Il triangolo di Napoleone

Ei fu. Siccome immobile,
Dato il mortal sospiro,
Stette la spoglia immemore
Orba di tanto spiro,
Così percossa, attonita
La terra al nunzio sta,
Muta pensando all,ultima
Ora dell'uom fatale;

Sono questi i primi versi di Cinque maggio, ode scritta da Alessandro Manzoni in onore di Napoleone Bonaparte, morto esule sull'isola di Sant'Elena il 5 maggio del 1821, 199 anni fa.
Bonaparte viene considerato come uno dei più grandi condottieri di tutti i tempi. Nato in Corsica giusto l'anno dopo la vendita dell'isola alla Francia da parte della Repubblica di Genova, vene iscritto dal padre a una scuola francese, la Scuola reale di Brienne-le-Château. Qui si sentiva un po' a disagio, un pesce fuor d'acqua, non solo per le iniziali difficoltà linguistiche, ma soprattutto perché la scuola era frequentata dai figli dell'alta aristocrazia francese: un covo di figli di papà!
Nonostante il bullismo, però, Napoleone si applicò nello studio, riuscendo in particolare in matematica: chissà quanto sarebbero stati contenti i regnanti di mezza Europa se un qualche arguto insegnante lo avesse spinto verso tale disciplina. Invece il giovane Bonaparte scelse la carriera militare, sebbene la passione per la matematica gli rimase addosso. E questo lo sappiamo non solo perché aveva in gran conto un matematico del calibro di Gaspard Monge, ma anche per via del teorema che porta il suo nome.
L'enunciato, peraltro, è abbastanza semplice:

I baricentri dei triangoli equilateri, costruiti esternamente sui lati di un triangolo qualsiasi, formano un triangolo equilatero.

Carnevale della matematica #117

Benvenuti al 117.mo Carnevale della Matematica e soprattutto un buon pi day a tutti quanti! Come ogni anno, da un po' di anni a questa parte, il Carnevale del giorno del pi greco viene ospitato su DropSea e, come da tradizione, si inizia con le proprietà del numero dispari che identifica questa edizione.
Il 117 è un numero composto i cui divisori sono 1, 3, 9, 13, 39, 117. Inoltre, essendo divisibile per la somma delle sue cifre, è anche un numero di Harshad. La somma dei suoi divisori, 117 escluso, è 65 < 117, il che lo rende un numero difettivo.
Inoltre è un numero pentagonale e fa parte di una ricca serie di terne pitagoriche:

(44, 117, 125), (45, 108, 117), (117, 156, 195), (117, 240, 267), (117, 520, 533),
(117, 756, 765), (117, 2280, 2283), (117, 6844, 6845)

Una curiosa proprietà del 117 è che i suoi corrispettivi in base 6 e in base 12 sono palindromi, rispettivamente 313 e 99, e in quest'ultimo caso anche a cifra ripetuta. Inoltre, come tutti i numeri dispari, è anche nontotiente, ovvero tale che l'equazione \[\varphi (x) = n\] dove $\varphi (x)$ è la funzione di Eulero (quella dell'ipotesi di Riemann), non ha soluzione.
Il 117 fa parte, poi, della lista dei numeri congruenti, dove per numero congruente sin intende un numero naturale che è l'area di un triangolo rettangolo i cui lati sono razionali.
Esiste, sebbene non direttamente collegato con il nostro 117, un problema dei numeri congruenti:

Dato un numero $p$, stabilire se esso è congruente

Tale problema non ha ancora trovato soluzione, sebbene esista il teorema di Tunnell che fornisce un algoritmo per stabilire se un dato numero è congruente. Il problema è che si basa sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, che non è stata ancora dimostrata. Esiste, però, a tal proposito un risultato interessante che porta la firma di Pierre de Fermat, ovvero il teorema di Fermat sui triangoli rettangoli, che stabilisce che nessun quadrato perfetto può essere congruente.
Fuori dal campo matematico, il 117 è un numero astronomico, poiché esistono ben tre oggetti celesti che hanno tale numero dispari nel nome: la cometa 117P/Helin-Roman-Alu, l'asteroide 117 Lomia e la galassia lenticolare NGC 117 appartenente alla costellazione della balena. Infine è il numero atomico del Tennesso.
E visto che il 14 marzo del 117 era un sabato e non si registrò alcun evento particolare, mi sembra giusto dare il via alle danze con la cellula melodica dedicata a questa edizione, identificata dal verso gaussiano il merlo, il merlo allegro, e gentilmente preparataci da Flavio Ubaldini: