22/7: Un po' più del pi greco

Secondo Stephen Lucas, una delle più belle approssimazioni legate al pi greco è il seguente integrale: \[\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1+x^2} \text{d}x = \frac{22}{7} - \pi\] In effetti l'approssimazione di pi greco con la frazione \(22/7\) era nota sin dall'antichità.
Secondo Lucas la dimostrazione venne pubblicata per la prima volta nel 1971 su Eureka: the Archimedian's Journal, firmata da tale DP Dalzell. Lucas, però, ricorda anche che, secondo alcuni indizi, tale dimostrazione fosse nota già alla metà degli anni Sessanta da parte di Kurt Mahler. Come ricorda la stessa voce wiki, però, Dalzell aveva pubblicato una prima dimostrazione di questo fatto già nel 1944 sul Journal of the London Mathematical Society, e in effetti è una dimostrazione non troppo difficile da seguire.

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Immagine in apertura generata con Night Cafe