Il 117 è un numero composto i cui divisori sono 1, 3, 9, 13, 39, 117. Inoltre, essendo divisibile per la somma delle sue cifre, è anche un numero di Harshad. La somma dei suoi divisori, 117 escluso, è 65 < 117, il che lo rende un numero difettivo.
Inoltre è un numero pentagonale e fa parte di una ricca serie di terne pitagoriche:
(44, 117, 125), (45, 108, 117), (117, 156, 195), (117, 240, 267), (117, 520, 533),
(117, 756, 765), (117, 2280, 2283), (117, 6844, 6845)
Una curiosa proprietà del 117 è che i suoi corrispettivi in base 6 e in base 12 sono palindromi, rispettivamente 313 e 99, e in quest'ultimo caso anche a cifra ripetuta. Inoltre, come tutti i numeri dispari, è anche nontotiente, ovvero tale che l'equazione
\[\varphi (x) = n\]
dove $\varphi (x)$ è la funzione di Eulero (quella dell'ipotesi di Riemann), non ha soluzione.(117, 756, 765), (117, 2280, 2283), (117, 6844, 6845)
Il 117 fa parte, poi, della lista dei numeri congruenti, dove per numero congruente sin intende un numero naturale che è l'area di un triangolo rettangolo i cui lati sono razionali.
Esiste, sebbene non direttamente collegato con il nostro 117, un problema dei numeri congruenti:
Dato un numero $p$, stabilire se esso è congruente
Tale problema non ha ancora trovato soluzione, sebbene esista il teorema di Tunnell che fornisce un algoritmo per stabilire se un dato numero è congruente. Il problema è che si basa sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, che non è stata ancora dimostrata. Esiste, però, a tal proposito un risultato interessante che porta la firma di Pierre de Fermat, ovvero il teorema di Fermat sui triangoli rettangoli, che stabilisce che nessun quadrato perfetto può essere congruente.Fuori dal campo matematico, il 117 è un numero astronomico, poiché esistono ben tre oggetti celesti che hanno tale numero dispari nel nome: la cometa 117P/Helin-Roman-Alu, l'asteroide 117 Lomia e la galassia lenticolare NGC 117 appartenente alla costellazione della balena. Infine è il numero atomico del Tennesso.
E visto che il 14 marzo del 117 era un sabato e non si registrò alcun evento particolare, mi sembra giusto dare il via alle danze con la cellula melodica dedicata a questa edizione, identificata dal verso gaussiano il merlo, il merlo allegro, e gentilmente preparataci da Flavio Ubaldini: E proprio con Flavio iniziamo la presentazione dei contributi di questo 117.mo Carnevale della Matematica! Flavio, per questa occasione, ci propone la recensione di Dio e l'ipercubo di Francesco Malaspina, che a sua volta ricambia con una brevissima recensione de Il mistero del suono senza numero.
Annalisa Santi per l'edizione pi greca propone Albrecht Dürer, dalla magia alla matematica. L'articolo
(...) nasce dalla visita alla mostra "Dürer e il Rinascimento tra Germania e Italia", a Palazzo Reale dal 21 febbraio fino al 24 giugno 2018.Sempre a tema il contributo di Roberto Zanasi, Insomma, pi greco sula trascendenza di $\pi$.
Non solo mi ha fatto riapprezzare fantistiche opere del grande artista, ma mi ha anche ricordato la sua grande genialità esoterica, matematica, geometrica.
Genialità che dimostra anche quanto Dürer abbia subito il potere e il fascino del π (pi greco), che troneggia nelle sue opere.
π (pi greco) legato alla splendida firma di Dürer, così riconoscibile e sintetica da diventare un "brand" ante litteram, un logo che non sfigurerebbe tra i più originali di oggi.
Notizie pi greche #21
Era il 1621 quando venne dato alle stampe il Cyclometricus di Willebrord Snellius, allievo di Ludolph van Ceulen. Snellius dimostrò che il perimetro del poligono inscritto converge al valore della circonferenza due volte più velocemente rispetto al poligono circoscritto. Da buon allievo di van Ceulen, Snellius riuscì a ottenere 7 cifre decimali per il $\pi$ utilzzando un poligono di 96 lati. Il suo miglior risultato, invece, furono 35 cifre decimali, che migliorava le 32 del suo maestro.
Il miglioramento successivo è datato 1630 ad opera di Christoph Grienberger, ultimo matematico a valutare $\pi$ con il metodo dei poligoni, mentre il primo cambio di metodo di successo arrivò grazie al matematico e astronomo britannico Abraham Sharp che determinò 72 cifre decimali di $\pi$, di cui 71 corrette, utilizzando una serie di arcotangenti. Pochi anni dopo John Machin migliorò ulteriormente il risultato di Sharp con la formula che porta il suo nome e che gli permise di raggiungere il ragguardevole risultato di 100 cifre decimali! \[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\] L'approccio di Machin si rivelò vincente, tanto che il barone sloveno Jurij Vega migliorò in due occasioni la formula di cui sopra ottenendo un maggior numero di cifre decimali di $\pi$, la prima volta nel 1789 con una formula simile a quella di Euler \[\frac{\pi}{4} = 5 \arctan \frac{1}{7} + 2 \arctan \frac{3}{79}\] quindi nel 1794 con una formula tipo Hutton \[\frac{\pi}{4} = 2 \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}\] L'era dell'arcotangente è proseguita con William Rutherford \[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{70} + \arctan \frac{1}{99}\] quindi il tedesco Zacharias Dase \[\frac{\pi}{4} = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{8}\] Infine arriva il britannico William Shanks che spingendo al massimo le potenzialità della formula di Machin riuscì ad ottenere 707 cifre decimali, di cui però solo 527 risultarono corrette dopo il controllo di Ferguson nel 1946. Qui, però, siamo nell'era del calcolo meccanico, prologo a quella dei computer.
Con il prossimo contributo sfociamo nel mondo del fumetto grazie all'Intervista a(b)braccio a Roberto Natalini e Andrea Plazzi di Maria-Angela Silleni su Lo Spazio Bianco:
Era il 1621 quando venne dato alle stampe il Cyclometricus di Willebrord Snellius, allievo di Ludolph van Ceulen. Snellius dimostrò che il perimetro del poligono inscritto converge al valore della circonferenza due volte più velocemente rispetto al poligono circoscritto. Da buon allievo di van Ceulen, Snellius riuscì a ottenere 7 cifre decimali per il $\pi$ utilzzando un poligono di 96 lati. Il suo miglior risultato, invece, furono 35 cifre decimali, che migliorava le 32 del suo maestro.
Il miglioramento successivo è datato 1630 ad opera di Christoph Grienberger, ultimo matematico a valutare $\pi$ con il metodo dei poligoni, mentre il primo cambio di metodo di successo arrivò grazie al matematico e astronomo britannico Abraham Sharp che determinò 72 cifre decimali di $\pi$, di cui 71 corrette, utilizzando una serie di arcotangenti. Pochi anni dopo John Machin migliorò ulteriormente il risultato di Sharp con la formula che porta il suo nome e che gli permise di raggiungere il ragguardevole risultato di 100 cifre decimali! \[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\] L'approccio di Machin si rivelò vincente, tanto che il barone sloveno Jurij Vega migliorò in due occasioni la formula di cui sopra ottenendo un maggior numero di cifre decimali di $\pi$, la prima volta nel 1789 con una formula simile a quella di Euler \[\frac{\pi}{4} = 5 \arctan \frac{1}{7} + 2 \arctan \frac{3}{79}\] quindi nel 1794 con una formula tipo Hutton \[\frac{\pi}{4} = 2 \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}\] L'era dell'arcotangente è proseguita con William Rutherford \[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{70} + \arctan \frac{1}{99}\] quindi il tedesco Zacharias Dase \[\frac{\pi}{4} = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{8}\] Infine arriva il britannico William Shanks che spingendo al massimo le potenzialità della formula di Machin riuscì ad ottenere 707 cifre decimali, di cui però solo 527 risultarono corrette dopo il controllo di Ferguson nel 1946. Qui, però, siamo nell'era del calcolo meccanico, prologo a quella dei computer.
