Paralipomeni di Alice: Un via vai di omnibus

Il secondo rompicapo del nodo 8 di A tangled tale di Lewis Carroll raccontava di un omnibus che dalla città va verso la spiaggia. I nostri viaggiatori vengono raggiunti dall'omnibus proveniente dalla spiagga 12 minuti e mezzo dopo essere partiti dalla fermata in città. A quel tumpo la richiesta era quella di determinare dopo quanto tempo sarebbero stati raggiunti dal prossimo omnibus.
Per rispondere innanzitutto dobbiamo avere in mente che questo omnibus è quello che sarebbe partito dalla città 2 minuti e mezzo dopo quel primo incontro, quindi approssimativamente possiamo considerare il tempo di fermata nullo.
Per questo Paralipomeno non voglio, però, proporvi la soluzione di Carroll, ma una soluzione un po' più matematica (nel senso: con più formule!).
Quando omnibus e pedoni si incontrano, sono passati 12.5 minuti e si trovano in un dato punto \(y\) del tragitto, che diciamo sia lungo in totale \(a\). In quel momento, in particolare, all'omnibus servono altri 2.5 minuti per giungere alla fermata in città. Sapendo che le velocità dei pedoni e dell'omnibus si possono scrivere rispettivamente con le seguenti formule \[v_p = \frac{y}{t}\] \[v_o = \frac{a-y}{t}\] possiamo determinare il rapporto tra le due velocità come segue: \[\frac{v_o}{v_p} = \frac{a-y}{y}\] Sappiamo, però, che il tratto \(y\) verrà percorso dall'omnibus in un tempo \(t' = 15 - 12.5 = 2.5\), per cui il rapporto precedente può essere valutato calcolando il rapporto tra i tempi impiegati dall'omnibus per percorrere i due tratti: \[\frac{v_o}{v_p} = \frac{t}{t'} = \frac{12.5}{2.5} = 5\] ovvero la velocità dell'omnibus è 5 volte quella dei pedoni.
Il secondo incontro, quello che ci interessa, avverrà, invece, in un punto \(x\) dopo un dato tempo \(t_2\). In questo tempo, mentre i pedoni hanno percorso uno spazio \(x\), l'omnibus ha percorso uno spazio \(a+x\) e dunque \[v_o = \frac{a+x}{t_2} = 5 v_p = 5 \frac{x}{t_2}\] da cui è facile ricavare \[x = \frac{a}{4}\] I pedoni per raggiungere il punto \(x\) hanno impiegato un tempo \[t_2 = \frac{a}{4} \cdot \frac{1}{v_p}\] La loro velocità, però, è un quinto di quella dell'omnibus, pertanto \[t_2 = \frac{a}{4} \cdot \frac{5}{v_o}\] D'altra parte l'omnibus impiega 15 minuti per percorrere il tratto \(a\) e quindi il tempo per raggiungere il punto \(x\) sarà \[t_2 = 15 \cdot \frac{5}{4} = 18.75\] A questo tempo dobbiamo sottrarre i 12 minuti e mezzo iniziali, ottenendo 6.25, che è la risposta al rompicapo.

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Illustrazione generata con Copilot e pubblicata su NughtCafe