Breve storia del pi greco / parte 5

Come ogni anno, ecco arrivare dopo il Carnevale della Matematica del pi day, la nuova puntata della breve storia del $\pi$. Anche quest'anno ho deciso di operare un rimontaggio dei contenuti. Buona lettura!

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da Fifth period

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Era il 1621 quando venne dato alle stampe il Cyclometricus di Willebrord Snellius, allievo di Ludolph van Ceulen. Snellius dimostrò che il perimetro del poligono inscritto converge al valore della circonferenza due volte più velocemente rispetto al poligono circoscritto. Da buon allievo di van Ceulen, Snellius riuscì a ottenere 7 cifre decimali per il $\pi$ utilzzando un poligono di 96 lati. Il suo miglior risultato, invece, furono 35 cifre decimali, che migliorava le 32 del suo maestro.
Il miglioramento successivo è datato 1630 ad opera di Christoph Grienberger, ultimo matematico a valutare $\pi$ con il metodo dei poligoni, mentre il primo cambio di metodo di successo arrivò grazie al matematico e astronomo britannico Abraham Sharp che determinò 72 cifre decimali di $\pi$, di cui 71 corrette, utilizzando una serie di arcotangenti. Pochi anni dopo John Machin migliorò ulteriormente il risultato di Sharp con la formula che porta il suo nome e che gli permise di raggiungere il ragguardevole risultato di 100 cifre decimali! \[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\] L'approccio di Machin si rivelò vincente, tanto che il barone sloveno Jurij Vega migliorò in due occasioni la formula di cui sopra ottenendo un maggior numero di cifre decimali di $\pi$, la prima volta nel 1789 con una formula simile a quella di Euler

Carnevale della matematica #117

Benvenuti al 117.mo Carnevale della Matematica e soprattutto un buon pi day a tutti quanti! Come ogni anno, da un po' di anni a questa parte, il Carnevale del giorno del pi greco viene ospitato su DropSea e, come da tradizione, si inizia con le proprietà del numero dispari che identifica questa edizione.
Il 117 è un numero composto i cui divisori sono 1, 3, 9, 13, 39, 117. Inoltre, essendo divisibile per la somma delle sue cifre, è anche un numero di Harshad. La somma dei suoi divisori, 117 escluso, è 65 < 117, il che lo rende un numero difettivo.
Inoltre è un numero pentagonale e fa parte di una ricca serie di terne pitagoriche:

(44, 117, 125), (45, 108, 117), (117, 156, 195), (117, 240, 267), (117, 520, 533),
(117, 756, 765), (117, 2280, 2283), (117, 6844, 6845)

Una curiosa proprietà del 117 è che i suoi corrispettivi in base 6 e in base 12 sono palindromi, rispettivamente 313 e 99, e in quest'ultimo caso anche a cifra ripetuta. Inoltre, come tutti i numeri dispari, è anche nontotiente, ovvero tale che l'equazione \[\varphi (x) = n\] dove $\varphi (x)$ è la funzione di Eulero (quella dell'ipotesi di Riemann), non ha soluzione.
Il 117 fa parte, poi, della lista dei numeri congruenti, dove per numero congruente sin intende un numero naturale che è l'area di un triangolo rettangolo i cui lati sono razionali.
Esiste, sebbene non direttamente collegato con il nostro 117, un problema dei numeri congruenti:

Dato un numero $p$, stabilire se esso è congruente

Tale problema non ha ancora trovato soluzione, sebbene esista il teorema di Tunnell che fornisce un algoritmo per stabilire se un dato numero è congruente. Il problema è che si basa sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, che non è stata ancora dimostrata. Esiste, però, a tal proposito un risultato interessante che porta la firma di Pierre de Fermat, ovvero il teorema di Fermat sui triangoli rettangoli, che stabilisce che nessun quadrato perfetto può essere congruente.
Fuori dal campo matematico, il 117 è un numero astronomico, poiché esistono ben tre oggetti celesti che hanno tale numero dispari nel nome: la cometa 117P/Helin-Roman-Alu, l'asteroide 117 Lomia e la galassia lenticolare NGC 117 appartenente alla costellazione della balena. Infine è il numero atomico del Tennesso.
E visto che il 14 marzo del 117 era un sabato e non si registrò alcun evento particolare, mi sembra giusto dare il via alle danze con la cellula melodica dedicata a questa edizione, identificata dal verso gaussiano il merlo, il merlo allegro, e gentilmente preparataci da Flavio Ubaldini: