Breve storia del pi greco: Edizione randomica

Bentrovati alla puntata del 2026 della Breve storia del pi greco, una serie di articoli che "ristampano" i box delle notizie pi greche che dal 2013 provano a raccontare all'interno dei Carnevali della matematica del pi day storia e curiosità del numero più famoso del mondo. Nelle prime puntate di questa breve storia utilizzavo gli ordinali per classificarle, ma dal 2020 ho modificato tale prassi con un titolo che sintetizza il tema principale delle notizie. E quest'anno è un tema... casuale!
Infine vi rimando alla pagina con i link a tutta la serie completa della Breve storia del pi greco.

Supponiamo di avere un pavimento di listelle di legno parallele, ognuna della stessa larghezza, e di lasciar cadere un ago sul pavimento. Qual è la probabilità che l'ago si trovi a cavallo di una linea che unisce due listelle?

Questo è il famoso problema dell'ago di Buffon proposto per la prima volta nel XVIII secolo dal naturalista e matematico francese Georges-Louis Leclerc, Conte di Buffon. La soluzione, nel caso in cui la lunghezza \(l\) dell'ago non sia maggiore della larghezza \(t\) delle listelle, è data da \[p = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{l}{t}\] Nella formula, dunque, compare il pi greco, numero ubiquo, per riprendere il titolo di un articolo in due parti di Dario Castellanos uscito nel 1988 sul Mathematics Magazine. La sua funzione è facilmente spiegabile considerando che la funzione di distribuzione di probabilità per l'orientamento dell'ago è, come intuibile, simmetrica rispetto alla rotazione.
Invertendo la forumla precedente, l'ago di Buffon può, quindi, essere utilizzato per determinare una approssimazione di \(\pi\). Il problema, in questo caso, è trovare un modo per stimare la probabilità \(p\). Si può procedere in questo modo: facciamo cadere \(n\) aghi; \(h\) di questi attraversano le linee. Quindi la probabilità sarà data dal rapporto tra questi due numeri. Pertanto il pi greco sarà approssimato da: \[\pi \approx \frac{2ln}{th}\] In effetti nel 1901 il matematico italiano Mario Lazzarini riuscì a realizzare l'esperimento lanciando un ago per ben 3408 volte. Alla fine ottene una delle approssimazioni più note del pi greco, \(\frac{355}{113}\). Il problema, semplificando la faccenda, era che il modo in cui Lazzaroni impostò l'esperimento era tale da avere questo come risultato più probabile.
Nel 2024 Mieczysław Szyszkowicz ha proposto una versione semplificata dell'esperimento in cui si prevede la selezione di punti casuali su un cerchio per simulare la rotazione dell'ago, che rende l'esperimento "indipendente" dalla conoscenza o meno del valore del pi greco.

Il metodo per determinare le cifre del pi greco utilizzando l'ago di Buffon è sostanzialmente analogo a un metodo Montecarlo. All'interno di questa tipologia ricade l'esperimento presente dentro la app phiphox (ho pubblicato un video in proposito), in cui si utilizzano dei punti presi a caso all'interno dell'area racchiusa da una circonferenza.
Un altro sistema, invece, prende in considerazione i random walk, i cammini casuali. Un cammino casuale è costituito da un insieme di "passi" \(X_k\) tutti compresi tra -1 e 1. Il cammino associato sarà quindi dato dalla seguente sommatoria: \[W_n = \sum_{k=1}^n X_k\] Al variare di \(n\), \(W_n\) definisce un processo stocastico e quindi è possibile calcolare pi greco in questo modo: \[\pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{E \left [ \left | W_n \right | \right ]^2}\] I metodi Montecarlo, però, risultano piuttosto lenti e poco accurati, quindi non vengono utilizzati per il calcolo effettivo delle cifre decimali di \(\pi\), ma per scopi artistici o didattici.

Pi greco è un numero irrazionale, poiché non può essere scritto come rapporto do nessuna coppia di numeri interi, e trascendentale. Le dimostrazioni di questi due fatti sono note da tempo. C'è, però, un'altra caratteristica del \(\pi\) che non è ancora stata dimostrata, anche se i matematici ritengono che sia vera: la sua normalità.
Un numero con una quantità infinita di cifre decimali è detto normale quando tutte le possibili sequenze di cifre (di qualsiasi lunghezza data) compaiono con la stessa frequenza.
Nel 2001 David Bailey (quello della formula BBP) e Richard Crandall hanno suggerito che la normalità di alcune costanti matematiche è una conseguenza di una plausibile congettura nel campo della dinamica caotica, secondo la quale sequenze di un particolare tipo, come afferma Bailey, danzano uniformemente nel limite tra 0 e 1. I due matematici hanno chiamato tale congettura Ipotesi A. Se questa ipotesi venisse dimostrata, seguirebbe immediatamente la normalità in base 2 di costanti come \(\pi\) e \(\log 2\). Il problema è che anche questa ipotesi sembra sostanzialmente impossibile da dimostrare.

Io stesso una volta imparai 380 cifre del \(\pi\), quando ero un ragazzino pazzo delle superiori. La mia mai realizzata ambizione era raggiungere il punto delle 762 cifre dell'espasione decimale dove si dice "999999", così da poterlo revitare ad alta voce, arrivare a quei sei 9, e dire maliziosamente "e così via!"

E' quanto scrive Douglas Hofstadter nel libro Metamagical Themas, e si riferisce a una sequenza effettivamente presente all'interno dello sviluppo decimale del \(\pi\). La cosa interessante è che una sequenza di tal genere ha una probabilità dello 0.08% di verificarsi così presto all'interno dello sviluppo. E se 762 non vi sembra così presto, ricordate che a oggi si conoscono \(3.14 \times 10^{14}\) cifre decimali del pi greco. Che peraltro ha un numero infinito di cifre decimali.
Sequenze di questo genere se ne trovano altre: la successiva, infatti, sempre costituita da sei 9, inizia in posto 193034. Poco più avanti (si fa per dire!), in posto 222299, arriva invece una sequenza di sei 8.
La prima di queste sequenze, però, è anche nota come punto di Feynman, in onore del fisico Richard Feynman. Secondo la leggenda, in una sua lezione Feynman avrebbe espresso un'idea simile a quella di Hofstadter, ma non ci sono fonti di ciò, non essendo menzionata nelle memorie di Feynman, e risultando sconosciuta anche al suo biografo, James Gleick.

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L'illustrazione iniziale è stata generata da Copilot a partire da un mio disegno. Le vignette sono state generate da Gemini a partire da prompt in italiano.