Congruenze trisecanti

Ho concluso l'anno scolastico con i corsi di recupero (finiti la settimana scorsa) in due scuole differenti, lo scientifico di Parabiago (Cavalleri) e quello di Rho (Majorana). Mentre nella prima scuola i corsi sono stati due di matematica per terza e quarta e uno di fisica per la terza, a Rho ho avuto due corsi, uno di matematica per quarta e uno, sempre di matematica, per la prima. In particolare in quest'ultimo caso ho concluso il corso con i criteri di congruenza dei triangoli, ovvero una serie di criteri che stabiliscono quando due triangoli sono tra loro sovrapponibili.
Sono stati scoperti tre criteri di congruenza tra i triangoli: il primo secondo cui due triangoli sono congruenti se sono congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso; il secondo afferma che due triangoli sono congruenti se sono congruenti due angoli e un lato⁽¹⁾; il terzo afferma che due triangoli sono congruenti se sono congruenti i tre lati. Ovviamente se in due triangoli sono congruenti tutti e tre gli angoli questo non vuol dire che i due triangoli sono congruenti, ma al più che esiste una proporzionalità tra i lati.
Detto questo, una delle cose più interessanti del corso è stata mettere alla prova i ragazzi del recupero con esercizi di dimostrazione geometrica sui triangoli. Gli esercizi proposti ai ragazzi li ho tratti da SkuolaBlog e dal Bergamini della Zanichelli (pdf degli esercizi). Sui triangoli e i criteri di congruenza, nonostante siano oggetti più che noti da secoli, si riesce sempre a scoprire qualcosa di nuovo. Ad esempio David Pagni nel 2005 propose il seguente problema⁽²⁾:

Dato un triangolo ABC, disegnare una linea parallela alla base AB tale che l'area del piccolo triangolo in cima sia uguale a quella del trapezio in basso. Dove si dovrebbe disegnare la linea?

Il problema deve essere risolto prima in modo algebrico, utilizzando ad esempio le proporzioni, quindi geometrico, per disegnare realmente la linea orizzontale. Utilizzare le proporzioni nel caso specifico non solo rende semplice la ricerca della risposta al quesito, ma rende il problema anche alla portata di una prima classe di scuola superiore.
Si parte dal seguente triangolo

e dalle seguenti considerazioni. Prima di tutto esiste una proporzione tra le altezze e le basi del triangolo piccolo e di quello grande che può essere espressa come segue: $$\frac{CH}{CJ} = \frac{EF}{AB}$$ La seconda considerazione possiamo estrarla confrontando le aree dei due triangoli e ricordando che, per richiesta del testo del problema, il piccolo ha un'area che è la metà del grande: $$\frac{1}{2} EF \cdot CH = \frac{1}{2} \frac{1}{2} AB \cdot CJ$$ e da questa è semplice arrivare alla nuova proporzione $$\frac{CH}{CJ} = \frac{AB}{2EF}$$ e confrontando le due equazioni è semplice trovare che $$EF = \frac{\sqrt{2}}{2} AB$$ e quindi $\frac{\sqrt{2}}{2}$ è il fattore di proporzionalità che lega tutti i lati del triangolo piccolo ai rispettivi lati del triangolo grande.
Questa osservazione è importante, perché permette di giustificare la scelta successiva, ovvero per determinare la posizione di $EF$ ci concentriamo sul lato $AC$ (ma poteva andare bene anche $CB$). Rispetto a Pagni, però, propongo un procedimento leggermente differente. Per prima cosa si determina l'asse di simmetria di $AC$, o il suo punto medio, se preferite. Da lì si costruisce un triangolo rettangolo isoscele la cui ipotenusa sarà della lunghezza che abbiamo calcolato nella parte algebrica del quesito. A questo punto, utilizzando un compasso, possiamo riportare questa lunghezza sul segmento $AC$ trovando il punto iniziale $E$ del segmento $EF$.
Un altro problema interessante, sempre proposto da Pagni, è legato alla figura qui sotto⁽³⁾, dove i triangoli in grigio sono detti fianchi:

L'obiettivo è mostrare che i tre fianchi sono equivalenti al triangolo che li ha originati. L'interesse risiede, secondo me, nel far toccare con mano la differenza tra congruenza ed equivalenza, ovvero stessa area, anche perché uno dei tre fianchi è congruente con $ABC$.
Un altro problema interessante che si potrebbe porre agli studenti è quello della trisezione di un angolo. In particolare si potrebbe proporre il metodo di Archimede, recentemente riproposto sul blog spagnolo Gaussianos:

Innanzitutto la soluzione di Archimede non rispetta (o rispetterebbe) i canoni classici perché implica almeno una operazione di misura, visto che bisogna costruire un triangolo isoscele. A questo punto, dati $AB = BC = CD$ con $A$, $C$, $D$ allineati, si procede come segue:

1. $e + c = 180^\circ$
2. Poiché $BCD$ è un triangolo isoscele, allora $e + 2b = 180^\circ$
3. Dalle equazioni precedenti segue che $c = 2b$
4. Poiché $ABC$ è isoscele, segue che $d + 2c = 180^\circ$, e quindi $d = 180^\circ - 2c = 180^\circ - 4b$
5. Quindi, poiché $a + d + b = 180^\circ = a + 180^\circ - 4b + b = 180^\circ$ segue da un semplice calcolo che $a = 3b$, come volevasi dimostrare!

Da notare che nel penultimo passaggio si è anticipato, senza introdurlo esplicitamente, il teorema sugli angoli al centro e alla circonferenza.

(dimostrazione di Eric Kincannon da College Mathematics Journal, vol. 17, n.5 (1990)

Un'ultima risorsa interessante e di livello per quel che riguarda i criteri di congruenza è A look at triangle congruence (pdf) di THomas O'Brien, The Arithmetic Teacher, Vol. 14, No. 2 (1967)

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(1) La prima versione prevede il lato compreso tra i due angoli congruenti, ma la versione proposta è una generalizzazione, la cui dimostrazione discende dalla dimostrazione della versione (diciamo così) originale.
(2) David Pagni, A Triangle Area Problem (pdf), Mathematics in School Vol. 34, No. 2 (Mar., 2005), pp. 20-22
(3) David Pagni, The Flanks of a Triangle: A Geometry Investigation (pdf), Mathematics in School, Vol. 36, No. 2 (Mar., 2007), pp. 34-35