Il triangolo di Napoleone

Ei fu. Siccome immobile,
Dato il mortal sospiro,
Stette la spoglia immemore
Orba di tanto spiro,
Così percossa, attonita
La terra al nunzio sta,
Muta pensando all,ultima
Ora dell'uom fatale;

Sono questi i primi versi di Cinque maggio, ode scritta da Alessandro Manzoni in onore di Napoleone Bonaparte, morto esule sull'isola di Sant'Elena il 5 maggio del 1821, 199 anni fa.
Bonaparte viene considerato come uno dei più grandi condottieri di tutti i tempi. Nato in Corsica giusto l'anno dopo la vendita dell'isola alla Francia da parte della Repubblica di Genova, vene iscritto dal padre a una scuola francese, la Scuola reale di Brienne-le-Château. Qui si sentiva un po' a disagio, un pesce fuor d'acqua, non solo per le iniziali difficoltà linguistiche, ma soprattutto perché la scuola era frequentata dai figli dell'alta aristocrazia francese: un covo di figli di papà!
Nonostante il bullismo, però, Napoleone si applicò nello studio, riuscendo in particolare in matematica: chissà quanto sarebbero stati contenti i regnanti di mezza Europa se un qualche arguto insegnante lo avesse spinto verso tale disciplina. Invece il giovane Bonaparte scelse la carriera militare, sebbene la passione per la matematica gli rimase addosso. E questo lo sappiamo non solo perché aveva in gran conto un matematico del calibro di Gaspard Monge, ma anche per via del teorema che porta il suo nome.
L'enunciato, peraltro, è abbastanza semplice:

I baricentri dei triangoli equilateri, costruiti esternamente sui lati di un triangolo qualsiasi, formano un triangolo equilatero.

La leggenda narra che Napoleone propose tale teorema al matematico torinese Joseph-Louis Lagrange per una dimostrazione. Il primo riferimento al teorema su una rivista, però, risale all'ottobre del 1825, poco più di 4 anni dopo la morte di Napoleone. Sulle pagine del numero 47 di Ladies' Diary il matematico William Rutherford, famoso in particolare per aver calcolato 208 delle infinite cifre del $\pi$, lanciò la seguente sfida:

Describe equilateral triangles (the vertices being either all outward or all inward) upon the three sides of any triangle ABC: then the lines which join the centres of gravity of those three equilateral triangles will constitute an equilateral triangle. Required a demonstration.

Una prima dimostrazione venne pubblicata l'anno dopo, sempre sulla stessa rivista, ma senza alcun riferimento esplicito (o implicito, se è per questo) a Napoleone.
In effetti il primo riferimento al condottiero corso risale al 1867 sulle pagine della Chambers's Encyclopedia. In effetti in una pubblicazione precedente, il libro di testo Euclid di James Thomson del 1834 si fa riferimento a questo teorema come il problema di Dublino. E in effetti nell'ottobre del 1820 in un test presso l'Università di Dublino vennero poste agli esaminandi queste domande:

Question 10. Three equilateral triangles are thus constructed on the sides of a given triangle, A, B, D, the lines joining their centres, C, C', C" form an equilateral triangle. [The accompanying diagram shows the equilateral triangles placed outwardly.]
Question 11. If the three equilateral triangles be constructed as in the last figure, the lines joining their centres will also form an equilateral triangle. [The accompanying diagram shows the equilateral triangles places inwardly.]
Question 12. To investigate the relation between the area of the given triangle and the areas of these two equilateral triangles.

Esistono varie dimostrazioni di questo teorema: ad esempio su Cut the Knot Scott Brodie ne propone una trigonometrica e l'altra basata sulla simmetria. Io, invece, mi sono accontentato di una piccola attività su Geogebra dove mostro la lunghezza dei lati del triangolo ottenuto come indicato nella costruzione di Dublino.