La scimmia instancabile

Arthur alzò gli occhi.
"Ford!" disse "qui fuori c'è un'incredibile moltitudine di scimmie che vogliono parlarci di una sceneggiatura dell'Amleto che avrebbero appena finito di scrivere!"

Il riferimento, in questa citazione dalla Guida galattica per autostoppisti, è a un teorema espresso nel 1913 dal matematico francese Émile Borel. Il teorema stabilisce all'incirca che se si permette a una scimmia di battere a caso i tasti di una macchina da scrivere, questa sarebbe in grado di scrivere qualunque testo, incluse le opere di William Shakespeare.
Proviamo a vedere la questione dal punto di vista delle probabilità. Supponiamo, per semplicità di calcolo, che la tastiera possegga 50 tasti (in effetti sono di più). Prendiamo una parola, ad esempio banana. Ora, poiché la probabilità di ciascun tasto di venire premuto è 1/50, allora la probabilità che la prima lettera sia b è 1/50, che sia a è sempre 1/50, e così via. Per cui la probabilità che le prime sei lettere premute siano esattamente banana è data dal prodotto \[\frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} = \frac {1}{15625000000}\] che è piccolissima ma non nulla.
Per cui la probabilità che non venga digitata la parola banana in un blocco di 6 lettere è data da \[1 - \frac{1}{50^6}\] Per cui se prendo $n$ blocchi di 6 lettere, la probabilità che in nessuno di questi venga digitata banana è data da \[X_n = \left ( 1 - \frac{1}{50^6} \right )^n\] Fino a che $n$ arriva a un milione, la probabilità di non digitare banana si mantiene prossima a 1, ma già con 10 miliardi la probabilità si dimezza, per cui con $n$ che tende all'infinito la probabilità si annulla, ovvero sicuramente esisterà almeno un blocco di 6 lettere esattamente identico a banana.
A questo punto Richard Dawkins si è divertito a verificare la questione prendendo le prime 28 lettere di una frase di Shakespeare. Utilizzando un opportuno algoritmo, l'etologo ha scoperto che, avendo a disposizione l'età dell'universo dal big bang fino a oggi, una scimmia avrebbe una probabilità di \[\left ( \frac{1}{27} \right )^{28}\] (ovvero 1 su 10.000 milioni di milioni di milioni di milioni di milioni di milioni) di riprodurre la frase.
In pratica vincere al superenalotto (probabilità di 1/662 milioni) è più facile!