pi day -2 - Il teorema del sandwich al prosciutto

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In effetti è noto in italiano come teorema del panino al prosciutto, ma generalmente in Italia per panino intendiamo qualcosa di ancora più sformato del tipico sandwich all'inglese (una tartaruga, per esempio), anche se pure in questa conformazione il teorema garantisce un risultato.
Esso, infatti, afferma che, quale che sia la disposizione dei tre oggetti che costituiscono il panino, esisterà sempre un modo di tagliarlo che permette di dividerli tutti e tre contemporaneamente esattamente a metà.

Disegnare un buco nero

Rispetto alla rappresentazione dell'intero universo cui ho dedicato diversi articoletti, rappresentare un buco nero è indubbiamente molto più semplice, avendo però sempre l'accortezza di ricordare che la forma del buco nero non è visualizzabile visto che non sappiamo praticamente nulla di questo particolare oggetto cosmico.
Dal punto di vista grafico si tende, infatti, a disegnare letteralmente un buco nel tessuto dello spazio tempo il cui bordo inferiore è nero e irraggiungibile: un modo pittorico per far comprendere come tutto cada al suo interno e nulla ne riesca a sfuggire. In effetti tale visione, se corretta, andrebbe replicata praticamente per ogni punto di una sfera arrivando così alla conclusione che un buco nero è una regione sferica di cui non conosciamo assolutamente nulla. Eppure esiste un modo più tecnico di rappresentare il buco nero ed è dovuto all'uomo che in pratica ha introdotto la topologia all'interno della fisica in generale e della relatività generale in particolare: Roger Penrose.

Topologia cosmica

Non ho ancora finito con l'universo e la sua visione dal punto di vista matematico. In particolare oggi vorrei occuparmi (e con questo dovrei chiudere la serie degli articoli sul tema) della topologia cosmica, ovvero quella branca della cosmologia che si innesta alla topologia per studiare la forma dell'universo. Il problema principale, come ho avuto modo di scrivere in altre occasioni, è riuscire a determinare le proprietà globali dell'universo a partire da quelle locali, avendo però come idea di partenza che l'universo visibile sia una porzione di tutto il cosmo e dunque che le proprietà del primo siano da considerarsi locali rispetto a quelle del secondo. Ovviamente la storia è anche complicata dal fatto che le teorie che suggeriscono delle modifiche alla gravitazione non sono ancora definitivamente defunte, come raccontano molto bene Sabine Hossenfelder e Stacy McGaugh su Scientific American in un articolo pubblicato anche in italiano su Le Scienze di dicembre 2018⁽³⁾.

Vivere in un dodecaedro

Una omologia è una particolare funzione matematica che permette di associare una serie di oggetti algebrici, come un gruppo abeliano, ad altri oggetti matematici, come ad esempio uno spazio topologico. Allora una sfera omologa è uno spazio a $n$ dimensioni il cui gruppo di omologia è quello della sfera. Un esempio di questo particolare oggetto matematico è la sfera omologa di Poincaré, nota anche come spazio dodecaedrico di Poincaré, che, come suggerisce il nome, può essere costruito a partire da un dodecaedro (un poliedro con 12 facce).

Lo spazio dodecaedrico - via The manifold atlas project

Nel 2003 un team guidato da Jean-Pierre Luminet dell'Osservatorio di Parigi, partendo dalle osservazioni di WMAP, il satellite che ha studiato la radiazione cosmica di fondo prima di Planck, ha suggerito che la forma dell'universo fosse quella di una sfera di Poincaré⁽¹⁾. Uno studio successivo, i cui risultati vennero pubblicati nel 2008, basato su tre anni di dati sempre di WMAP fornì ulteriori conferme al modello secondo il quale viviamo in uno spazio dodecaedrico di Poincaré⁽²⁾. L'idea, però, viene fortemente indebolita, se non abbandonata del tutto, nel 2016 quando dall'analisi dei dati raccolti da Planck si conclude che la topologia dell'universo non può essere quella di uno spazio compatto⁽³⁾, come la sfera omologa di Poincaré o un piano proiettivo più in generale. Ovviamente ciò non vuol dire che viviamo su un piano infinito, ma che la storia potrebbe essere leggermente differente da quello che pensiamo, un po' come per i saggi bendati che cercano di capire la forma di un elefante.

Un paio di poco obiettive informazioni sulla supersimmetria

Stavo cercando di mettere a posto gli appunti su Edward Witten (che spero presto di sistemare, ovviamente), che è passato giusto ieri pomeriggio dal Dipartimento di Matematica "F. Enriques" a Milano per una delle Lezioni leonardesche qui organizzate ogni anno. Witten è un fisico teorico, l'unico fino a ora, tra tanti matematici, ad aver vinto la Medaglia Fields, per una serie di lavori teorici sicuramente centrati sulla fisica ma dal rigore matematico estremamente incredibile. Ad esempio il lavoro sui polinomi di Jones e la matematica dei nodi e il loro legame con la teoria dei campi, dove Witten mostra come, utilizzando la teoria dei gruppi e la teoria delle rappresentazioni proiettive, sia possibile studiare una particolare lagrangiana (ovvero una particolare funzione fisica che permette di estrarre le equazioni necessarie per descrivere il moto di un sistema) in un dato spaziotempo attraverso uno spaziotempo differente⁽⁵⁾.
Questo lavoro è in qualche modo legato con un articolo probabilmente ancora più interessante dove Witten, in pratica, fonda una teoria dei campi topologica⁽⁴⁾, che possiamo considerare basilare per la teoria delle stringhe. L'articolo è sicuramente interessante, occupandosi di porre le basi per una sorta di gravità quantistica che, soprattutto, risulti indipendente dalla costante cosmologica (uno dei crucci più grandi di Einstein), ma a un certo punto spunta una parola che attira la mia curiosità: supersimmetria.

Passeggiando sopra un toro

Vincent Borrelli, Said Jabrane, Francis Lazarus e Boris Thibert sono riusciti per la prima volta a realizzare l'immagine di un toro piatto in tre dimensioni. Ovviamente il lettore, spaesato, si chiederà Cosa è un toro piatto? Da un punto di vista strettamente matematico il toro piatto (in originale flat torus) è un toro che non presenta alcuna curvatura (gaussiana) sulla sua superficie. Da un punto di vista grafico un toro piatto è sostanzialmente una superficie chiusa al cui interno attraversando il lato ad esempio destro (ma anche andando verso l'alto) ti ritrovi ad uscire dal lato sinistro (o dal basso) del foglio, un po' come PacMan nel suo labirinto:

Se invece andiamo nelle tre dimensioni potremmo provare a costruire questa strana entità piegando un foglio di carta in forma cilindrica, ma non riusciremmo a incastrarlo in un toro senza l'allungamento della carta stessa. Costruire dunque un toro piatto in 3 dimensioni non è cosa banale, nonostante si possa, usando semplicemente le formule, definire un oggetto geometrico di questo tipo semplicemente con due parametri reali $u$, $v$ tali che $u, v \in ]0, 2 \pi]$⁽¹⁾: \[(u, v) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( \cos (u+v), \sin (u+v), \cos (u-v), \sin (u-v) \right )\] la cui miglior visualizzazione prima del lavoro di Borelli-Jabrane-Lazarus-Thibert è quella che segue:

La sfida ai tori piatti fu affrontata da Nash e Kuiper negli anni Cinquanta del XX secolo:

Nash e Kuiper dimostrarono l'esistenza di una rappresentazione che non perturba le lunghezze nel toro piatto quadrato [il toro di PacMan!]. Per molto tempo, questa esistenza rimase una sfida all'immaginazione dei matematici. Ma dimostrare e mostrare sono due concetti a volte chiaramente distinti in matematica. Ciò è ben spiegato dall'allegoria del ladro: assumiamo che un gruppo di persone si raccolga intorno ad un gioiello in una stanza chiusa. Supponiamo poi che in un dato momento la luce venga e che il gioiello scompaia alla riaccensione della luce. Allora abbiamo dimostrato che un ladro si nasconde tra gli astanti, ma non possiamo mostrarlo. Sebbene le dimostrazioni di Nash e Kuiper siano un po' più che "esistenziali", non forniscono una procedura sufficientemente esplicita per consentire la visualizzazione (o semplicemente per una descrizione mentale) del toro piatto quadrato.⁽²⁾

Trai Settanta e gli Ottanta (sempre del XX secolo!), il Premio Abel Gromov estrasse un metodo dal lavoro di Nash e Kuiper, proponendo la così detta integrazione convessa (convex integration), uno strumento molto utile che

(...) non solo produce l'esistenza di una soluzione, ma fornisce anche una costruzione efficace.⁽²⁾

Il signor mercato

Dal punto di vista economico il 2011 è stato l'ennesimo anno terribile dopo una prima decade di III millennio obiettivamente difficile. La situazione è stata particolarmente difficile soprattutto perché la crisi economica che aveva colpito nel 2008 le banche statunitensi è arrivata anche alle banche europee, e questo ha prodotto qualche problema ai debiti statali o governativi, in particolare quelli di paesi particolarmente deboli da quel punto di vista, come ad esempio la Grecia, la Spagna o l'Italia. In particolare questi ultimi due paesi sono stati sotto gli occhi degli osservatori soprattutto per il loro legame con Francia e Germania: insieme questi 4 paesi possono essere considerati come i motori dell'Europa, sia nel bene (a quanto pare i primi due) sia nel male (soprattutto gli altri due).
Riguardo la crisi, però, la BBC ha pubblicato on-line una interessante infografica con un po' di grafici, e il primo, legato al costo del prestito, sembra proprio confermare la direzione di una Europa spaccata tra Germania e Francia da un lato e Italia e Spagna dall'altro:

Se però andiamo ad esaminare il dettaglio sulla crescita del debito nei quattro paesi, ci rendiamo conto non solo che le distanze tra queste due Europe non sono poi così grandi, ma che, nonostante le grandissime responsabilità della seconda repubblica, ad essere cresciuto in tutti e quattro i paesi è soprattutto il debito privato:

In questo senso le responsabilità della Francia crescono e non di poco, tanto che nel complesso potrebbe tranquillamente essere considerata la seconda fonte della crisi europea.
Inoltre il fatto che dei quattro è in Germania che il debito governativo è cresciuto più di tutti sembrerebbe suggerire che il problema, a differenza di quanto non si possa sostenere come libertari, non sia originato per nulla dai governi e dagli stati, ma dal settore privato. La Germania, però, ha due forti differenze rispetto agli altri tre paesi che la avvicinano soprattutto alle democrazie nord-europee: innanzitutto un peso dei politici sulla vita dei cittadini inferiore rispetto agli altri tre paesi, e questo alleggerisce sicuramente gli effetti della democrazia (e di qualunque altra forma di governo, per estensione) sulla vita quotidiana, e poi un minore costo del lavoro:

E questo, in effetti, ci riporta alle responsabilità dei governi, perché sono proprio questi che decidono il peso del costo del lavoro sul reddito nazionale. Potrei provare a immaginare cosa sarebbe la Germania se il costo del lavoro non solo fosse ulteriormente inferiore, ma addirittura assente, però non è il caso, soprattutto se abbiamo di fronte un esempio evidente a tutti: gli operatori finanziari. Ognuno di loro, ognuno dei componenti, soprattutto quelli piccoli, del così detto signor mercato, hanno un costo del lavoro decisamente molto più basso e in questi anni sono riusciti a prosperare nonostante la crisi. Il problema è che al tempo stesso ne sono anche la causa, non solo scatenante, ma anche del suo apparentemente incontrollabile aggravarsi.
Ad essere veramente pignoli, però, il vero problema di questa crisi potrebbe essere non tanto la dinamica interna della rete economica, ma la sua struttura:

Gli orrori matematici di Howard Philips Lovecraft

A volte succede di imbattersi in cose curiose, strane e interessanti come questo film di fantascienza 4D Man.
Sulla Wiki così inizia la descrizione della trama (la lascio non tradotta, perché tratta da quella in inglese)

Brilliant but irresponsible scientist Tony Nelson (James Congdon) develops an amplifier that allows any object to achieve a 4th dimensional (4D) state. While in this state that object can pass freely through any other object.

Leggendo queste parole ho immediatamente pensato a Howard Philips Lovecraft e ai suoi Miti di Cthulhu, in particulare to I sogni nella casa stregata. In questo breve racconto il protagonista, Walter Gilman, uno studente di matematica, vive nella casa di Keziah Mason, una delle streghe di Salem. Nel corso della storia, comunque, ci sono alcuni interessanti passaggi, almeno dal punto di vista matematico:

Ella [la strega] disse al Giudice Hathorne di linee e curve che potevano essere fatte per muoversi attraverso le mura dello spazio verso un altro spazio esterno (...)

Possiamo dedurre già da qui l'uso di Lovecraft per i suoi propositi della geometria euclidea; a ulteriore dimostrazione ecco un nuovo passaggio dal racconto:

[Gilman[ voleva trovarsi nell'edifico dove alcune circostanze avevano più o meno improvvisamente dato a una mediocre vecchia del XVII Secolo una intuizione nei meandri della matematica forse oltre i massimi approfondimenti moderni di Planck, Heisenberg, Einstein e de Sitter.

o anche questo ulteriore passaggio, dove HPL sembra riferirsi all'ipotesi di Riemann:

Stava ottenendo una abilità intuitiva per la risoluzione delle equazioni di Rieman, e stupì il Professor Upham con la sua comprensione dei problemi quadri-dimensionali e di altro genere (...)

In effetti Gilman stava studiando

calcolo non-euclideo e fisica quantistica

Illustrazione di Greg Nemec

E Walter, sognando, riesce a sperimentare gli spazi multi dimensionali degli abissi semza limiti:

abissi le cui proprietà materiali e gravitazionali, e la cui relazione con la propria entità, non potevano ancora essere spiegate. Non camminava o si arrampicava, volava o nuotava, strisciava o si contorceva; tuttavia sperimentava sempre un modo di muoversi parzialmente volontario e parzialmente involontario. Della sua propria condizione egli non poteva ben giudicare, poiché dalla vista dei suoi arti, gambe, torso sembrava sempre tagliato fuori da una qualche bizzarra ricomposizione della prospettiva; (...)

Durante il suo viaggio nella quarta dimensione, Gilman ha anche visto

prismi, labirinti, aggregati di cubi e di piani, ed edifici ciclopici

che sono caratteristici della letteratura lovecraftiana.
Un altro riferimento non-euclideo si trova ne Il richiamo di Cthulhu⁽¹⁾:

Egli disse che la geometria del sogno era abnorme, non-euclidea, e disgustosamente evocativa di sfere e dimensioni lontane dalle nostre.

E lo stesso Cthulhu è una creatura quadridimensionale. Cthulhu era infatti uno dei Grandi Antichi: queste creature

(...) non erano del tutto composte di carne e sangue. Avevano una forma (,,,) ma quella forma non era fatta di materia.

Potremmo allora immaginare Cthulhu nel nostro mondo come la proiezione di un dodecaplex in uno spazio tridimensionale, ad esempio: