$n$ è un numero primo
stiamo, in effetti, affermando che $n$ è un numero naturale divisibile solo per se stesso e per l'unità. Questa definizione può però essere ulteriormente ridotta come segue(1):
$n$ è un numero naturale e, presi comunque due numeri naturali $h$ e $k$, se $n$ è $h \cdot k$, allora $h$ o $k$ è 1.
E' chiaro, in questo caso, che il senso di riduzione per una definizione matematica va nella direzione del non utilizzare notazioni che necessitano di ulteriori definizioni, ovvero una ricerca delle basi fondamentali della matematica, di un linguaggio irriducibile che permetta di descriverla(1), possibilmente in maniera completa. In quest'ordine di pensieri, è evidente che la nuova definizione di numero primo non è ancora sufficientemente ridotta. Sono infatti molti gli elementi che possono essere ridotti ai loro minimi termini, partendo dal prodotto tra $h$ e $k$. Il modo usuale per arrivare alla definizione fondamentale di numero primo è passando attraverso la teoria degli insiemi, quella sviluppata da Georg Cantor, che diventa, quindi, il linguaggio fondamentale della matematica(2).All'interno di questo contesto, la definizione di numero primo è(1):
(...) tutta la matematica possa essere riscritta nel vocabolario della teoria degli insiemi.(1)Il problema è che si scoprì relativamente presto che la teoria degli insiemi è meno solida della matematica, che si fonda su di essa. La storia, infatti, è nota: nel 1901 Bertrand Russell scoprì il paradosso che porta il suo nome(1):
Esiste almeno un $y$ tale che per ogni $x$, $x \in y$ se e solo se non $x \in x$peccato che tale affermazione non sia dimostrabile. Da un punto di vista divulgativo, però, il paradosso è equivalente al famoso paradosso del barbiere (ispirato a un altro paradosso simile, ideato da Lewis Carroll), o, in una reinterpretazione vignettistica, il paradosso del postino(3):
