Numeri ottagonali centrati e quadrati dispari

Oltre ai numeri triangolari esistono anche altri tipi di numeri "geometrici", ognuno con una loro formula di definizione. Per esempio per i numeri ottagonali abbiamo la formula qui sotto: \[n = \frac{\sqrt{3 x_n +1}+1}{3}\] che possiamo utilizzare sia inserendo \(x_n\) nella formula per ricavare il posto che il numero ottagonale ha nella serie dei numeri ottagonali, ma anche per ricavare l'n-esimo numero invertendola.
La formula, in effetti non è esattamente agevole, a differenza di quella dei numeri ottagonali centrati: \[O_n = \left (2n-1 \right )^2\] Anche i numeri ottagonali centrati possono essere rappresentati come un ottagono, ma a differenza di quelli "semplicemente" ottagonali, si parte da un pallino al centro e poi si costruiscono una serie di ottagoni concentrici intorno a questo pallino iniziale. C'è, però, un teorema piuttosto particolare, che è in parte intuibile dalla formula di cui sopra, ovvero che ogni numero ottagonale centrato può essere rappresentato con quadrati di lato dispari.
Qui sotto una dimostrazione grafica tratta da commons: