Il primo ospite da introdurre è inevitabilmente il numero di questa edizione, il 59, che è, udite udite, un bel numero primo, il 17.mo per la precisione, preceduto nella lista dal 53 e succeduto dal 61, di cui è il gemello. E come tutti i numeri primi non è solo un numero primo ma fa parte anche di un altro po' di club più o meno prestigiosi. Innanzitutto anche lui, come il 47, è un numero di Eisenstein. Questi numeri, come abbiamo visto un anno fa, sono dei numeri che possono essere anche complessi, visto che sono definiti come \[z = a + b \omega\] dove \[\omega = e^\frac{2i \pi}{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\] e in particolare 57 può essere scritto con parte immaginaria nulla e parte reale pari a $3n + 1$. 59, però, è anche un numero di Pillai. Un numero primo $p$ è un numero di Pillai se esiste un intero $n > 0$ tale che il fattoriale di $n$, ovvero $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n$, è inferiore di una unità rispetto a un multiplo di $p$, o detto in altri termini se $n! - 1$ è un multiplo di $p$. In particolare $15! - 1$ è divisibile per 59, e questo fa del nostro numero primo un numero di Pillai, nome che sta a ricordare il matematico Subbayya Sivasankaranarayana Pillai, che si interessò a questo genere di numeri, che tra l'altro sono infiniti, come è stato dimostrato da gente come Subbarao, Erdős, Hardy. Questo uno scorcio della loro lista:
23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, ...
E' poi un numero primo regolare e supersingolare ed è anche un numero altamente cototiente. Un numero intero $k$ di questo genere è un numero per cui l'equazione
\[x - \varphi(x) = k\]
ha il numero di soluzioni maggiore rispetto a qualsiasi numero più piccolo, 1 escluso (visto che per 1 l'equazione ha un numero infinito di soluzioni). Si ricorda poi che $\varphi(x)$ è la funzione di Eulero, che quando $x$ è un numero primo $p$ assume questa forma:
\[\varphi(p^z) = (p-1) p^{z-1}\]
con $z > 1$.59 è poi un numero primo sicuro, non nel senso che è uno dei pochi numeri primi ad essere sicuro di essere un numero primo, ma nel senso che può essere scritto nella forma $2p + 1$, con $p$ a sua volta numero primo. Nel caso di 59 possiamo scrivere:
59 = 2 * 29 +1
con 29 a sua volta numero primo. Anche in questo caso eccovi l'inizio della lista:
5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, ...
Il 59, però, non ha ancora esaurito le curiosità matematiche: risulta, infatti, somma di tre numeri primi consecutivi, ovvero 17, 19 e 23, ed è anche il divisore del primo numero di Euclide $E_n$ a non essere a sua volta un numero primo.I numeri di Euclide sono così definiti: \[E_n = p_n \# + 1\] dove $p_n \#$, detto primordiale, è il prodotto di tutti i numeri primi fino a $p_n$, anch'esso primo (in un certo senso è l'equivalente del fattoriale ma solo per i numeri primi). Si osserva che i numeri di Euclide sono primi fino al sesto: \[E_6 = 30031 = 59 \cdot 509\] Infine da un icosaedro regolare si possono costruire 59 stellazioni (che potete produrre voi stessi con un progetto proposto su Wolfram Demonstations), dove per stellazione si intende un procedimento geometrico che permette di costruire a partire da una figura in 2 o in 3 dimensioni una nuova figura sempre in 2 o in 3 dimensioni.
Delle stellazioni dell'icosaedro, vi propongo la 59.ma secondo la classificazione proposta in The Fifty-Nine Icosahedra di H.S.M. Coxeter, P. DuVal, H.T. Flather, J.F. Petrie:
