, lo si evince esplicitamente dai suoi trattati nel campo della fisica, e, infine, dalle macchine che progettò.
Abbiamo già incontrato i cannoni usati contro la flotta romana oppure la leva per sollevare le navi, ma Archimede inventò anche un orologio ad acqua. Tale invenzione, tramandatati da alcuni manoscritti arabi, era costituita da due vasche, una sopraelevata rispetto all'altra. La prima era dotata di un rubinetto da cui l'acqua scendeva con un flusso costante dentro la seconda vasca, quella in basso.
Sopra quest'ultima si trovava un asse girevole al quale era arrotolato un filo, con una pietra e un galleggiante legati. All'inizio della giornata la vasca era vuota, con il filo tirato in modo da avere il galleggiante sul fondo e la pietra in cima. Aprendo il rubinetto, man mano che la vasca si riempiva, il galleggiante saliva e la pietra scendeva. Archimede aveva regolato il flusso in modo tale che alle 12 il galleggiante e la pietra si trovavano allo stesso livello, mentre alle 6 la pietra sul fondo della vasca piena d'acqua e il galleggiante in cima.
Un sistema di questo genere, però, non garantisce un flusso costante, questo perché man mano che la vasca superiore si svuota, la pressione dell'acqua diminuisce. Per ovviare a questo problema, Archimede pose una terza vasca che riforniva di acqua quella superiore, in modo da garantire un flusso effettivamente costante di acqua alla vasca in basso.
Altra invenzione interessante attribuita ad Archimede è la vite di Archimede, un meccanismo in grado di pompare l'acqua: d'altra parte in Sulle spirali definisce proprio in maniera cinematica quella che è oggi nota come spirale di Archimede.
E, infine, come promesso, ecco due parole in più sul planetario di Archimede. A quanto ci viene tramandato, Marco Claudio Marcello, dopo la vittoria contro Siracusa, portò a Roma uno strumento costruito da Archimede che riproduceva la volta celeste, fornendo anche una predizione dei moti apparenti di Sole, Luna e pianeti. Secondo Pappo di Alessandria, Archimede descrisse come costruirlo all'interno del trattato Sulla costruzione delle sfere, che purtroppo non ci è pervenuta. La cosa più incredibile è che, secondo ciò che sappiamo, Archimede sarebbe riuscito a generare tali moti a partire da un'unica rotazione. Probabilmente per il suo planetario utilizzò il modello di Aristarco da Samo.
Un pezzo del planetario di Archimede, però, potrebbe effettivamente essere stato rinvenuto nel 2006 a Olbia, ma anche questo è, in qualche modo, materia di leggenda. Un po' come la vita e persino la morte di Archimede, ucciso da un soldato che non lo aveva riconosciuto mentre cercava di risolvere un problema matematico sulla sabbia: che poi raccontata così quel soldato non ci fa una gran figura, visto che aveva trovato Archimede intento proprio in una delle attività per cui era più noto.
Certo: a noi piace pensarla così, perché l'episodio mette in contrasto la genialità con l'ottusità di chi esegue gli ordini senza farsi domande, ma forse le cose andarono in una maniera meno romantica di come ci sono state raccontate. Alla fine, però, non ha grande importanza quali sono state le precise circostanze dell'episodio: in fondo ciò che importa è la grandezza che ha portato al mondo!