Un esempio di spazio proiettivo

Sarà perché sto cercando, proprio in questo momento (giusto poco prima di andare al cinema...), tra le tante cose, degli esempi per semplificare una serie di definizioni tipiche della teoria dei gruppi, che sfogliando la copia digitale de La strada che porta alla realtà di Roger Penrose (la mia copia fisica è sulla scrivania in ufficio) ho trovato particolarmente interessante e forse anche utile per ispirarmi su come chiarire un paio di concetti l'immagine che trovate qui sotto:

Questo è probabilmente l'esempio più semplice di cosa sia uno spazio proiettivo, e in questo caso lo spazio proiettivo è il quadro che il pittore sta dipingendo, mentre lo spazio che viene proiettato è il panorama che sta osservando. In termini matematici il pittore sta eseguendo una proiezionie dei punti dello spazio tridimensionale su uno spazio bidimensionale. Ma vista con la vignetta qui sopra è indubbiamente tutta un'altra cosa!

La geometria iperbolica dei pesci di Escher

Come promesso, un po' alla volta, cercherò di raccontarvi qualcosa sulle immagini che Roger Penrose ha proposto all'uditorio che si è presentato presso la Biblioteca Braidense ad ascoltare la sua lezione leonardesca. In questa occasione mi piace occuparmi di Cerchio limite I di Maurits Escher, incisore olandese di cui Penrose si è occupato in svariate occasioni.

In particolare Penrose fa notare nel poderoso La strada che porta alla realtà, da cui ha tratto praticamente tutte le immagini che ha presentato nella sua conferenza, che l'illustrazione di Escher altri non è che una rappresentazione euclidea della geometria iperbolica.

Dall'elicottero di Leonardo all'elica di Riemann

via commons

Oggi c'è stata un'edizione speciale delle Lezioni leonardesche di Milano tenutasi presso la Biblioteca Nazionale Braidense. La chiusura della giornata è stata affidata a Roger Penrose che ha proposto un intervento dal titolo On the Power of Geometric Illustration in Mathematics and Science. Di fatto ha proposto una serie di immagini matematiche e fisiche, commentandole di volta in volta, praticamente tutte tratte dal suo poderoso testo La strada che porta alla realtà (che sono riuscito a farmi firmare subito dopo la sua firma al guestbook dell'Osservatorio!). A parte l'inizio. Le prime immagini, infatti, erano alcuni studi leonardeschi, anche anatomici, e a un certo punto ecco spuntare fuori l'elicottero di Leonardo, che il fisico matematico ha subito accostato a quella che potremmo definire l'elica di Riemann. Tecnicamente è la superficie riemanniana della funzione $\log z$, con $z$ numero complesso. La figura viene così spiegata da Riemann all'inizio dell'ottavo capitolo del libro su citato:

Disegnare un buco nero

Rispetto alla rappresentazione dell'intero universo cui ho dedicato diversi articoletti, rappresentare un buco nero è indubbiamente molto più semplice, avendo però sempre l'accortezza di ricordare che la forma del buco nero non è visualizzabile visto che non sappiamo praticamente nulla di questo particolare oggetto cosmico.
Dal punto di vista grafico si tende, infatti, a disegnare letteralmente un buco nel tessuto dello spazio tempo il cui bordo inferiore è nero e irraggiungibile: un modo pittorico per far comprendere come tutto cada al suo interno e nulla ne riesca a sfuggire. In effetti tale visione, se corretta, andrebbe replicata praticamente per ogni punto di una sfera arrivando così alla conclusione che un buco nero è una regione sferica di cui non conosciamo assolutamente nulla. Eppure esiste un modo più tecnico di rappresentare il buco nero ed è dovuto all'uomo che in pratica ha introdotto la topologia all'interno della fisica in generale e della relatività generale in particolare: Roger Penrose.

hocus: giocare con le figure impossibili

Su Android ho scoperto un bel gioco dall'alto tasso matematico: hocus. Sviluppato dalla gamebra.in, è possibile installarlo sia su iPhone sia su Wondows sia su Mac grazie alla piattaforma Steam.
L'obiettivo, come nello screenshot che accompagna questo articoletto, è spostare un cubetto colorato di rosso nella buca cubica a esso destinata. Il cubetto, però, si muove su una forma geometrica tridimensionale abbastanza strana: una tipica figura impossibile come il famoso triangolo di Penrose. Il gioco vi da una mano su quali sono le possibili direzioni che il cubetto può prendere in funzione dalla posizione lungo la superficie della figura, ma è fuor di dubbio che alcune volte i movimenti del cubetto risultano contro-intuitivi. In effetti il principale divertimento nell'applicazione è cercare di capire cosa farà il cubetto nei vari nodi. Questo si incrocia con la sfida del portare il cubetto a destinazione, questo perché al complicarsi della figura diventa sempre meno ovvio quale sia il nodo migliore per giungere alla meta.
Un bel passatempo, non scontato ma neanche troppo complicato, che però, se ci si presta attenzione, permette di avere familiarità con un concetto matematico non così ovvio e quotidiano che al massimo potremmo aver visto in qualche incisione di Maurits Cornelis Escher.

Buchi neri da un altro universo

Alcune delle domande che mi sono state poste nella parte finale del laboratorio sulle onde gravitazionali durante la Notte dei Ricercatori 2018 erano legate all'origine dell'universo, in particolare alla possibilità che ci siano universi precedenti a quello attuale. In effetti, considerando che un eventuale big crunch potrebbe distruggere completamente qualunque informazione sull'universo morente, non avremmo alcuna possibilità di recuperare informazioni sull'universo prima del big bang. D'altra parte un paio di mesi fa Roger Penrose insieme con Daniel An e Krzysztof Meissner ha proposto un preprint in cui prova a spiegare alcune anomalie presenti nella radiazione cosmica di fondo con i così detti punti di Hawking, che sarebbero legati all'evaporazione di un buco nero proveniente da un universo precedente al nostro.
D'altra parte giusto qualche anno fa Razieh Pourhasan, Niayesh Afshordi e Robert Mann avanzarono una nuova proposta legata all'origine olografica del big bang. In sintesi i tre suggerirono che il nostro universo sia in realtà l'orizzonte degli eventi tridimensionale di un buco nero quadridimensionale e dunque il big bang è stato originato dal collasso gravitazionale di una stella quadridimensionale.

La coomologia delle figure impossibili

L'omotopia è un'applicazione matematica che permette di deformare due curve una nell'altra. Analoga all'omotopia è l'omologia, che è un insieme (tecnicamente successione) di gruppi abeliani associati a un dato spazio topologico. Essa è utilizzata per distinguere topologicamente gli oggetti in base ai loro "buchi" e al fatto che questi possano essere "tappati" o meno. Per contare (o misurare) questi buchi si utilizza un'invariante topologica detta coomologia. La famose figure impossibili, quelle rese famose prima da Escher e quindi da Roger Penrose, che le ha diffusamente studiate dal punto di vista matematico, presentano alcuni aspetti coomologici, ancora una volta enfatizzati proprio da Penrose.
Iniziamo con il triangolo di Penrose (detto anche tribar, essendo costituito da tre barrette). Questo può essere disegnato su un foglio di carta completamente bianco o all'interno di due regioni anulari, come mostrato nelle figure qui sotto.

Il triangolo impossibile

(via visualizingmath)

Il triangolo di Penrose è stato diffuso per la prima volta nel 1958 dallo psicologo Lionel Penrose e dal figlio Roger, matematico, in un articolo che, almeno per quel che riguarda il materiale iconografico, è entrato nell'immaginario collettivo. In effetti il triangolo venne scoperto nel 1934 dall'artista svedese Oscar Reutersvärd. C'è da dire che, nonostante l'articolo abbia raggiunto comunque una certa fama, sia al momento impossibile leggerlo, a meno di non dargli una sbirciatina di traverso.