Quattro chiacchiere con Andrea Plazzi e Roberto Natalini, ideatori della collana Comics & Science, per scoprire come la fisica, l'informatica e i misteri della scienza siano finiti dentro i fumetti e come un matematico possa diventare editor e traduttore di albi a fumetti.Non ci allontaniamo troppo dal luogo dell'abbraccio con la solita ricca lista dei contribui dela squdra MaddMaths! capitanata, come sempre, proprio da Roberto Natalini:
- Il metodo Bortolato e la fortuna di avere una buona stampa...
In questi giorni sono apparsi alcuni articoli su vari giornali nazionali in cui si parla diffusamente del metodo analogico per insegnare la matematica nella scuola primaria, metodo proposto dal maestro in pensione Camillo Bortolato. Alcuni esperti di didattica della matematica ci hanno scritto una lettera in cui esprimono alcune perplessità a riguardo. Questo post ha generato tantissimi commenti e condivisioni. Voi che ne pensate?
- Abbiamo creato la rubrica Youcubed Italia, curata da Anna Baccaglini-Frank e Ruben Notari
Ha lo scopo di promuovere in Italia il movimento "youcubed", ideato dalla prof.ssa Jo Boaler, docente di didattica della matematica all’università di Stanford. Qui pubblichiamo traduzioni delle principali idee e teorie su cui poggiano le proposte didattiche che si trovano sul sito youcubed.org. Tra queste sono fondamentali: la libertà (in) matematica, la matematica creativa e visiva, il potere di apprendere dai propri errori, la necessità di profondità (ma non di velocità) e lo sviluppo di una mentalità dinamica verso l’apprendimento (in particolare della matematica). Tra le attività pubblicate qui, oltre alle traduzioni originali, si trovano anche alcune nuove attività ispirate alle idee su youcubed, che sono state progettate per e sperimentate in classi italiane.
Articoli pubblicati: - La recensione di Francesca Morselli del libro Didattica della Matematica
Agli inizi di dicembre è uscito per Mondadori Università il manuale "Didattica della Matematica”, scritto da Anna Baccaglini-Frank, Pietro Di Martino, Roberto Natalini e Pino Rosolini. Proponiamo qui la recensione di Francesca Morselli professore associato di Matematiche Complementari presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova.
- Maria Angonese, la matematica a servizio dello sport
Maria Angonese è l'anima di Math&Sport, una nuova start-up nata pochi mesi fa da MOXOFF, nell'ambito dell'incubatore di impresa PoliHub del Politecnico di Milano. La nuova società si occupa di modellistica matematico-numerica e di data analysis in ambito sportivo. Ci siamo fatti raccontare da Maria, matematica e pallavolista, come è riuscita a coniugare le sue passioni.
- Un ingannevole inizio
Questa è una libera traduzione di Giuseppe Pipoli dell'articolo Demarrage Trompeur di Patrick Popescu-Pampu apparso su Images de Mathématiques 27 dicembre 2017. Qual è il termine successivo della sequenza 2, 4, 8, 16? Credete di saperlo? Calma, non così in fretta...
- "Matematica e maturità" - Roma il 16 aprile 2018
L'UMI-CIIM, in collaborazione con il CNR e l'Università di Roma 3, vista la significatività e l'attualità del tema, organizza una giornata su Matematica ed Esame di Stato al termine del secondo ciclo di istruzione. La giornata, che vedrà coinvolti docenti di scuola secondaria di secondo grado e docenti universitari, si terrà a Roma il 16 aprile p.v., presso l'Aula Magna del Rettorato dell'Università di Roma 3, situato in via Ostiense 159, dalle ore 10:30 alle ore 16:30.
- Carl Friedrich Gauss. Ovvero: come ho imparato a non preoccuparmi e ad amare le geometrie non euclidee di Giuseppe Tinaglia
In questo articolo vogliamo parlare delle geometrie non-euclide anche toccando, in maniera più effimera che superficiale, il problema che la loro esistenza pose al pensiero Kantiano. Cominciamo allora con un breve ripasso di geometria Euclidea.
Notizie pi greche #22
da FoxTrot di Bill Amend
Una delle caratteristiche principali del $\pi$ è la sua invasività nella natura. Sarà perché è definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, e dunque conseguenza delle simmetrie sferiche, sarà per il suo fascino intrinseco, legato forse all'infinità delle sue cifre decimali, fatto sta che lo troviamo anche nel cielo, dove perde la proprietà di numero ma acquista quella di... nome stellare!
Esistono infatti nel firmamento alcune stelle che vengono identificate con $\pi$: ad esempio le sei stelle che costituiscono lo scudo di Orione o la stella doppia Pi Bootis che si trova poco sotto Arturo.
Si trova anche in una delle equazioni cosmologiche più importanti in assoluto, l'equazione della relatività generale di Einstein: \[R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} + \Lambda g_{ab} = 8 \pi G T_{ab}\] Si trova sul lato destro, insieme con la costante di gravitazione universale, nel termine che identifica l'energia della materia contenuta nell'universo. Il termine a sinistra, invece, è legato alla curvatura dello spaziotempo, ovvero alla sua geometria, il che rende forse un po' strana la presenza del $\pi$ sul lato destro di questa equazione.
Si sa, però, che la matematica è ricca di misteri misteriosi, e la parte divertente è proprio svelarli!
Segnalati da Davide Passaro, arrivano i contributi di Math is in the air:
da FoxTrot di Bill Amend
Una delle caratteristiche principali del $\pi$ è la sua invasività nella natura. Sarà perché è definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, e dunque conseguenza delle simmetrie sferiche, sarà per il suo fascino intrinseco, legato forse all'infinità delle sue cifre decimali, fatto sta che lo troviamo anche nel cielo, dove perde la proprietà di numero ma acquista quella di... nome stellare!
Esistono infatti nel firmamento alcune stelle che vengono identificate con $\pi$: ad esempio le sei stelle che costituiscono lo scudo di Orione o la stella doppia Pi Bootis che si trova poco sotto Arturo.
Si trova anche in una delle equazioni cosmologiche più importanti in assoluto, l'equazione della relatività generale di Einstein: \[R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} + \Lambda g_{ab} = 8 \pi G T_{ab}\] Si trova sul lato destro, insieme con la costante di gravitazione universale, nel termine che identifica l'energia della materia contenuta nell'universo. Il termine a sinistra, invece, è legato alla curvatura dello spaziotempo, ovvero alla sua geometria, il che rende forse un po' strana la presenza del $\pi$ sul lato destro di questa equazione.
Si sa, però, che la matematica è ricca di misteri misteriosi, e la parte divertente è proprio svelarli!
- Iniziamo con un primo articolo che è un contributo esterno di Daniela Valenti su Emma Castelnuovo e il suo contributo alla didattica della matematica. Pensiamo che le "buone pratiche" introdotte da Emma, il suo utilizzo di mani, forbici, corda e fantasia siano sempre attuali e da riscoprire per insegnante matematica a tutti i livelli
- Proseguiamo con un articolo dal titolo: Il mondo visto dagli occhi di un matematico: cosa è una equazione differenziale di Pierandrea Vergallo e Chiara Enrico
- Proseguiamo con un altro articolo di didattica della matematica in ricordo di Valter Maraschini scritto da Giovanna Mayer ed Eleonora Fioravanti
- Sul Post ecco Di biciclette, incidenti e trigonometria, che spiega matematicamente come possano avvenire incidenti tra auto e bici a causa dell'angolo morto.
- Sulle Notiziole il solito mix di ricchi articoletti matematici:
Tra i quizzini della domenica Triangoli diversi, Botti, Paintball e Lanciare fino a tre volte.
Tra le recensioni, Divertirsi con la matematica di Peter Higgins, altamente consigliabile nonostante la traduzione subottimale in vari punti; È tutto un gioco di Giulia Bernardi e Roberto Lucchetti, una trattazione di base - più intuitiva che manualistica - della teoria dei giochi che va un po' più avanti di quello che si trova di solito; Siamo tutti matematici di Robin Jamet, matematica tra le pareti di casa che però mi pare poco riuscita.
Quasi a tema anche il contributo di Marco Fulvio Barozzi con la recensione di Da Euclide ai neuroni. La geometria nel cervello, di Giorgio Vallortigara.
Notizie pi greche #23
da Frazz di Jef Mallett
Molte delle "apparizioni" di $\pi$ nelle formule matematiche e scientifiche sono strettamente legate con la geometria. Esistono, però, alcune applicazioni in cui ciò non si rivela corretto. Ad esempio nel caso di una corda vibrante all'interno dell'intervallo unitario $[0,1]$.
I modi di vibrazione della corda sono le soluzioni dell'equazione differenziale \[f'' (x) + \lambda f(x) = 0\] dove $\lambda$ è un numero strettamente positivo associato con l'autovalore. Allora, detto $\nu$ il numero d'onda, $\lambda = \nu^2$.
Si osserva che $f(x) = \sin (\nu x)$ soddisfa le condizioni al contorno ed è risultato dell'equazione differenziale per una corda vibrante per $\nu = \pi$, che così coincide con il numero d'onda del modo fondamentale della corda vibrante.
Dulcis in fundo ecco i Rudi Mathematici con un sommari particolarmente ricco, con ben due compleanni, il primo che
da Frazz di Jef Mallett
Molte delle "apparizioni" di $\pi$ nelle formule matematiche e scientifiche sono strettamente legate con la geometria. Esistono, però, alcune applicazioni in cui ciò non si rivela corretto. Ad esempio nel caso di una corda vibrante all'interno dell'intervallo unitario $[0,1]$.
I modi di vibrazione della corda sono le soluzioni dell'equazione differenziale \[f'' (x) + \lambda f(x) = 0\] dove $\lambda$ è un numero strettamente positivo associato con l'autovalore. Allora, detto $\nu$ il numero d'onda, $\lambda = \nu^2$.
Si osserva che $f(x) = \sin (\nu x)$ soddisfa le condizioni al contorno ed è risultato dell'equazione differenziale per una corda vibrante per $\nu = \pi$, che così coincide con il numero d'onda del modo fondamentale della corda vibrante.
celebra Henry Briggs, l'altra metà del cielo dei logaritmi, come ci ha ricordato – illo tempore – il nostro affezionato lettore Yopenzo, origine e causa di questo compleanno pieno di fiumi e di riferimenti Shakespeariani (o scespiriani? Boh..)Il secondo
racconta invece di Luis Bachelier, che partì dai simboli e dall'etimologia di entusiasmo, per finire col parlare di questo signore non troppo noto, ma che è arrivato a conclusioni invero sorprendenti (specie per gli economisti).Il resto del sommario è invece costituito da
- Un Paraphernalia complicatissimo sulle funzioni generatrici
- Il canonico "post di soluzione del quiz pubblicato su Le Scienze stavolta si differenzia dagli altri per il portamento della gatta nera in copertina, che forte della sua eleganza naturale e innata, si permette perfino di violare i colori ordinati dal titolo
- E poi un post fuori programma su quella che (a me pare di poter dire) una ben lieta notizia!
In conclusione, come da tradizione, arriva il contributo dell'ospite di questa edizione: per l'occasione di questo pi day do nuova linfa vitale a un'altra serie da troppo tempo rimasta senza aggiornamenti, i Rompicapi di Alice, che riprende con Contare i granelli di sabbia, dove vediamo come Archimede riesca a stimare il numero di granelli di sabbia necessari per riempire tutto l'universo (o almeno tutto l'universo a lui noto)!
Detto questo, non mi resta che darvi appuntamento al Carnevale della matematica #118 che verrà ospitato su MaddMaths!
E ovviamente un buon pi day a tutti!
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