Dall'elicottero di Leonardo all'elica di Riemann

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Oggi c'è stata un'edizione speciale delle Lezioni leonardesche di Milano tenutasi presso la Biblioteca Nazionale Braidense. La chiusura della giornata è stata affidata a Roger Penrose che ha proposto un intervento dal titolo On the Power of Geometric Illustration in Mathematics and Science. Di fatto ha proposto una serie di immagini matematiche e fisiche, commentandole di volta in volta, praticamente tutte tratte dal suo poderoso testo La strada che porta alla realtà (che sono riuscito a farmi firmare subito dopo la sua firma al guestbook dell'Osservatorio!). A parte l'inizio. Le prime immagini, infatti, erano alcuni studi leonardeschi, anche anatomici, e a un certo punto ecco spuntare fuori l'elicottero di Leonardo, che il fisico matematico ha subito accostato a quella che potremmo definire l'elica di Riemann. Tecnicamente è la superficie riemanniana della funzione $\log z$, con $z$ numero complesso. La figura viene così spiegata da Riemann all'inizio dell'ottavo capitolo del libro su citato:

Esiste un modo di comprendere quello che avviene con questa continuazione analitica della funzione logaritmica - o di qualsiasi altra funzione a molti valori - in termini delle cosiddette superfici di Riemann. L'idea di Riemann fu di pensare che simili funzioni fossero definite in un dominio che non è semplicemente un sottoinsieme del piano complesso, ma una regione a molti fogli. Nel caso di $\log z$, possiamo raffigurarla come una specie di scala a chiocciola appiattita ortogonalmente al piano complesso. Ho tentato di mostrare ciò nella fig[ura]. La funzione logaritmica è a un solo valore su questa versione a molti fogli del piano complesso perché, ogni volta che giriamo attorno all'origine e al logaritmo deve essere aggiunto $2\pi i$, ci troviamo su un altro foglio del dominio. Adesso non vi è più conflitto tra i diversi valori del logaritmo, perché il suo dominio è questo spazio più esteso - un esempio di superficie di Riemann - che è sottilmente diverso dal piano complesso.

Probabilmente nelle prossime settimane continuerò a scrivere altri articoletti sulle immagini proposte da Penrose nel suo intervento alla Braidense (o forse scriverò un unico articolo che ne raccoglie un po'). Per ora mi sembra sufficiente, visto che ho ancora addosso l'emozione di essere stato accanto a una personalità come quella del quasi novantenne Penrose.