La relatività speciale e la prima legge di Keplero

Ci sono molti argomenti della fisica moderna che non sempre riescono ad entrare nei programmi scolastici, anche solo per mancanza di tempo. Al livello di testi scolastici ho però avuto modo di vedere, recentemente, l'anteprima di un bel libro per licei dove, invece, l'autore introduceva non pochi concetti della fisica moderna semplicemente introducendo la meccanica classica. E non contento addirittura inserisce dei rudimenti di relatività speciale, niente di eccezionale ma scritto molto bene e inserito all'interno del più ampio discorso della relatività e dei sistemi di riferimento. Questo approccio può essere alla distanza molto fruttuoso, poiché semina informazioni che, arrivando ai concetti della fisica moderna, generalmente destinati agli ultimi anni, possono attivare l'interesse dei ragazzi, che posso assicurarvi è alto su questi temi⁽¹⁾.
Quando poi si arriva alla relatività speciale vera e propria, può essere utile riprendere anche alcuni concetti precedenti, per mostrare con l'ennesimo esempio come la scienza sia una costruzione continua sulle basi di quanto già era noto in precedenza. In particolare, come fa Tonguc Rador⁽⁴⁾, fisico turco, si possono unire due concetti come la relatività speciale e la prima legge di Keplero, facendo anche toccare con mano il concetto di invarianza e non invarianza, sia lorentziana sia come concetto generale.

L'idea è quella di utilizzare la contrazione delle lunghezze: in questo senso si può utilizzare l'esercizio anche senza necessariamente avere sott'occhio le trasformazioni di Lorentz⁽²⁾. Supponiamo, innanzitutto, di voler misurare un'asta posta al bordo della strada mentre noi, su un'auto, stiamo viaggiando verso la nostra meta. La misura di lunghezza fatta sarebbe leggermente inferiore rispetto a quella fatta da fermi a bordo strada perché l'estremità finale dell'asta (quella iniziale è quella che incontriamo prima) ci sta venendo incontro, quindi è come se si trovasse in una posizione leggermente precedente rispetto all'estremità ferma. Nel caso della relatività speciale, che basa le sue osservazioni sul fatto che tutte queste misure vengono fatte grazie alla luce, che ha una velocità finita, l'effetto è ancora più evidente e dal punto di vista matematico è espresso con la formula: \[l_1 = \frac{l_0}{\gamma}\] dove $l_1$ è la lunghezza misurata da un osservatore in movimento (noi sulla macchina), $l_0$ è la così detta lunghezza propria dell'oggetto (l'asta misurata a bordo strada) e $\gamma = \left ( 1 - \beta^2 \right )^{-\frac{1}{2}}$.
A questo punto possediamo tutti gli ingredienti per affrontare l'esercizio, che è verificare l'invarianza o meno della prima legge di Keplero. Questa recita che le orbite di ciascun pianeta sono ellittiche con il Sole posto in uno dei due fuochi. Sappiamo che, in realtà, il Sole ha un raggio abbastanza grande da inglobare anche il secondo fuoco, rendendo di fatto l'orbita circolare. Per l'esercizio andremo a considerare un'orbita circolare di raggio $r$. Ricordando che la contrazione delle lunghezze avviene solo lungo la direzione del moto, questo vuol dire che uno dei due raggi, quello nella direzione da cui proviene un eventuale viaggiatore spaziale, risulterà contratto e il nuovo raggio sarà $r' = \frac{r}{\gamma} = r \sqrt{1-\beta^2}$.
La linea chiusa che risulterà alla fine a un osservatore che viene dall'esterno sarà un ellisse: questo vuol dire che, nel senso della conica chiusa (il cerchio è un ellisse particolare) la prima legge di Keplero risulta invariante sotto trasformazione di Lorentz. E per quel che riguarda la posizione del Sole? In questo caso può essere interessante capire come si modifica la posizione di un punto nello spazio da una parte e come si modificano le caratteristiche fondamentali di un ellisse, come i due semiassi, la distanza tra i due fuochi, l'eccentricità. In questo caso, ad esempio, si può partire dal semplice esercizio del determinare le caratteristiche di un ellisse trasformato secondo Lorentz. Volendo determinare anche la posizione del centro della conica, però, bisogna necessariamente utilizzare le trasformazioni di Lorentz⁽²⁾.
Ad ogni modo va sottolineato comunque un punto, importante per poter distinguere tra l'occhio del matematico e quello del fisico: per il primo basta un controesempio per invalidare un teorema, che deve valere per tutti i casi previsti dall'ipotesi⁽³⁾. Un fisico, invece, scopre i limiti di validità di una teoria, cercando di capire fino a dove può utilizzare una descrizione della realtà piuttosto che un altra.

(1) Una delle mie esperienze di supplenza, la più lunga e interessante in un serale, si è conclusa a fine anno, dopo anche gli esami di stato, con un corso di recupero per i ragazzi del diurno, sempre in matematica. I ragazzi del corso di recupero, una volta scoperto che ero un fisico, per riposarsi dalla matematica, mi chiedevano della relatività speciale! E stiamo parlando di adolescenti del quarto anno di un ITIS!
(2) Per l'occasione vi propongo queste trasformazioni semplificate, in cui $c =1$ (si può fare!) e di conseguenza la velocità relativa risulta semplicemente $v = \beta$: \[\begin{cases} t &= \gamma \left( t' + \beta x' \right) \\ x &= \gamma \left( x' + \beta t' \right)\\ y' &= y \end{cases}\] Mancano $z$ e $z'$ perché l'esercizio si svolge sul piano $x-y$.
(3) Nel caso specifico, poiché il Sole al centro dell'orbita circolare non viene spostato in uno dei due fuochi, la prima legge di Keplero risulta non invariante sotto Lorentz. Ovviamente il fisico obietta, come avrete capito, che bisogna anche trovare un Sole che si trova perfettamente al centro dell'orbita!
(4) Rador, T. (2011). Special relativity and Kepler's first law Physics Education, 46 (5), 513-515 DOI: 10.1088/0031-9120/46/5/F02