Mondo Matematico: Il teorema di Pitagora

Proseguo con le recensioni/approfondimenti della collana da edicola Mondo Matematico. Dopo il volume sui numeri primi e quello dedicato alla crittografia, è oggi il turno del Teorerma di Pitagora (vi consiglio di leggere anche il post di Mauro Merlotti dedicato al teorema di de Gua, a metà strada tra dimostrazione non standard e generalizzazione di quello di Pitagora).

La setta dei numeri

Se da un lato la cavalcata nella crittografia è da considerarsi non solo una lettura interessante, ma necessaria visti i tempi, quella dedicata al teorema di Pitagora è più divertente e coinvolge concetti matematici probabilmente più leggeri, utilizzati anche nell'ambito più familiare della matematica creativa.
L'inizio è quasi leggendario: Pitagora viene infatti considerato come il primo matematico a capo di una vera e propria setta che ha fatto dei numeri quasi un oggetto di culto. Interessanti in questo senso sono i versi aurei e le regole che sono alla base della setta pitagorica e che si dimostrano molto simili ai precetti delle moderne religioni. Persino i concetti più propriamente filosofici si dimostrano incredibilmente influenti nel pensiero occidentale, ritrovandoli successivamente in filosofi come Aristotele e Platone.
I numeri avevano, dunque, un'importanza fondamentale per i pitagorici, a partire dall'1, il generatore di tutti i numeri, senza dimenticare il 2, simbolo della diversità e dell'indefinito, e il tre, unione dell'1 e del 2, simbolo dell'armonia della perfezione. Ciò non vuol dire che era considerato un numero perfetto, visto che i numeri perfetti sono tali solo se uguali alla somma dei loro divisori, 1 incluso: e il primo di questa lista è il 6. In mezzo il 4, simbolo di giustizia, e il 5, simbolo del matrimonio e del triangolo divino, facendo parte della più piccola terna pitagorica.
E con la terna entriamo nell’argomento centrale del libro: il teorema di Pitagora. E questo è l'enunciato originale così come scritto nel libro di Claudi Alsina:

Dato un triangolo con i vertici $ABC$, l'angolo $A$ è retto (triangolo rettangolo), se e soltanto se l'area del quadrato costruito sul lato $a$, opposto a $A$, corrisponde alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui lati $b$ e $c$.

Come potete notare l'enunciato originale è un ribaltamento dell'enunciato usuale che ci viene insegnato a scuola: ciò è possibile grazie a quel "se e soltanto se" che permette di ribaltare qualunque teorema (dimostrato vero) in cui è presente.

Mondo Matematico: la crittografia

Proseguo con le recensioni/approfondimenti della collana da edicola Mondo Matematico. Dopo il volume sui numeri primi, nella seconda, doppia uscita erano proposti insieme due testi sul teorema di Pitagora e sulla crittografia. Oggi provo a raccontarvi quest'ultimo, un libro indubbiamente interessante e ricco di approfondimenti, sebbene in certi punti scritto da Joan Gomez Urgellés in maniera forse eccessivamente asettica:

Matematici, spie e pirati informatici

La storia della crittografia sembra intimamente legata con lo sviluppo della scrittura: uno dei primi esempi crittografici risale infatti ai babilonesi, con una tavoletta cui mancavano alcune lettere, e non perché si sono persi a causa del tempo trascorso (all'incirca 4500 anni fa).
Ad ogni buon conto, si possono clasificare i cifrari dell'antichità in due tipi diversi: per trasposizione e per sostituzione. Il primo si basa sulla trasposizione delle lettere che compongono il messaggio: supponendo che esse siano $n$, il numero di possibili messaggi che si possono comporre è pari a $n!$. Unico elemento che fece cadere in disuso il sistema era la difficoltà nel poter utilizare chiavi semplici per le operazioni di crittazione e decodifica.
Il secondo, che ebbe in Giulio Cesare il suo più noto utilizzatore (tanto che uno dei codici di critazione porta il suo nome) prevede la sostiuzione di ciascuna lettera dell’alfabeto con un’altra fornita grazie alla traslazione dell'intero alfabeto. Dal punto di vista matematico questi ultimi cifrari sono indubiamente i più interessanti, basandosi sulla matematica modulare.
L'operazione di modulo, $a \mod b$, restituisce il resto dela divisione di $a$ per $b$ e introduce una interessante classe di equivalenza (ovvero un sottoinsieme di oggetti di un dato insieme che godono di una stessa proprietà): avere lo stesso resto nella divisione per $b$. Così, per esempio $5 \equiv 14 (\mod 3)$, questo perché sia 5 sia 14 forniscono lo stesso resto quando li dividiamo per 3.
Anche il cifrario di Cesare aveva un punto debole: l'analisi delle frequenze. Come qualunque scherlockiano può dirvi, per ogni lingua si possono determinare le frequenze con cui ciascuna lettera compare all’interno del vocabolario. Così confrontando le frequenze delle lettere (o simboli) presenti nel messaggio da decifrare con le frequenze della lingua in cui si presume che tale messaggio sia stato scritto, è possibile risalire con buona precisione al messaggio originario. Per ovviare all'analisi delle frequenze, Blaise De Vigenère sviluppò l'omonimo quadrato, costituito come segue:

