Ritratti: Wilhelm Lenz

Il contributo più importante alla fisica di Wilhelm Lenz è un modello che è, per lo più, ricordato con il nome di un suo studente: il modello di Ising. Su questa faccenda tornerò più avanti, almeno per quel poco che se ne può sapere. Sta di fatto che, come fisico teorico, i suoi contributi sono andati in particolare nei campi della teoria atomica e della fisica dello stato solido, il tutto all'interno del paradigma della meccanica quantistica⁽¹⁾.

La carriera

Wilhelm Lenz - via Università di Amburgo

Nato l'8 febbraio del 1888 a Francoforte, in Germania, Lenz studiò presso la Klinger-Oberralschule, una scuola secondaria della sua città natale, dalla quale uscì nel 1906, per poi proseguire gli studi presso l'Università di Gottinga⁽²⁾, dove studò matematica e fisica⁽¹⁾.
Dal 1908 al 1911 si trasferì a Monaco, dove conseguì il dottorato sotto la supervisione di Arnold Sommerfeld, di cui divenne l'assistente per i nove anni successivi⁽¹⁾, diventando Privatdozent il 4 aprile 1914. Giusto in tempo prima di venire arruolato come operatore radiofonico in Francia nel corso della prima guerra mondiale⁽²⁾.
L'1 dicembre del 1920 ottenne il ruolo di professore straordinario presso l'Università di Rostock, che lasciò nel corso del 1921 dopo aver ottenuto il ruolo di professore ordinario di fisica teorica presso l'Università di Amburgo. Ruolo che mantenne fino al pensionamento, avvenuto nel 1956⁽²⁾.
Tra i suoi studenti si contano fisici del calibro di Wolfgang Pauli, Ernst Jordan, Ernst Ising e Albrecht Unsöld. Quest'ultimo, dopo essersi specializzato nella spettroscopia stellare, è diventato uno dei più importanti astrofisici tedeschi⁽¹⁾.

Freschi come i freni della McLaren

Oscar Piastri in testa al Gran Premio di Miami 2025 - via MotorSportWeek

In effetti l'usuale link post (più o meno) periodico doveva essere quello che alla fine ho dedicato alla passeggiata casuale dell'elefante, per cui non pensavo di proporne uno vero e ufficiale così presto. E invece c'è una questione che sta coinvolgendo il mondo della Formula 1 legato alla capacità della McLaren, che sta dominando l'attuale campionato, di gestire gli pneumatici. Si sono rincorse diverse voci nel caso, una delle più strane e, in qualche modo, improbabili, dovute a quanto pare alla Red Bull, suggeriva che il team britannico utilizzasse acqua dentro gli pneumatici stessi! E invece, come riportato da Salvo Sardina tra la seconda e la terza puntata del podcast WarmUp, sembra che invece ciò sia dovuto a particolari materiali utilizzati nella costruzione dei freni stessi. E allora ecco scattare la mia curiosità per cercare di capire se qualcosa in questo campo è stato fatto proprio nel campo della ricerca dei materiali.
Ed ecco una lista interessante, non esaustiva, di articoli che in effetti vanno nella direzione dello studio dei sistemi frenanti delle automobili, iniziando da Thermal characterization of insulating materials:

Scienza take away #7: febbraio-marzo 2025

Avendo ospitato il Carnevale della matematica #185, quello dedicato al pi day, il mese precedente è stato per lo più fagocitato dal pi greco, quindi, in pratica, ci sono ben pochi articoli a tema scientifico da segnalare in questa nuova edizione, anche se spero che siano tutti particolarmente interessanti. Iniziamo.

Da DropSea

Con un po' di ritardo rispetto al Darwin day, il che è anche normale visto che ho assistito all'opera teatrale solo un paio di giorni dopo, esce la mia recensione di Darwin, Nevada, ultima fatica del sempre grande Marco Paolini, uno che la scienza a teatro l'ha portata in tempi decisamente non sospetti!

Frigorifero di terracotta

Il caldo oggi a Milano ci è arrivato così, all'improvviso. Bello tosto. Per fortuna nella nostra società abbiamo l'energia necessaria per dei buoni sistemi di refrigerazione, come ad esempio i frigoriferi. Esistono posti nel mondo, ad esempio molti villaggi in Africa, dove l'energia elettrica non è ancora arrivata, per cui il problema della conservazione degli alimenti senza il nostro frigorifero elettrico è abbastanza pressante.
Negli anni Novanta del XX secolo, però, Mohamed Bah Abba, docente presso il Politecnico dello Stato di Jigawa a Dutse, riprendendo idee e principi presenti già nell'antichità, come ad esempio negli zeer degli antichi egizi: un frigorifero di terracotta.
Questo dispositivo è sostanzialmente costituito da due vasi di terracotta posti uno all'interno dell'altro, separati da uno strato di sabbia che viene bagnata due volte al giorno. All'interno del vaso più piccolo vengono, invece, conservati gli alimenti (frutta e verdura) e poi coperti da un panno bagnato. In questo modo l'evaporazione dell'acqua all'interno della sabbia genera un flusso che allontana il calore dall'interno del vaso più piccolo, arrivando ad abbassare la temperatura anche fino a 4° o poco più.
In questo modo Abba riuscì a conservare delle melanzane per ben 27 giorni, pomodori e peperoni per ben 3 settimane, mentre gli spinaci sono arrivati fino a 12 giorni!
Purtroppo in quest'era di energia elettrica siamo abituati a pensare che "tecnologia" sia connesso proprio con l'elettricità, ma in realtà persino la sedia su cui sono seduto in questo momento mentre scrivo queste righe è tecnologia, solo che la diamo per scontata, o almeno un po' più scontata del computer, dello smartphone, del tablet che state usando per leggere queste righe.

Frecce del tempo

Tra gli articoli che avevo da parte da un bel pò, c'è questa cartelletta contenente un trittico dedicato al concetto della freccia del tempo.

Sono in ritardo!

Cos'è il tempo, che ci fa spesso arrivare in ritardo, soprattutto se non riusciamo a sincronizzare il nostro orologio interno con gli impegni che di solito prendiamo in carico?
Una definizione interessante è quella fornita dal chimico Ilya Prigogine, per cui il tempo è in un certo senso una manifestazione dell'entropia.
Questo modo di vedere il tempo implica l'esistenza di una freccia del tempo che si dice termodinamica. Eppure è possibile determinare frecce del tempo differenti. Ad esempio un trittico di fisici teorici hanno proposto un punto di vista che mostra come anche la forza di gravità stessa fa emergere una freccia del tempo all'interno dell'universo⁽¹⁾.

Un po' sopra lo zero

Ancora oggi continuo a pensare, come esempio della superficialità di buona parte di presentatori e giornalisti, la presentazione che venne fatta da una nota conduttrice della canzone Dancing di Elisa:

E adesso si balla!

Già. La presentazione venne fatta a partire dal titolo della canzone, senza averla mai ascoltata. Dancing fa parte del terzo album di Elisa Toffoli, meglio nota con il solo nome proprio, The comes the sun, che racchiude un po' le speranze di questo momento particolare. Di tutta la track list, però, oggi vorrei soffermarmi su A little over zero, canzone centrale di quell'album, non tanto per qualche passaggio particolare nel testo, ma esattamente per quello zero nel titolo.

Le grandi domande della vita: Superinsalate sotto vuoto

Versione un po' leggera quella di questo mese de Le grandi domande della vita in cui si salta di palo in frasca dalla termodinamica, alla matematica ai supereroi.

Bollire sottovuoto

Nell'articolo di Sandro Bardelli su Edu INAF dedicato alla sopravvivenza nello spazio senza tuta spaziale, c'è anche un video interessante in cui Sandro mostra a un gruppo di studenti come sia possibile portare all'ebollizione l'acqua contenuta all'interno di un bicchiere semplicemente creando il vuoto all'interno di una campana di vetro. Domanda collaterale a quella cui risponde Bardelli è, evidentemente: come è possibile che l'acqua a temperatura ambiente inizia a bollire quando togli aria?
A fornirci un'idea interviene l'equazione dei gas perfetti: \[PV = nRT\] dove $P$ è la pressione, $V$ il volume, $T$ la temperatura, mentre $n$ ed $R$ due costanti reali positive.
Come potete vedere la temperatura è legata alla pressione, quindi ha senso supporre che la temperatura di ebollizione di un liquido dipenda, come la temperatura stessa, dalla pressione del liquido stesso. E poiché all'interno della campana l'aria viene sottratta, allora sia la pressione sia la temperatura di ebollizione si abbassano.
In realtà esiste un'equazione che lega la temperatura di ebollizione $T_B$ alla pressione $P$:

La camminata dell'ubriaco quantistico

Era da un po' che non giravo su arXiv per dare un'occhiata a qualche novità o curiosità non solo su cui scrivere, ma anche da approfondire un po' a tempo perso. Dando un'occhiata alle uscite recenti nel campo della fisica-matematica, mi imbatto in un articolo interessante⁽⁴⁾, uscito all'inizio di ottobre, che mi da modo di approfondire un po' l'argomento del moto browniano.

La passeggiata casuale delle cellule in acqua

via commons

Sebbene il fenomeno fosse stato osservato per la prima volta nel 1785 da parte del botanico olandese Jan Ingenhousz, il termine deriva dal suo collega scozzese Robert Brown che lo descrisse nel 1827 osservando al microscopio il moto caotico e senza requie delle particelle del polline di Pulchella clarkia nell'acqua. La prima spiegazione teorica del fenomeno arrivò nel 1905 in uno degli articoli che Albert Einstein mandò quell'anno ad Annalen der Physik⁽¹⁾. L'articolo, che studiava il movimento di piccole particelle sospese in un liquido stazionario, aveva come obiettivo quello di fornire un'evidenza per l'esistenza di atomi e molecole. Il modello di Einstein venne successivamente verificato sperimentalmente da Jean Baptiste Perrin nel 1908⁽²⁾ e gli permise, tra gli altri, di ottenere il Nobel per la Fisica nel 1926

Le grandi domande della vita: La Luna, Marte e i triangoli

Con la fine di agosto, sta rispuntando in giro una vecchia bufala, che era già assurta agli onori della cronaca nel 2016 ma che sembra sia in circolazione addirittura dal 2002: ovvero che nel mese di agosto è possibile vedere Marte con le stesse dimensioni apparenti della Luna, se non più grandi. Il problema è che ciò non è mai possibile. Vediamo perché.

Il diametro angolare

In astronomia esiste un numero particolare che misura le dimensioni apparenti di un oggetto nel cielo: il diametro angolare. Questo non è altro che un angolo, $\delta$, matematicamente definito dalla relazione \[\delta = 2 \arctan \frac{2}{2D}\] dove $d$ è il diametro dell'oggetto, $D$ la sua distanza dall'osservatore.
Se andiamo a vedere la tabella dei diametri orbitali, ci rendiamo conto che il diametro della Luna varia dai 1796 arcosecondi ai 2009 arcosecondi, mentre quello di Marte dai 3.5 arcosecondi ai 25.7 arcosecondi, quindi ben lontano dal $\delta$ della Luna.
A questo punto ci possiamo chiedere quanto dovrebbe essere distante Marte dalla Terra per apparire grande quanto la Luna. Prima di tutto invertiamo la formula di cui sopra: \[D = \frac{d}{2 \tan \frac{\delta}{2}}\] Sostituendo a $d$ il diametro di Marte e a $\delta$ il diametro angolare maggiore della Luna, opportunamente trasformato in gradi⁽¹⁾, si ottiene per la distanza Terra-Marte un valore di quasi 709000 chilometri, cioé quasi il doppio della distanza Terra-Luna e quasi 320 volte più piccolo della distanza reale tra il nostro pianeta e il pianeta rosso.

Un bicchiere di ghiaccio

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Le grandi domande della vita: freddo quantistico

Con un’estate così calda, non c’è nulla di meglio che rinfrescarsi scendendo sotto lo zero assoluto! E per i più curiosi, entriamo nei segreti delle code!

Scendere sotto lo zero assoluto

Secondo la definizione di zero assoluto, questa:

è la temperatura più bassa che teoricamente si possa ottenere in qualsiasi sistema macroscopico e corrisponde a $0 K$ ($–273,15 ^circle C$). Si può mostrare con le leggi della termodinamica che la temperatura non può mai essere esattamente pari allo zero assoluto, anche se è possibile raggiungere temperature molto vicine ad esso. Allo zero assoluto le molecole e gli atomi di un sistema sono tutte allo stato fondamentale (ovvero il più basso livello di energia possibile) e il sistema ha il minor quantitativo possibile di energia cinetica permesso dalle leggi della fisica. Questa quantità di energia è piccolissima, ma sempre maggiore di zero. Questa energia minima corrisponde all’energia di punto zero, prevista dalla meccanica quantistica per tutti i sistemi che abbiano un potenziale confinante.

Per cui sembrerebe che nulla possa essere più freddo dello zero assoluto, e quindi che non possa esistere una temperatura assoluta negativa. Eppure nel 2013 è stato creato per la prima volta un gas atomico on una temperatura al di sotto dello zero assoluto^{(1, 2)}!
Il punto essenziale dell’esperimento è nella visione probabilstica della temperatura. In questo modo possono succedere alcuni effetti interessanti, come la contrazione di un gas riscaldato o il flusso di energia da un sistema a una data temperatura verso uno a una temperatura superiore.
Il gruppo di ricercatori di Braun e soci ha racchiuso in una trappola quantistica costituita da campi magnetici e raggi laser, alcuni atomi ultrafreddi di potassio riuscendo a portarli a una temperatura di poco inferiore allo zero assoluto (all’incirca $-10^{-9} K$). Questa scoperta apre la strada da un lato alla possibile realizzazione di sistemi con un’efficienza mai vista finora, e dall’altro alla possibilità di investigare un fenomeno che potrebbe essere alla base dell’energia oscura⁽²⁾.

Le grandi domande della vita: fredde come le montagne

Nonostante la bella stagione si lasci ancora desiderare (almeno qui a Milano), iniziamo a concentrarci sui misteri della termodinamica delle stagioni:

Aria calda, aria fredda

Quando a scuola impariamo che l’aria calda è più leggera e quindi sale, mentre quella fredda scende, questo non sembra stridere con quanto, invece, abbiamo imparato dall’esperienza, ovvero che in montagna fa più fresco. La spiegazione che più spesso ci si da è quella dei venti in alta quota, ma di fatto non può essere considerata completamente sodisfacente. Una possibile risposta al quesito su come mai in montagna fa più fresco che in pianura o al mare può venire dall’equazione dei gas perfetti, nonostante l’aria non possa essere considerato un gas perfetto \[PV = nRT\] L’equazione, determinata da Émile Clapeyron nel 1834 a partire dai lavori di Robert Boyle, Jacques Charles e Amedeo Avogadro, pur risultando meno precisa di quella scoperta da Johannes Diderik van der Waals, è utile per capire qualitativamente l’effetto di abbassamento delle temperature con l’altitudine che sperimentiamo in estate.
Prendiamo un pallone aereostatico riempito di una data quantità di aria riscaldata da un fornelletto a gas. All’aumentare della temperatura, la pressione all’interno del pallone inizia ad aumentare, permettendogli così di alzarsi verso gli strati superiori dell’atmosfera. La pressione agli strati superiori, come ci insegna la legge di Stevino, è però sempre più bassa e così la temperatura esterna. Questa diminuzione di temperatura, a causa dello scambio di calore tra interno ed esterno del pallone, determinerebbe una diminuzione della temperatura e quindi della pressione dell’aria calda, che viene compensata da successive aperture del fornelletto che consentono al pallone di restare in aria.
Prendiamo ora una quantità di aria calda sul livello del mare libera di muoversi e senza alcuna costrizione da parte di palloni aereostatici. Essa si muoverà verso l’alto, strato dopo strato, incontrando aria più fredda e scambiando calore con questi strati, senza però ricevere dall’esterno alcun rifornimento energetico, come invece avviene nel pallone aereostatico. Questo scambio di calore, allora, genera la diminuzione di temperatura dell’aria calda man mano che sale verso la cima della montagna, dovuto essenzialmente agli urti con le molecole più lente di aria fredda. A causa di questi urti, la velocità media dell’aria calda diminuisce e dunque anche la sua temperatura, come evidente giocando un po’ con l’equazione di Boltzmann e la teoria cinetica dei gas: \[T = \frac{m v^2}{3 k}\] dove $m$ è la massa di una molecola d’aria, $v$ la velocità media di ciascuna di esse, $k$ la costante di Boltzmann.

Il teorema del ritorno di Poincaré

Prima di tutto il teorema di Liouville:

Il flusso nello spazio delle fasi, corrispondente alle equazioni di Hamilton, conserva il volume in questo spazio.⁽³⁾

Conseguenza è che un sistema hamiltoniano stabile non può essere asintoticamente stabile⁽³⁾
Il teorema del ritorno di Poincaré (anche detto della ricorrenza) quindi stabilisce che:

Sia $g$ una trasformazione continua, biunivoca, che conservi il volume, che porti una regione limitata $D$ dello spazio euclideo in sé: $gD = D$.
Allora in ogni intorno $U$ di un punto qualsiasi della regione $D$ esiste un punto $x \in U$ che ritorna in $U$, cioè $g^n x \in U$, per qualche $n > 0$.⁽³⁾

Questo particolare teorema scoperto dal famoso matematico francese apparve per la prima volta sul famoso articolo Sur le probléme des trois corps et les équations de la Dynamique⁽¹⁾ con cui Poincaré vinse il concorso indetto dal re Oscar II di Svezia, appassionato matematico, per la risoluzione di alcuni problemi di analisi.
A seguito del teorema, alcuni risultati apparentemente paradossali: il primo riguarda il moto di una pallina in una buca asimmetrica: per quanto questo sia ignoto, si può star certi che prima o poi essa tornerà nelle vicinanze del punto di partenza⁽³⁾:

Un altro risultato paradossale, che segue alla combinazione dei due teoremi di Liouville e Poincaré, e che è intuibile già a partire dalla pallina nella buca asimmetrica, è legato alla termodinamica: se apriamo un passaggio tra due camere, una completamente vuota e una completamente piena di un qualche gas, dopo un certo tempo le molecole del gas si raccoglieranno nuovamente tutte nella prima camera⁽³⁾.

La soluzione del paradosso sta nel fatto che questo "certo tempo" è maggiore della vita del sistema solare⁽³⁾.

Misura del calore specifico di un metallo

Ritorniamo in laboratorio e ancora una volta con un'esperienza di termodinamica. In questo caso, utilizzando gli strumenti raccolti sul tavolo, vedremo come si misura il calore specifico di un metallo:

Degli strumenti che vedete, è stata utilizzata la bilancia per pesare il pezzo di metallo, il fornelletto con il contenitore d'acqua per riscaldare il metallo fino a 100°C, e il calorimetro:

L'idea dietro l'esperimento è semplice: si riscalda un pezzo di metallo, in questo caso immergendolo nell'acqua, e una volta raggiunta la temperatura di 100°C lo si immerge dentro l'acqua precedentemente versata nel calorimetro. A questo punto, utilizzando un termometro, si misura la temperatura del sistema fino al raggiungimento del punto di equilibrio: la misura della temperatura di equilibrio, e in generale di qualunque temperatura per gli esperimenti termodinamici, soprattutto quelli nei laboratori scolastici, sono operazioni estremamente delicate, da farsi con estrema attenzione poiché sono sempre accompagnate da errori e incertezze molto grandi dovute, ad esempio, alla repentina diminuzione di temperatura (come nei metalli o nelle transizioni di fase)⁽¹⁾. Per poter, però, sperare di misurare il corretto calore specifico del pezzo di metallo scelto, dobbiamo considerare un piccolo dettaglio: il calorimetro, strumento costruito per esserlo, non è in realtà un perfetto sistema adiabatico. Questo vuol dire che in qualche modo bisogna valutare il calore assorbito dal calorimetro, usualmente detto equivalente in acqua del calorimetro.
L'equivalente in acqua può essere valutato in maniera qualitativa, come è stato fatto per l'esperimento che con Bruno Martemucci abbiamo proposto a fine gennaio alla quarta classe, oppure realizzando un esperimento a parte. Un semplice esperimento che può essere realizzato è quello descritto su it.wiki (ho modificato la notazione delle formule per adattarla a quella che utilizzerò più avanti):

Esperimento sulla dilatazione termica

Ritorniamo a scuola. Con la classe quarta, insieme con il validissimo ITP Bruno Martemucci, giusto una settimana fa, abbiamo fatto un esperimento sulla dilatazione termica lineare.
Innanzitutto un paio di parole sulla dilatazione termica:
Qualunque sistema termodinamico è in grado di incamerare o rilasciare energia termica, ovvero calore. Ad esempio la quantità di calore accumulata da un oggetto cui viene fornita una temperatura $\Delta T$ è \[Q = m \cdot c \cdot \Delta T\] dove $m$è la massa dell'oggetto, $c$ il calore specifico, costante che varia in base alla composizione dell'oggetto.
Se forniamo energia, sotto forma di temperatura, a un dato sistema termodinamico, questo può quindi variare la quantità di calore accumulata al suo interno, ma può anche trasformare questo calore in energia meccanica, come ha mostrato Joule nel suo famoso esperimento, che di fatto apre le porte al primo principio della termodinamica: \[Q = \Delta U + L\] dove $L$ è il lavoro fatto dal sistema, $\Delta U$ è la variazione di energia interna, una delle funzioni di stato che è in un certo senso l'equivalente termodinamico dell'energia potenziale gravitazionale.
Questo vuol dire che se fornisco calore a un sistema, questo me lo restituisce sotto forma di altro calore, per esempio, o compiendo del lavoro. D'altra parte se compio lavoro su un sistema termodinamico, questo sistema disperderà parte dell'energia fornita riscaldandosi, ovvero trasformando parte del lavoro in calore.
Prendiamo, ora, come sistema termodinamico una barra di metallo: se la riscaldiamo, l'effetto dell'aumento della temperatura $\Delta T$ sarà un aumento del volume $V$ secondo la legge \[\Delta V = k \cdot V \cdot \Delta T\] dove $k$ è il coefficiente di dilatazione cubica, che varia da materiale a materiale.
Se però prendiamo un'asta di metallo, magari una cava come abbiamo fatto nell'esperimento a scuola (in effetti ne abbiamo prese due di due metalli differenti: acciaio e ottone, se non ricordo male) allora possiamo considerare trascurabili gli effetti di dilatazione volumetrica e considerare solo la dilatazione lineare. In questo caso la lunghezza $l$ dell'asta, all'aumentare della temperatura $\Delta T$ varierà secondo la legge: \[\Delta l = \lambda \cdot V \cdot \Delta T\] dove $\lambda$ è il coefficiente di dilatazione lineare ed è legato a quello di dilatazione cubica dalla relazione $k = 3 \lambda$.

