A differenza del numero dell'edizione precedente, il 95 è un numero composto i cui fattori primi sono 5 e 19. Poiché la somma dei divisori, cui viene incluso anche l'1, è 25 < 29, il numero è detto difettivo. D'altra parte essendo 5 e 19 numeri primi, ciò permette al 95 di essere un semiprimo, ovvero un numero generato da due numeri primi, non necessariamente distinti.
E' il sesto numero di Thabit (dal matematico Thābit ibn Qurra), ovvero un numero intero della forma \[3 \cdot 2^n -1\] I matematici greci classificavano i numeri anche in base alla loro disposizione geometrica. Immaginiamo di identificare un numero con la quantità di sassi necessaria per rappresentarlo. Se ad esempio prendiamo il 3, i sassi che lo identificano si possono disporre come un triangolo, e quindi il 3 è un numero triangolare. Se invece prendiamo il 4, esso può essere disposto per formare un quadrato, da cui un numero... quadrato!
Ovviamente si può proseguire definendo numeri per ciascuna figura geometrica regolare a partire dalla seguente definizione: \[P_s(n) = P_s(n-1) + (s-2)(n-1) + 1\] che può essere ridotta utilizzando la definizione dei numeri triangolari: \[P_s(n) = (s-2)T(n-1) + n\] con \[T_n = \frac{n(n+1)}{2}\] In tutto questo il 95 è un numero endecagonale, ovvero che può essere disposto come un endecagono, figura geometrica regolare di 11 lati.
Restando nel campo della geometria, il 95 è poi presente nelle seguenti terne pitagoriche:
(57, 76, 95), (95, 168, 193), (95, 228, 247), (95, 900, 905), (95, 4512, 4513)
Un'ultima curiosità sul 95 è legata alla funzione di Mertens, a sua volta legata alla funzione di Möbius $\mu (n)$. Tale funzione, senza entrare eccessivamente nei dettagli, classifica i numeri interi positivi in tre categorie, identificate dai numeri -1, 0, +1. La funzione di Mertens associa a un dato intero positivo $n$ la somma dei valori della funzione di Möbius calcolata fino al dato $n$:
\[M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)\]
Questa funzione è oscillante, nel senso che salta tra vari valori, ma nei primi 100 naturali assume essenzialmente valori negativi con un massimo di 1. Ebbene proprio con il 95 la funzione di Mertens sfonda per la prima volta questo limite superiore assumendo il valore di 2.Iniziamo, ora, il Carnevale vero e proprio con il verso corrispondente al 95 nella poesia gaussiana: "Tra i cespugli nella luce", che vede la seguente cellula melodica elaborata da Flavio Ubaldini: Ed è proprio di Flavio il primo contributo del Carnevale, L'Italia tra i primi dieci paesi più ignoranti al mondo?
Qualche settimana fa ho visto questo titolo di articolo: "Italia nella top ten dei Paesi più ignoranti al mondo". Mi sono chiesto: può essere credibile un titolo che ci posiziona tra i dieci paesi più "ignoranti" al mondo? È possibile che siamo risultati "più ignoranti" anche rispetto ai paesi il cui tasso di analfabetismo è superiore al 50%? Sono andato a leggere l'articolo ed ecco che ho trovato...Passiamo ora a Walter Caputo che su Gravità Zero ci racconta di Un modo semplice per trattare con gli infiniti e gli infinitesimi:
Dopo la verifica di non contraddittorietà fatta da Gabriele Lolli, il metodo di Yaroslav Sergeyev per trattare gli infiniti e gli infinitesimi è sempre più diffuso. L'ulteriore notizia è che ora è disponibile un articolo completo, in italiano, scritto da Sergeyev.Walter sono anni che si occupa dell'attività di Sergeyev nel campo e ha anche raccolto in un post apposito tutti gli articoli divulgativi che ha scritto sull'argomento dal 2010 in poi.
Primo contributo dedicato esplicitamente al pi day è quello di Cristina Sperlari, che racconta quanto fatto con le sue colleghe della scuola primaria di Uggiate Trevano (CO) per l'epico pi day dello scorso anno:
Tra le tante attività realizzate, quelle che mi piace di più ricordare sono:
- le cifre decimali di Pi Greco che hanno invaso tutta la scuola;
- il Pi Greco vivente creato dai nostri bambini in giardino;
- i ben 13 laboratori matematici diversi realizzati in un unico giorno in un'unica scuola;
- le medaglie d'oro ai giochi matematici che hanno regalato grandi soddisfazioni a piccoli risolutori di problemi;
- il pomeriggio con i genitori che hanno visitato i laboratori (e hanno giocato quasi più dei figli!);
e, in generale, l'entusiasmo stampato sul viso a tutti quanti in quella fantastica e speciale giornata dedicata totalmente alla matematica!
La passione verso questa disciplina, secondo me, deve iniziare fin da quando si è piccoli. Per scoprire che con la matematica di può continuare a giocare anche quando si diventa grandi!
Notizie pi greche #13
Il pi greco, definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, è un numero trascendentale. Il calcolo di questo rapporto ha impegnato centinaia di migliaia di matematici nel corso dei millenni, ma il primo approccio scientifico al problema viene tradizionalmente assegnato ad Archimede, che utilizzando i metodi di esaustione e compressione fornì un intervallo per il valore del $\pi$.
Il matematico cinese Liu Hui, vissuto tra il 220 e il 280, all'interno del suo più noto trattato, lo Jiuzhang suanshu, che si può rendere come I nove capitoli dell'arte matematica, propone un metodo che è una variazione di quello di Archimede con l'ausilio del teorema di gougu, o teorema dell'ipotenusa, ovvero il teorema di Pitagora.
L'idea di Liu Hui è quella di calcolare il rapporto tra circonferenza e diametro per iterazione, calcolando il perimetro di figure inscritte in una circonferenza di raggio $r$ con un numero di lati sempre maggiore. Supponiamo che il segmento $AB = p_{n-1}$ nella figura sia il lato di un poligono regolare con un numero di lati $N = 3 \cdot 2^{n-1}$. $AY$ sarà la metà di $AB$, e quindi, utilizzando il teorema di Pitagora
\[OY = \sqrt{r^2 - \left ( \frac{p_{n-1}}{2} \right )^2}\]
da cui per sottrazione la lunghezza di $XY$.
Questo vuol dire che, utilizzando ancora una volta Pitagora, si riesce a ricavare la lunghezza $AX$, che è la lunghezza del lato del poligono regolare con numero di lati $N = 3 \cdot 2^n$:
\[p_n = \sqrt{r \left ( 2r - \sqrt{4r^2 - p_{n-1}^2} \right )}\]
Ponendo $r=1$, il valore approssimato del pi greco sarà dalla metà di $p_n$. Aumentando $n$, e quindi il numero dei lati della figura, aumenta la precisione del calcolo. Liu Hui ottenne come approssimazione 3.14159, che corrisponde a un $n$ di 3072.
Restando alla matematica asiatica, sono da segnalare le approssimazioni di Zu Chongzhi, anch'egli matematico e astronomo cinese, vissuto tra il 429 e il 500, che calcolò $\pi$ inscrivendo un poligono di 12288 lati in una circonferenza. Fornì un valore compreso tra 3.1415926 e 3.1415927 e due approssimazioni razionali, 355/113 e 22/7.
Il matematico giapponese Arima Yoriyuki ha, invece, fornito nel 1776 un'approssimazione razionale corretta fino alla 29.ma cifra \[\pi \approx {\frac {428224593349304}{136308121570117}}\]
Sempre dedicato al pi greco è il post di Mauro Merlotti, una piccola raccolta di risorse e curiosità dedicate al numero di Archimede:
Il pi greco, definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, è un numero trascendentale. Il calcolo di questo rapporto ha impegnato centinaia di migliaia di matematici nel corso dei millenni, ma il primo approccio scientifico al problema viene tradizionalmente assegnato ad Archimede, che utilizzando i metodi di esaustione e compressione fornì un intervallo per il valore del $\pi$.
Il matematico cinese Liu Hui, vissuto tra il 220 e il 280, all'interno del suo più noto trattato, lo Jiuzhang suanshu, che si può rendere come I nove capitoli dell'arte matematica, propone un metodo che è una variazione di quello di Archimede con l'ausilio del teorema di gougu, o teorema dell'ipotenusa, ovvero il teorema di Pitagora.
Restando alla matematica asiatica, sono da segnalare le approssimazioni di Zu Chongzhi, anch'egli matematico e astronomo cinese, vissuto tra il 429 e il 500, che calcolò $\pi$ inscrivendo un poligono di 12288 lati in una circonferenza. Fornì un valore compreso tra 3.1415926 e 3.1415927 e due approssimazioni razionali, 355/113 e 22/7.
Il matematico giapponese Arima Yoriyuki ha, invece, fornito nel 1776 un'approssimazione razionale corretta fino alla 29.ma cifra \[\pi \approx {\frac {428224593349304}{136308121570117}}\]
Si parla quindi di libri, siti e persone che hanno a che fare con Pi ed è strabiliante come ci sia qualcuno che riesca a ricordare più di 70.000 cifre...Il gruppo di Math is in the Air per questa edizione mandano una carrettata di contributi iniziando dalla Pi Story di Francesco Bonesi, che possiamo considerare un bel contributo alla tradizionale breve storia del pi greco cui i lettori di DropSea spero siano abituati.
Si continua poi parlando della funzione Zeta di Riemann e della Geometria Sferica. Insomma di tutto un po', cercando di rimanere fedeli al tema proposto.
Sempre Francesco prosegue la sua serie sulla crittografia con Buzz e Woody, messaggi puntuali, El Gamal:
In questo post Francesco farà comunicare fra loro i due personaggi di Toys Story utilizzando il metodo El Gamal della crittografia ellitticaA seguire ecco Superare i luoghi comuni con il teorema di Bayes: immigrazione e criminalità di Davide Passaro dove
si parla del teorema di Bayes e si mostra che se il 50% della popolazione carcerarie è formato da immigrati da questo non deriva che un immigrato su due sia un criminaleNell'elenco è presente anche un guest post a firma Francesco Ficetola, ricercatore del CNRS francese che con Come salvare le tartarughe con la matematica: l'analisi di regressione applicata alla conservazione degli habitat mostra un'interessante applicazione della matematica nel campo delle scienze naturali.
Marco Malvaldi, giallista e chimico, e Dino Leporini, professore di fisica generale a Pisa, hanno vinto nel 2014 un premio per la divulgazione scientifica con il loro libro Capra e cavoli. Math is in the air li ha intervistati, pubblicando la conversazione in due parti (parte 1 e parte 2):
L'intervista parte dal libro per arrivare a parlare di simulazioni, leggi della robotica, mutui subprime e copule gaussiane, scuola, ricerca, divulgazione.Infine ecco L'analisi della varianza: test Anova, contributo del nuovo collaboratore di MiitA Rosario Portoghese.
Notizie pi greche #14
Fox Trot di Bill Amend
All'interno della nostra storia ha un ruolo importante Ludolph Van Ceulen, matematico tedesco nato il 28 gennatio 1748 a Hildesheim e successivamente emigrato inisieme con la famiglia a Delft, nei Paesi Bassi, molto probabilmente per sfuggire alla lunga mano dell'inquisizione spagnola che era giunta fino in Germania per affrontare i protestanti.
La passione per la matematica lo portò ad affrontare le classiche sfide con altri matematici, come quella lanciata da William Goudaan di Haarlem su un problema geometrico o quella, fondamentale per la carriera di Van Ceulen, con Simon van der Eycke, che nel 1584 propose una dimostrazione sulla quadratura del cerchio. In due articoli del 1585 e del 1586 Van Ceulen mostrò l'errore nel lavoro di van der Eycke e probabilmente furono proprio questi lavori che lo spinsero ad avvicinarsi al lavoro di Archimede, aiutato dal borgomastro di di Delft, Jan Cornets de Groot, che provvide a tradurgli i vari trattati.
Il primo importante risultato nella ricerca delle cifre del $\pi$ venne pubblicato nel trattato Vanden circkel (Sul cerchio) del 1596 dove vennero presentate 20 cifre decimali corrette per $\pi$, dove venne utilizzato un poligono di $15 \cdot 2^{31}$ lati. Successivamente, utilizzando un poligono di $2^{62}$ lati, arrivò a 35 cifre decimali: questo risultato venne pubblicato postumo, prima in un articolo uscito nel 1615 su iniziativa di Adriana Simondochter, la sua vedova, dove vennero pubblicate 33 delle 35 cifre, quindi nel 1621 su Cyclometricus, trattato del suo allievo Willebrord Snell, che peraltro tradusse in latino alcuni dei lacori di Van Ceulen per permetterne una maggiore diffusione.
Il suo metodo, variazione di quello di Archimede, conduce alla formula che potremmo definire formula di Van Ceulen \[\pi = n \sin \frac{180^\circ}{n}\] Per ricavarla, prendiamo una circonferenza di raggio $\frac{1}{2}$, così che la circonferenza stessa risulta pari a $\pi$. Dato un qualunque poligono regolare inscritto all'interno della circonferenza, il suo perimetro sarà dato dal prodotto degli $n$ lati per la lunghezza del lato $l$. Prendiamo un lato qualunque: essendo una corda in una circonferenza, esso risulta perpendicolare con il raggio passante per il punto medio, generando così due triangoli rettangoli con angolo di vertice O centro del cerchio pari a $\theta$. Utilizzando il teorema dei seni, è semplice vedere che \[\sin \theta = 2 \frac{l}{2} = l\] e quindi il perimetro del poligono sarà dato da \[n \sin \theta\] All'interno del poligono possono costruire $2n$ triangoli rettangoli, quindi dividendo l'angolo giro per il numero dei lati ottengo il valore di $\theta = \frac{360}{2n} = \frac{180}{n}$ e da qui la formula di Van Ceulen, il cui risultato sarà più vicino al valore di $\pi$ all'aumentare del numero dei lati del poligono.