Mondo matematico: i numeri primi

Nell'ultimo periodo, particolarmente lungo e difficile, mi sono ritrovato a leggere di seguito, intervallati da una sola raccolta di fantascienza, un po' di libri di scienza, soprattutto matematici. E', infatti, arrivata in edicola la serie Mondo matematico che, nonostante buona parte degli argomenti li conosca abbastanza bene, mi ha attirato e ho iniziato ad acquistare.
La collana è la versione italiana di una serie di libri divulgativi in spagnolo che presentano una strutura ben definita: prefazione, svuiluppo dell'argomento in una serie di capitoli, eventuali appendici, bibliografia e ringraziamenti. All'interno sono poi posizionati a intervallare il testo principale una serie di box che propongono brevi digressioni e curiosità che arricchiscono la lettura e possono ovviamente essere letti secondo i gusti del lettore.
Vediamo un po' quali libri e quali argomenti propone la collana iniziando con il volume dedicati ai numeri primi, di Enrique Gracian.

La biblioteca di Alessandria

Il libro è una cavalcata nella storia dello studio di questi particolari numeri a partire dalle origini: la necessità del contare con la scoperta dei numeri stessi e di uno dei primi risultati ad essa legati, il teorema fondamentale dell'aritmetica sulla fattorizzazione. Da qui il salto verso la ricerca di una qualche regolarità nella distribuzione dei numeri primi è breve e passa anche attraverso la mitica biblioteca di Alessandria.

Costruita da Tolomeo I "Sotere", venne affidata alla gestione di Demetrio, allievo di Teofrasto, all'epoca in esilio. Il modus operandi della biblioteca era abbastanza semplice: chiedere in prestito testi da altre città, su tutte Atene, e ricopiarli per poi mandare indietro le copie e tenersi gli originali. Stessa operazione venne fatta con le navi che giungevano nel porto. Quando il gioco venne scoperto, con la protezione di Tolomeo, la città impose ai commercianti che giungevano al porto di... portare dei testi di varia natura per essere consegnati e ricopiati nella biblioteca.
La biblioteca di Alessandria divenne, così, il maggior centro di raccolta di informazioni e cultura dell'antichità, ma anche un ottimo modo per diffonderla. Inclusa la matematica.

Da Mersenne a Fermat

Torniamo ai numeri primi: il primo salto importante venne fatto con Marin Mersenne, religioso dell'ordine dei minimi. Proprio a lui sono dedicati i numeri primi di Mersenne, numeri della forma \[2^p -1\] con $p$ primo.
Un'altra delle caratteristiche di Mersenne fu la sua capacità di mantenere i contatti con altri scienziati e matematici dell'epoca, con i quali portava avanti varie ricerche nel campo. Lo si potrebbe considerare un antesignano della moderna colaborazione accademica e uno spirito piuttosto affine all'ungherese Paul Erdos, il matematico con il maggior numero di collaborazioni.

Pierre de Fermat di Bernarda Bryson

Tra gli amici di penna di Mersenne figurava anche Pierre de Fermat, noto soprattutto per il suo famoso ultimo teorema, ha anche ottenuto diversi risultati nella teoria dei numeri. In particolare il piccolo teorema di Fermat: