Gli orrori matematici di Howard Philips Lovecraft

A volte succede di imbattersi in cose curiose, strane e interessanti come questo film di fantascienza 4D Man.
Sulla Wiki così inizia la descrizione della trama (la lascio non tradotta, perché tratta da quella in inglese)

Brilliant but irresponsible scientist Tony Nelson (James Congdon) develops an amplifier that allows any object to achieve a 4th dimensional (4D) state. While in this state that object can pass freely through any other object.

Leggendo queste parole ho immediatamente pensato a Howard Philips Lovecraft e ai suoi Miti di Cthulhu, in particulare to I sogni nella casa stregata. In questo breve racconto il protagonista, Walter Gilman, uno studente di matematica, vive nella casa di Keziah Mason, una delle streghe di Salem. Nel corso della storia, comunque, ci sono alcuni interessanti passaggi, almeno dal punto di vista matematico:

Ella [la strega] disse al Giudice Hathorne di linee e curve che potevano essere fatte per muoversi attraverso le mura dello spazio verso un altro spazio esterno (...)

Possiamo dedurre già da qui l'uso di Lovecraft per i suoi propositi della geometria euclidea; a ulteriore dimostrazione ecco un nuovo passaggio dal racconto:

[Gilman[ voleva trovarsi nell'edifico dove alcune circostanze avevano più o meno improvvisamente dato a una mediocre vecchia del XVII Secolo una intuizione nei meandri della matematica forse oltre i massimi approfondimenti moderni di Planck, Heisenberg, Einstein e de Sitter.

o anche questo ulteriore passaggio, dove HPL sembra riferirsi all'ipotesi di Riemann:

Stava ottenendo una abilità intuitiva per la risoluzione delle equazioni di Rieman, e stupì il Professor Upham con la sua comprensione dei problemi quadri-dimensionali e di altro genere (...)

In effetti Gilman stava studiando

calcolo non-euclideo e fisica quantistica

Illustrazione di Greg Nemec

E Walter, sognando, riesce a sperimentare gli spazi multi dimensionali degli abissi semza limiti:

abissi le cui proprietà materiali e gravitazionali, e la cui relazione con la propria entità, non potevano ancora essere spiegate. Non camminava o si arrampicava, volava o nuotava, strisciava o si contorceva; tuttavia sperimentava sempre un modo di muoversi parzialmente volontario e parzialmente involontario. Della sua propria condizione egli non poteva ben giudicare, poiché dalla vista dei suoi arti, gambe, torso sembrava sempre tagliato fuori da una qualche bizzarra ricomposizione della prospettiva; (...)

Durante il suo viaggio nella quarta dimensione, Gilman ha anche visto

prismi, labirinti, aggregati di cubi e di piani, ed edifici ciclopici

che sono caratteristici della letteratura lovecraftiana.
Un altro riferimento non-euclideo si trova ne Il richiamo di Cthulhu⁽¹⁾:

Egli disse che la geometria del sogno era abnorme, non-euclidea, e disgustosamente evocativa di sfere e dimensioni lontane dalle nostre.

E lo stesso Cthulhu è una creatura quadridimensionale. Cthulhu era infatti uno dei Grandi Antichi: queste creature

(...) non erano del tutto composte di carne e sangue. Avevano una forma (,,,) ma quella forma non era fatta di materia.

Potremmo allora immaginare Cthulhu nel nostro mondo come la proiezione di un dodecaplex in uno spazio tridimensionale, ad esempio:

Immagini realizzate da Paul Nylander con Pov-Ray

Altre figure interessanti sono quelle che provengono dalla proiezione delle sfere quadridimensionali nel nostro usuale spazio tridimensionale:

Claudio Rocchini su Commons

Le ipersfere⁽²⁾ hanno un ruolo molto importante in matematica e topologia. Nel 1900 Henri Poincaré stabilì la sua famosa congettura:

Ogni 3-varietà chiusa e semplicemente connessa è omeomorfa a una 3-sfera.

E... cos'è una varietà?
Questi oggetti matematici vennero introdotti da Riemann nel 1851 nella sua tesi di dottorato: egli aveva la necessità di introdurre nel suo lavoro alcuni oggetti multidimensionali, avvicinandosi così alle geometrie non-euclidee. Le varietà, infatti, sono spazi particolari nei quali la geometria euclidea è valida solo in piccole porzioni, ma perde di validità quando studiamo porzioni più grandi della varietà. Un esempio di varietà tridimenzionale è la sfera: se disegniamo un triangolo sulla superficie di una sfera, la somma dei suoi angoli interni è 230°, mentre sul piano la somma è 180°. Così mentre la superficie della sfera è nel suo complesso governata da una geometria non-euclidea, una sua piccola porzione possiede le proprietà euclidee usuali (e questo è anche il motivo del perché non ci accorgiamo, intuitivamente, della curvatura della Terra): possiamo quindi dire semplicemente che una varietà è uno spazio le cui proprietà geometriche variano in funzione della scala di osservazione.
Uno spazio semplicemente connesso è uno spazio indivisibile, ovvero che non può essere suddiviso in altri sottospazi, entrambi chiusi o aperti (e questa è la connessione) e, soprattutto, ogni curva chiusa può essere deformata per coincidere con un punto (e allora lo spazio connesso diventa semplicemente connesso). Un esempio di spazio semplicemente connesso è, ancora una volta, la sfera.
Per spiegare la chiusura proverò a servirmi di un esempio. Consideriamo uno spazio metrico $X$, ovvero uno spazio in cui si può definire una distanza $d$ tra due punti dati $x$, $y$. Consideriamo un sottospazio $M$ di $X$: possiamo definire la distanza di ogni punto $a$ dallo spazio $M$ come la minima distanza tra $a$ punto di $X$ e $x$ punto di $M$. La chiusura di $M$ sarà quindi costituita da tutti i punti di $X$ la cui minima distanza da $M$ è zero. Di conseguenza tutti i punti di $M$ appartengono alla chiusura di $M$ (ogni punto è infatti a distanza nulla da se stesso), cui si devono aggiungere anche quelli che possiamo definire come il bordo di $M$. Allora uno spazio può essere definito chiuso se coincide con la sua chiusura.
L'ultimo passo segue dalla definizione di applicazione: è una funzione che associa ad ogni punto $x$ il valore $f(x)$. Una applicazione $f$ è un omeomorfismo se è uno-a-uno (per ogni $x$ c'è uno e un solo $f(x)$) e se conserva la chiusura. In altre parole se la trasformazione della chiusura dello spazio $M$ coincide con la chiusura della trasformazione dello spazio $M$: \[f(\overline{M})=\overline{f(M)}\] A questo punto possiamo trasformare (o semplificare) la congettura:

Esiste un modo per trasformare ogni forma geometrica chiusa e senza buchi di uno spazio quadridimensionale in una sfera quadridimensionale.

La congettura è ormai diventata un vero teorema matematico nel 2010 quanto il Clay Institute accettò la dimostrazione di Perelman^{(4, 5, 6)}.

Ho ricevuto mote severe critiche a causa della natura concreta e tangibile di alcuni dei miei "orrori cosmici". Varianti del tema generale includono il fallimento delle leggi osservabili sul tempo (...) e il superamento dei limiti dello spazio euclideo.
(HP Lovecraft)

Un articolo interessante su Lovecraft e la matematica è H.P. Lovecraft: a Horror in Higher dimensions di Thomas Hull. L'illustrazione di Nemec è tratta proprio da questo articolo.
Il video di Sagan viene invece dal Miskatonic Museum

(1) In questo racconto c'è anche un altro riferimento matematico:

Dopo vigintilioni di anni il grande Cthulhu era di nuovo libero (...)

dove vigintilioni (vigintillions) sta per 10⁶³
(2) Exotic spheres, or why 4-dimensional space is a crazy place by Richard Elwes
(4) The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications
(5) Ricci flow with surgery on three-manifolds
(6) Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds

P.S.: le traduzioni dei passaggi citati sono fatte dal sottoscritto a partire dagli originali. Per cercare di mantenere il senso matematico il più corretto possibile, infatti, ho preferito non riferirmi ad alcuna particolare traduzione italiana, cercando comunque di scriverne una il più letteraria possibile.
Infine un ringraziamento a Jacopo Bertolotti per avermi inviato l'articolo di Hull.