pi day -2 - Il teorema del sandwich al prosciutto

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In effetti è noto in italiano come teorema del panino al prosciutto, ma generalmente in Italia per panino intendiamo qualcosa di ancora più sformato del tipico sandwich all'inglese (una tartaruga, per esempio), anche se pure in questa conformazione il teorema garantisce un risultato.
Esso, infatti, afferma che, quale che sia la disposizione dei tre oggetti che costituiscono il panino, esisterà sempre un modo di tagliarlo che permette di dividerli tutti e tre contemporaneamente esattamente a metà.
Secondo alcune ricostruzioni storiche, la sua prima formulazione risalirebbe al 1938 quando comparve come nota sulle pagine della rivista polacca Mathesis Polska. In effetti il teorema si chiedeva come dividere in due un gruppo di tre solidi utilizzando un unico piano. A chiamarlo teorema del sandwich al prosciutto ci pensarono Arthur Stone e John Tukey nel 1942 (da cui il nome più "formale" di teorema di Stone-Tukey). La proposta del nome probabilmente deriva dall'enunciato informale che si trova nella nota del 1938:

Possiamo mettere un pezzo di prosciutto sotto un tagliacarne in modo che la carne, l'osso e il grasso vengano tagliati a metà?

Tale nota viene generalmente attribuita a Hugo Steinhaus, mentre la sua prima dimostrazione sarebbe stata realizzata da Stefan Banach (quello del teorema della moltiplicazione delle arance, o meglio il teorema di Banach-Tarski!), utilizzando un altro teorema topologico, quello di Borsuk–Ulam.
L'articolo di Stone e Tukey, comunque, generalizzò il teorema dal caso \(n = 3\) a \(n\) qualsiasi. E anche in questo caso è possibile trovare una soluzione: le magie della topologia!

Stone, Arthur H.; Tukey, John W. (1942), "Generalized "sandwich" theorems", Duke Mathematical Journal, 9 (2): 356–359, doi:10.1215/S0012-7094-42-00925-6