Come Archimede, anche Van Ceulen produsse un limite massimo, 3.14159265358979323846264338327950289, e un limite minimo, 3.14159265358979323846264338327950288, scolpiti sulla sua pietra tombale in quel di Leida. In suo onore il $\pi$ in Germania è anche noto come numero ludolphino.
Biografia di Van Ceulen su MacTutor
Bary Cipra, Digist of Pi, What's Happening in the Mathematical Sciences, Volume 6 (pdf)
(2000) Computing Pi-oneer. Science, 289(5477), 241e-241.
Video: How to calculate Pi
Il prossimo contributo è, invece, un'animazione realizzata da Roberto Zanasi con geogebra sul primo teorema di Euclide.Fox Trot di Bill Amend
All'interno della nostra storia ha un ruolo importante Ludolph Van Ceulen, matematico tedesco nato il 28 gennatio 1748 a Hildesheim e successivamente emigrato inisieme con la famiglia a Delft, nei Paesi Bassi, molto probabilmente per sfuggire alla lunga mano dell'inquisizione spagnola che era giunta fino in Germania per affrontare i protestanti.
La passione per la matematica lo portò ad affrontare le classiche sfide con altri matematici, come quella lanciata da William Goudaan di Haarlem su un problema geometrico o quella, fondamentale per la carriera di Van Ceulen, con Simon van der Eycke, che nel 1584 propose una dimostrazione sulla quadratura del cerchio. In due articoli del 1585 e del 1586 Van Ceulen mostrò l'errore nel lavoro di van der Eycke e probabilmente furono proprio questi lavori che lo spinsero ad avvicinarsi al lavoro di Archimede, aiutato dal borgomastro di di Delft, Jan Cornets de Groot, che provvide a tradurgli i vari trattati.
Il primo importante risultato nella ricerca delle cifre del $\pi$ venne pubblicato nel trattato Vanden circkel (Sul cerchio) del 1596 dove vennero presentate 20 cifre decimali corrette per $\pi$, dove venne utilizzato un poligono di $15 \cdot 2^{31}$ lati. Successivamente, utilizzando un poligono di $2^{62}$ lati, arrivò a 35 cifre decimali: questo risultato venne pubblicato postumo, prima in un articolo uscito nel 1615 su iniziativa di Adriana Simondochter, la sua vedova, dove vennero pubblicate 33 delle 35 cifre, quindi nel 1621 su Cyclometricus, trattato del suo allievo Willebrord Snell, che peraltro tradusse in latino alcuni dei lacori di Van Ceulen per permetterne una maggiore diffusione.
Il suo metodo, variazione di quello di Archimede, conduce alla formula che potremmo definire formula di Van Ceulen \[\pi = n \sin \frac{180^\circ}{n}\] Per ricavarla, prendiamo una circonferenza di raggio $\frac{1}{2}$, così che la circonferenza stessa risulta pari a $\pi$. Dato un qualunque poligono regolare inscritto all'interno della circonferenza, il suo perimetro sarà dato dal prodotto degli $n$ lati per la lunghezza del lato $l$. Prendiamo un lato qualunque: essendo una corda in una circonferenza, esso risulta perpendicolare con il raggio passante per il punto medio, generando così due triangoli rettangoli con angolo di vertice O centro del cerchio pari a $\theta$. Utilizzando il teorema dei seni, è semplice vedere che \[\sin \theta = 2 \frac{l}{2} = l\] e quindi il perimetro del poligono sarà dato da \[n \sin \theta\] All'interno del poligono possono costruire $2n$ triangoli rettangoli, quindi dividendo l'angolo giro per il numero dei lati ottengo il valore di $\theta = \frac{360}{2n} = \frac{180}{n}$ e da qui la formula di Van Ceulen, il cui risultato sarà più vicino al valore di $\pi$ all'aumentare del numero dei lati del poligono.
Come Archimede, anche Van Ceulen produsse un limite massimo, 3.14159265358979323846264338327950289, e un limite minimo, 3.14159265358979323846264338327950288, scolpiti sulla sua pietra tombale in quel di Leida. In suo onore il $\pi$ in Germania è anche noto come numero ludolphino.
Biografia di Van Ceulen su MacTutor
Bary Cipra, Digist of Pi, What's Happening in the Mathematical Sciences, Volume 6 (pdf)
(2000) Computing Pi-oneer. Science, 289(5477), 241e-241.
Video: How to calculate Pi
A seguire ecco una celebrazione del pi greco ad opera nel sempre ottimo Leonardo Petrillo: Formula di Stirling e torte nuziali. Il post:
(...) è incentrato su una formula che lega il pi greco al concetto di fattoriale (la formula di Stirling) e si chiude con un interessante passo tratto da un recente libro di John Barrow, relativo alla matematica delle torte nuziali (infinite)!E chi prende il mazzo di fiori... si mete a ballare (che avevate capito?), in particolare il tango! Annalisa Santi, infatti, ci propone Un tango per il pi day, un post ricco di curiosità legate alla matematica, alla musica, alla danza e ovviamente al tango!
Ora mettetevi comodi, perché ci sono i come al solito fitti contributi di Maurizio Codogno, il capo matematto. Si inizia con gli articoli usciti sul Post, in particolare due pillole:
- La congettura degli insiemi union-closed, che mostra come in combinatorica spesso non basti solo saper contare e problemi apparentemente semplici sono irrisolti
- Pi come pizza, un post stranamente a tema che presenta un concorso con tre problemi nientemeno che di John Conway.
- E infine Siamo stati superati dalle macchine anche nel Go? che non è matematicissimo ma fa notare come i computer possono dare risposte che non ci aspettiamo.
Quindi per la povera matematica
- La precisione del Perlone 2015: in cui faccio notare come troppe cifre decimali nelle percentuali siano inutili;
- Dimezzamenti fasulli, dove si mischiano disinvoltamente dati annuali e semestrali;
- Medie mobili, dove ricordo che in dieci anni la gente... beh, invecchia di dieci anni;
- Divisioni sul caffè, dove mostro come quando una divisione dà un dato strano il modo più semplice per scrivere un articolo di giornale è invertire dividendo e divisore.
- Mr Quadrato di Anna Cerasoli, uno dei suoi primi libri, carino ma ancora un po' rigido;
- Va' pensiero di Umberto Bottazzini, immagini di storia della matematica italiana dell'Ottocento;
- Professor Stewart's Incredible Numbers, dove sir Ian Stewart spiega come si fa un libro che parla dei numeri.
Notizie pi greche #15
Se non siamo interessati all'accuratezza, misurare pi greco è qualcosa che possiamo fare tranquillamente in casa con un metro a nastro e un bicchiere o un piatto. Su Math is fun utilizzano un piatto, ottenendo come valore $\pi = 3,1538$.
A casa, invece, ho provato a misurare un bicchiere con uno di quei piccoli metri che danno all'Ikea ottenendo un valore di $\pi = 3.1389$ (circonferenza di 21.6 cm, diametro di 7.2 cm).
Una misura di questo genere indubbiamente non permette di ottenere un valore esatto, ma può essere interessante per comprendere il concetto di errore sperimentale e apprezzare la grande precisione delle tecniche numeriche sviluppate per il calcolo delle cifre.
Per poter calcolare l'errore da attribuire al valore di $\pi$ determinato sperimentalmente, bisogna partire dalla sua formula di definizione \[\pi = \frac{C}{d}\] Il modo più semplice per determinare l'errore è ricordarsi che, nel caso di prodotti e divisioni, l'errore relativo (rapporto tra errore assoluto e misura) sulla grandezza che ci interessa è la somma degli errori relativi delle quantità misurate: \[\frac{\Delta \pi}{\pi} = \frac{\Delta C}{C} + \frac{\Delta d}{d}\] Quindi facendo un paio di calcoli si ottiene: \[\Delta \pi = \frac{\Delta C}{d} + \frac{\Delta d}{d^2} C\] Valutando l'errore sperimentale dell'ordine dei 2 mm sia nel caso della misura della circonferenza (prevenendo così una non perfetta posizione del metro) sia nel caso della misura del diametro (1 mm per la lettura dello "0" e 1 mm per la lettura della lunghezza) si ottiene, per Math is Fun, un valore pari a: \[\pi = (3.15 \pm 0.03)\] mentre per il sottoscritto \[\pi = (3.14 \pm 0.11)\]
E quest'anno il piatto ricco arriva alla fine: ecco, infatti, i MaddMaths! di Roberto Natalini con la solita "infornata" di buoni articoli matematici:Se non siamo interessati all'accuratezza, misurare pi greco è qualcosa che possiamo fare tranquillamente in casa con un metro a nastro e un bicchiere o un piatto. Su Math is fun utilizzano un piatto, ottenendo come valore $\pi = 3,1538$.
Una misura di questo genere indubbiamente non permette di ottenere un valore esatto, ma può essere interessante per comprendere il concetto di errore sperimentale e apprezzare la grande precisione delle tecniche numeriche sviluppate per il calcolo delle cifre.
Per poter calcolare l'errore da attribuire al valore di $\pi$ determinato sperimentalmente, bisogna partire dalla sua formula di definizione \[\pi = \frac{C}{d}\] Il modo più semplice per determinare l'errore è ricordarsi che, nel caso di prodotti e divisioni, l'errore relativo (rapporto tra errore assoluto e misura) sulla grandezza che ci interessa è la somma degli errori relativi delle quantità misurate: \[\frac{\Delta \pi}{\pi} = \frac{\Delta C}{C} + \frac{\Delta d}{d}\] Quindi facendo un paio di calcoli si ottiene: \[\Delta \pi = \frac{\Delta C}{d} + \frac{\Delta d}{d^2} C\] Valutando l'errore sperimentale dell'ordine dei 2 mm sia nel caso della misura della circonferenza (prevenendo così una non perfetta posizione del metro) sia nel caso della misura del diametro (1 mm per la lettura dello "0" e 1 mm per la lettura della lunghezza) si ottiene, per Math is Fun, un valore pari a: \[\pi = (3.15 \pm 0.03)\] mentre per il sottoscritto \[\pi = (3.14 \pm 0.11)\]
È primavera, esce Archimede completamente rinnovato, che aspettate ad abbonarvi?
Archimede è una rivista storicamente dedicata agli insegnanti di matematica e ai cultori della materia, fondata nel 1902 da Alberto Conti (allora si chiamava però Il bollettino di matematica). È edita da Le Monnier, che fa parte del gruppo Mondadori, e dal numero che esce fra pochi giorni, a fine marzo 2016, avrà un nuovo direttore, Roberto Natalini, già direttore dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo del CNR, che sarà affiancato da un comitato editoriale formato da Claudio Bernardi (peraltro già direttore della rivista negli ultimi 16 anni), Matilde Marcolli, Pino Rosolini e Rosetta Zan. Se volete vedere a cosa somiglia il primo numero di questo nuovo corso, potete leggere questo articolo sul sito di MaddMaths!Caccia aperta agli asteroidi! Il calcolo delle orbite dei corpi celesti
Ogni anno cadono sul nostro pianeta diverse tonnellate di materiale proveniente dallo spazio. Gran parte di questi oggetti sono di piccole dimensioni e si disintegrano quando attraversano l'atmosfera terreste, provocando un fenomeno luminoso (le meteore). Quelli abbastanza grandi non si consumano del tutto e riescono ad arrivare al suolo (i meteoriti). Giovanni Federico Gronchi ci spiega come possiamo calcolare con ottima precisione le traiettorie di questi e altri oggetti presenti nello spazio.Matematica e studenti italiani: tutto da rifare? Intervista con Rosetta Zan
Secondo l'ultima indagine OCSE-PISA i quindicenni italiani hanno scarse competenze in Matematica. Come leggere questi dati? Come farli diventare un pungolo positivo per gli ordini inferiori di scuola? Riprendiamo un'intervista con Rosetta Zan, che ha insegnato Didattica della Matematica all'Università di Pisa, apparsa pochi giorni fa sul sito La Vita Scolastica.Madd-Spot #1, 2016 - Pacman VS Bellman: la partita è ancora aperta
Come potrebbero fare i fantasmi a vincere sempre contro Pac-man? Semplice, basta insegnare loro il Principio di Programmazione Dinamica. Madd-Spot di Emiliano Cristiani.Giovani matematici crescono: Gloria Faccanoni e i... reattori nucleari
Classe 1978, Gloria Faccanoni si è laureata in matematica all'Università degli Studi di Milano e attualmente è maître de conférences (il secondo livello di carica accademica, corrisponde grosso modo al ruolo di professore Associato) all'Università di Tolone, Francia. Intervista a cura di Maya Briani.Tuono Pettinato alle Olimpiadi (di Matematica).
Il 4 marzo si sono svolte in tutta Italia le gare a squadre locali per le Olimpiadi di Matematica. MaddMaths! ha seguito in diretta lo svolgimento delle gare della Coppa Nash a Parma. Come al solito c'è stato un grande impegno da parte di tutti i ragazzi e le gare si sono svolte con tante sorprese ed entusiasmo. Ma anche quest'anno c'è stato qualcosa in più, poiché i testi sono stati realizzati in parte con fumetti originali di Tuono Pettinato, uno dei più grandi autori di fumetti a sfondo scientifico di questi tempi.Nicola Ciccoli: I miei libri di matematica – parte 1
Leggere un libro di matematica non è come leggere un libro di letteratura. Non si inizia necessariamente da pagina uno, non si finisce necessariamente all’ultima pagina. Nicola Ciccoli ci conduce tra le sue letture giovanili di matematica (da un'idea nata su Facebook).Ripetizioni, puntata 7: Torta.
Davide Palmigiani continua le sue strane ripetizioni di matematica con l'ostinato Roberto. Questa volta c'è una torta e bisogna dividerla.Subito a ruota di contributi di Paolo Alessandrini, che da un po' di tempo scrive per la rivista Coelum:
- La matematica del Kama Sutra: Il famoso testo indiano non riguarda solo i piaceri della carne, ma anche la matematica, anzi, addirittura la crittografia.
- Scacchi e astronomia: Una breve indagine sulle relazioni tra il nobile gioco e la scienza del cielo, con divagazione matematica ed enigma da risolvere.
Notizie pi greche #16
A partire dalla 762.ma cifra decimale di $\pi$ inizia una sequenza di sei $9$ consecutivi detta punto di Feynman. Il nome deriva da un aneddoto non verificato con protagonista Richard Feynman, che durante una conferenza disse che avrebbe voluto imparare le cifre decimali di $\pi$ proprio fino a quel punto.
All'interno della sequenza delle cifre decimali del pi greco sono presenti altri gruppi come questo, come un secondo insieme di sei $9$ consecutivi in posizione 193.034 o un gruppo di sei $8$ in posizione 222.299.
L'interesse verso queste sequenze all'interno della sequenza generale è dovuto alla congettura che $\pi$ sia un numero normale, ovvero che le cifre che lo compongono siano distribuite con la stessa frequenza (in effetti si ritiene che $\pi$ possa addirittura essere assolutamente normale, ovvero normale per ogni base numerica).
Fino a ora non è stata trovata nessuna reale traccia di anormalità per il pi greco, ma non è stata prodotta nemmeno alcuna dimostrazione formale per la sua normalità. Questa ricerca, che potrebbe invece essere più fruttuosa in termini di risultato finale rispetto, ad esempio, alla dimostrazione della congettura di Collatz, si intrecca con la formula di Borwein, Bailey e Plouffe, meglio nota come la formula BBP: \[\pi = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i + 1} - \frac{2}{8i + 4} - \frac{1}{8i + 5} - \frac{1}{8i + 6} \right)\] Uno dei vantaggi più interessanti di questa formula è che permette di calcolare le cifre dello sviluppo del pi greco a partire da un qualunque punto. Questa proprietà, però, funziona solo in base 16 (o eventualmente in una base potenza di 2) ma non con la base 10.
L'idea di partenza di David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe è quella di determinare un algoritmo in grado di calcolare l'$n$-sima cifra di un numero trascendentale in basi differenti. I numeri cui sono interessati sono della forma \[\sum_{k=1}^\infty \frac{p(k)}{b^{ck}q(k)}\] dove $p(k)$ e $q(k)$ sono polinomi, mentre $b$ è la base nella quale calcolare la cifra e $c$ un intero positivo.
Utilizzando formule tipo la BBP (quindi della forma generale poc'anzi fornita) Borwein insieme con Richard Crandall è riuscito a fornire i criteri per stabilire la normalità in una data base dei numeri della forma: \[\frac{1}{b^{c^k} c^k}\] In particolare $b$ e $c$ devono essere primi fra loro.
Tra gli altri risultati hanno anche determinato la sequenza \[\ln 2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k 2^k}\]
Bary Cipra, Digist of Pi, What's Happening in the Mathematical Sciences, Volume 6 (pdf)
Bailey, D., Borwein, P., & Plouffe, S. (1997). On the rapid computation of various polylogarithmic constants Mathematics of Computation, 66 (218), 903-914 DOI: 10.1090/S0025-5718-97-00856-9
Bailey, D., & Crandall, R. (2001). On the Random Character of Fundamental Constant Expansions Experimental Mathematics, 10 (2), 175-190 DOI: 10.1080/10586458.2001.10504441 (Project Euclid)
Bailey, D., & Crandall, R. (2002). Random Generators and Normal Numbers Experimental Mathematics, 11 (4), 527-546 DOI: 10.1080/10586458.2002.10504704 (Project Euclid)
E arrivano, con il solito fiatone, i Rudi Mathematici, la cui rivista è arrivata alla ragguardevole cifra di 206 uscite (ecco il ragguardevole pdf!). Dal loro blog sul network de Le Scienze propongono, però, un bel gruppo di contributi:
All'interno della sequenza delle cifre decimali del pi greco sono presenti altri gruppi come questo, come un secondo insieme di sei $9$ consecutivi in posizione 193.034 o un gruppo di sei $8$ in posizione 222.299.
L'interesse verso queste sequenze all'interno della sequenza generale è dovuto alla congettura che $\pi$ sia un numero normale, ovvero che le cifre che lo compongono siano distribuite con la stessa frequenza (in effetti si ritiene che $\pi$ possa addirittura essere assolutamente normale, ovvero normale per ogni base numerica).
Fino a ora non è stata trovata nessuna reale traccia di anormalità per il pi greco, ma non è stata prodotta nemmeno alcuna dimostrazione formale per la sua normalità. Questa ricerca, che potrebbe invece essere più fruttuosa in termini di risultato finale rispetto, ad esempio, alla dimostrazione della congettura di Collatz, si intrecca con la formula di Borwein, Bailey e Plouffe, meglio nota come la formula BBP: \[\pi = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i + 1} - \frac{2}{8i + 4} - \frac{1}{8i + 5} - \frac{1}{8i + 6} \right)\] Uno dei vantaggi più interessanti di questa formula è che permette di calcolare le cifre dello sviluppo del pi greco a partire da un qualunque punto. Questa proprietà, però, funziona solo in base 16 (o eventualmente in una base potenza di 2) ma non con la base 10.
L'idea di partenza di David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe è quella di determinare un algoritmo in grado di calcolare l'$n$-sima cifra di un numero trascendentale in basi differenti. I numeri cui sono interessati sono della forma \[\sum_{k=1}^\infty \frac{p(k)}{b^{ck}q(k)}\] dove $p(k)$ e $q(k)$ sono polinomi, mentre $b$ è la base nella quale calcolare la cifra e $c$ un intero positivo.
Utilizzando formule tipo la BBP (quindi della forma generale poc'anzi fornita) Borwein insieme con Richard Crandall è riuscito a fornire i criteri per stabilire la normalità in una data base dei numeri della forma: \[\frac{1}{b^{c^k} c^k}\] In particolare $b$ e $c$ devono essere primi fra loro.
Tra gli altri risultati hanno anche determinato la sequenza \[\ln 2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k 2^k}\]
Bary Cipra, Digist of Pi, What's Happening in the Mathematical Sciences, Volume 6 (pdf)
Bailey, D., Borwein, P., & Plouffe, S. (1997). On the rapid computation of various polylogarithmic constants Mathematics of Computation, 66 (218), 903-914 DOI: 10.1090/S0025-5718-97-00856-9
Bailey, D., & Crandall, R. (2001). On the Random Character of Fundamental Constant Expansions Experimental Mathematics, 10 (2), 175-190 DOI: 10.1080/10586458.2001.10504441 (Project Euclid)
Bailey, D., & Crandall, R. (2002). Random Generators and Normal Numbers Experimental Mathematics, 11 (4), 527-546 DOI: 10.1080/10586458.2002.10504704 (Project Euclid)
- Meno c'è da fare, più siamo contenti: uno dei PM del Capo con tante formule che non si sa bene dove vanno a parare ma quando si arriva alla fine non importa più
- Il compleanno di Herman Hollerith, il primo statista ed informatico, inventore di metodi e schede bucate, ed un grande che compieva gli anni più o meno ogni quattro dei nostri
- Guardiamola da un altro punto di vista: ancora un PM del Capo sulle proiezioni, un successone soprattutto per le belle figure
Dulcis in fundo arriva Marco Fulvio Barozzi, in arte Popinga che propone l'Erezione di un problema fisico-matematico:
Nel libertino '700, un grande matematico come Clairaut pubblicò (anonimamente) uno studio sulla curva descritta da un corpo "il quale essendo inizialmente in una situazione verticale capovolta, cambia in seguito di grandezza e posizione".Come da tradizione il Carnevale si chiude con i contributi dell'ospite. Oltre alle notizie pi greche, che spero quest'anno abbiate gradito, sono da aggiungersi La grandinata di numeri, post in cui provo a raccontare qualcosa sulla congettura di Collatz, e Il palinsesto di Archimede, che in origine doveva essere una recensione, ma poi è diventato un post sul palinsesto del titolo e soprattutto sull'unghia cilindrica e sullo Stomachion.
E con questo è tutto. Se siete arrivati fino in fondo, siamo tutti noi blogger matematti siamo contenti, ma lo saremo ancora di più se avrete la compiacenza di tornare il mese prossimo quando il Carnevale #96 verrà ospitato da MaddMaths! Non mancate!
Nessun commento:
Posta un commento