Le grandi domande della vita: Questioni di geometria

Anche se più avanti avremo alcune questioni geometriche, voglio iniziare la puntata di oggi con la risposta a una ovvietà: \[\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\] Ovviamente si può generalizzare la dimostrazione, ma questa cosa la lascio a chi non è andato a spulciare nel link su Quora!

Il triangolo di Napoleone

Ei fu. Siccome immobile,
Dato il mortal sospiro,
Stette la spoglia immemore
Orba di tanto spiro,
Così percossa, attonita
La terra al nunzio sta,
Muta pensando all,ultima
Ora dell'uom fatale;

Sono questi i primi versi di Cinque maggio, ode scritta da Alessandro Manzoni in onore di Napoleone Bonaparte, morto esule sull'isola di Sant'Elena il 5 maggio del 1821, 199 anni fa.
Bonaparte viene considerato come uno dei più grandi condottieri di tutti i tempi. Nato in Corsica giusto l'anno dopo la vendita dell'isola alla Francia da parte della Repubblica di Genova, vene iscritto dal padre a una scuola francese, la Scuola reale di Brienne-le-Château. Qui si sentiva un po' a disagio, un pesce fuor d'acqua, non solo per le iniziali difficoltà linguistiche, ma soprattutto perché la scuola era frequentata dai figli dell'alta aristocrazia francese: un covo di figli di papà!
Nonostante il bullismo, però, Napoleone si applicò nello studio, riuscendo in particolare in matematica: chissà quanto sarebbero stati contenti i regnanti di mezza Europa se un qualche arguto insegnante lo avesse spinto verso tale disciplina. Invece il giovane Bonaparte scelse la carriera militare, sebbene la passione per la matematica gli rimase addosso. E questo lo sappiamo non solo perché aveva in gran conto un matematico del calibro di Gaspard Monge, ma anche per via del teorema che porta il suo nome.
L'enunciato, peraltro, è abbastanza semplice:

I baricentri dei triangoli equilateri, costruiti esternamente sui lati di un triangolo qualsiasi, formano un triangolo equilatero.

Congruenze trisecanti

Ho concluso l'anno scolastico con i corsi di recupero (finiti la settimana scorsa) in due scuole differenti, lo scientifico di Parabiago (Cavalleri) e quello di Rho (Majorana). Mentre nella prima scuola i corsi sono stati due di matematica per terza e quarta e uno di fisica per la terza, a Rho ho avuto due corsi, uno di matematica per quarta e uno, sempre di matematica, per la prima. In particolare in quest'ultimo caso ho concluso il corso con i criteri di congruenza dei triangoli, ovvero una serie di criteri che stabiliscono quando due triangoli sono tra loro sovrapponibili.
Sono stati scoperti tre criteri di congruenza tra i triangoli: il primo secondo cui due triangoli sono congruenti se sono congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso; il secondo afferma che due triangoli sono congruenti se sono congruenti due angoli e un lato⁽¹⁾; il terzo afferma che due triangoli sono congruenti se sono congruenti i tre lati. Ovviamente se in due triangoli sono congruenti tutti e tre gli angoli questo non vuol dire che i due triangoli sono congruenti, ma al più che esiste una proporzionalità tra i lati.
Detto questo, una delle cose più interessanti del corso è stata mettere alla prova i ragazzi del recupero con esercizi di dimostrazione geometrica sui triangoli. Gli esercizi proposti ai ragazzi li ho tratti da SkuolaBlog e dal Bergamini della Zanichelli (pdf degli esercizi). Sui triangoli e i criteri di congruenza, nonostante siano oggetti più che noti da secoli, si riesce sempre a scoprire qualcosa di nuovo. Ad esempio David Pagni nel 2005 propose il seguente problema⁽²⁾:

Dato un triangolo ABC, disegnare una linea parallela alla base AB tale che l'area del piccolo triangolo in cima sia uguale a quella del trapezio in basso. Dove si dovrebbe disegnare la linea?

Il problema deve essere risolto prima in modo algebrico, utilizzando ad esempio le proporzioni, quindi geometrico, per disegnare realmente la linea orizzontale. Utilizzare le proporzioni nel caso specifico non solo rende semplice la ricerca della risposta al quesito, ma rende il problema anche alla portata di una prima classe di scuola superiore.