Insostenibile

Tutti i processi naturali e tecnologici,
Procedono in modo tale che la disponibilità
di energia rimanente diminuisca.
In tutti gli scambi di energia, se nessuna energia
entra in o lascia un sistema isolato,
l'entropia del sistema aumenta.
L'energia continuamente passa dall'essere
concentrata al diventare dispersa,
sparpagliata, sprecata e inutile.
Nuova energia non può essere creata
mentre energia di grande qualità viene distrutta.
Un'economia basata sulla crescita infinita è...
Insostenibile

Le leggi fondamentali della termodinamica
porranno limiti fissati all'innovazione tecnologica
e all'avanzamento umano.
In un sistema isolato, l'entropia
può solo aumentare.
Una specie settata sulla crescita infinita è...
Insostenibile

(da Unsustainable dei Muse)

L'influenza dei raggi del Sole sulla Terra

A partire dalla domanda se l'energia irradiata dal Sole è in grado di modificare, in tempi lunghi, l'orbita della Terra, Salvatore Esposito⁽⁵⁾ dell'Università di Napoli Federico II ha realizzato ben due possibili esercizi didattici che, secondo me, possono essere proposti anche agli studenti delle scuole superiori. D'altra parte questo tipo di esercizi può essere fatto rientrare nella tipologia dei calcoli alla Fermi. Enrico Fermi, infatti, era solito calcolare in maniera molto indicativa alcune quantità fisiche di interesse, più che altro per valutarne l'ordine di grandezza. Esercizi di questo genere, in effetti, sono già stati proposti in passato ai ragazzi durante le Olimpiadi Italiane dell'Astronomia, e in quei casi l'idea di base è sempre stata quella di comprendere il problema e applicare la formula corretta per valutare la grandezza richiesta.
In questo caso il problema deve essere affrontato per passi successivi: iniziamo innanzitutto a valutare l'energia che il Sole irradia sulla Terra. Per fare questo dobbiamo partire dall'irradianza solare, ovvero dalla potenza della radiazione elettromagnetica del Sole per unità di superficie. Questa quantità, che si misura in W/m², dagli utlimi dati⁽¹⁾ è di circa \[E_e \simeq 1.36 \cdot 10^3 W m^{-2}\] L'energia che ci interessa è ovviamente quella che colpisce la superficie terrestre, che è mediamente una sfera di raggio $R_E \simeq 6.4 \cdot 10^6 m$. Considerando che il Sole illumina, in ogni istante, solo metà della superficie terrestre e considerando che i raggi solari colpiscono la superficie con angoli inferiori ai 90° (e quindi con una irradianza minore rispetto a quella massima), in un giorno la quantità di energia solare che raggiunge la superficie terrestre è di \[E_S \simeq E_e \pi R_E^2 \Delta t = 1.36 \cdot 10^3 \cdot \pi \cdot 6.4 \cdot 10^6 \cdot 86400 J \simeq 1.5 \cdot 10^{22} J\] A questo punto è importante proporre alcune osservazioni agli studenti, soprattutto se l'esercizio è svolto in classe, in modo che si rendano conto della differenza tra un calcolo preciso e una valutazione dell'ordine di grandezza come quella proposta. In un calcolo che vuole provare ad essere preciso, andrebbe sottratto a $E_S$ la quantità di energia corrispondente alla radiazione riflessa dall'atmosfera.
Un altro passaggio fondamentale, che lo stesso Esposito sottolinea, è quello di utilizzare l'esercizio anche per proporre agli studenti un esempio di urto o di interazione che non necessita di alcun contatto tra i corpi interagenti (come è il caso discusso). Considerando che l'esercizio è pensato per studenti universitari, credo però che sia importante proporlo anche a studenti delle scuole superiori: con la sempre maggiore attenzione del mondo del giornalismo alla scienza, è importante riuscire a dare già in questa fase le informazioni e le nozioni necessarie per interpretare questo genere di notizie. Si potrebbe, dunque, in questa fase far partire, in caso di svolgimento in classe dell'esercizio, una discussione tra gli studenti o, nel caso di esercizio assegnato a casa, proporre agli studenti di approfondire e/o aggiungere le loro considerazioni personali.