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martedì 22 ottobre 2019

La camminata dell'ubriaco quantistico

Era da un po' che non giravo su arXiv per dare un'occhiata a qualche novità o curiosità non solo su cui scrivere, ma anche da approfondire un po' a tempo perso. Dando un'occhiata alle uscite recenti nel campo della fisica-matematica, mi imbatto in un articolo interessante(4), uscito all'inizio di ottobre, che mi da modo di approfondire un po' l'argomento del moto browniano.
La passeggiata casuale delle cellule in acqua

via commons
Sebbene il fenomeno fosse stato osservato per la prima volta nel 1785 da parte del botanico olandese Jan Ingenhousz, il termine deriva dal suo collega scozzese Robert Brown che lo descrisse nel 1827 osservando al microscopio il moto caotico e senza requie delle particelle del polline di Pulchella clarkia nell'acqua. La prima spiegazione teorica del fenomeno arrivò nel 1905 in uno degli articoli che Albert Einstein mandò quell'anno ad Annalen der Physik(1). L'articolo, che studiava il movimento di piccole particelle sospese in un liquido stazionario, aveva come obiettivo quello di fornire un'evidenza per l'esistenza di atomi e molecole. Il modello di Einstein venne successivamente verificato sperimentalmente da Jean Baptiste Perrin nel 1908(2) e gli permise, tra gli altri, di ottenere il Nobel per la Fisica nel 1926
per il suo lavoro sulla struttura discontinua della materia.
Nella prima parte del suo lavoro Einstein cercava di determinare quanto lontano erano in grado di viaggiare le particelle browniane in un dato intervallo di tempo. A causa dell'alto numero di collisioni (dell'ordine di $10^{14}$ al secondo), non era possibile utilizzare un approccio classico per studiare il sistema, e dunque il fisico considerò il moto collettivo delle particelle anziché quello del singolo elemento.
La seconda parte, invece, venne dedicata ad associare la dispersione determinata nella prima parte con grandezze e costanti fisiche fondamentali, come la costante di Rydberg $R$, il numero di Avogadro $N_{\text{A}}$, la temperatura T: \[D = \mu k_{\rm {B}} T = \frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}\] Il lavoro di Einstein e la successiva verifica sperimentale rafforzarono la visione essenzialmente statistica della seconda legge della termodinamica.
Viste le premesse, è da considerarsi abbastanza inevitabile l'applicazione della meccanica quantistica al moto browniano. Nel 2010 Laszlo Erdos realizza una vera e propria sintesi sul moto browiniano quantistico, in cui, fondamentalmente, all'interno dell'equazione di Schroedinger si utilizza un potenziale casuale(3).
  1. Einstein, Albert (1905). Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen der Physik 322 (8): 549–560. doi:10.1002/andp.19053220806 (pdf in inglese). 
  2. L'articolo è però datato 1911: Les Preuves de la réalité moléculaire
  3. Erdos, L. (2010). Lecture notes on quantum Brownian motion. arXiv:1009.0843
  4. Simon, A. (2019). The Open Quantum Brownian Motion and continual measurements. arXiv:1910.01504

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