La geometria iperbolica dei pesci di Escher

Come promesso, un po' alla volta, cercherò di raccontarvi qualcosa sulle immagini che Roger Penrose ha proposto all'uditorio che si è presentato presso la Biblioteca Braidense ad ascoltare la sua lezione leonardesca. In questa occasione mi piace occuparmi di Cerchio limite I di Maurits Escher, incisore olandese di cui Penrose si è occupato in svariate occasioni.

In particolare Penrose fa notare nel poderoso La strada che porta alla realtà, da cui ha tratto praticamente tutte le immagini che ha presentato nella sua conferenza, che l'illustrazione di Escher altri non è che una rappresentazione euclidea della geometria iperbolica.

Carnevale della Matematica #71

Ed è di nuovo tempo di festeggiare, a quattro settimane esatte dal Carnevale n.70 ecco arrivare puntuale il 71, che è poi il 20.mo numero primo della lista. Il suo primo gemello è il 73, dove per primi gemelli si intendono due numeri primi la cui distanza è 2. Il nostro 71 però è anche un primo permutabile, visto che anche il 17 è un numero primo!

\[71 - 1 = 1 * 2 * 5 * 7\] \[71 + 1 = 3 * 4 * 6\]

Il 71, poi, è imparentato anche con tutti i numeri primi che lo precedono: se infatti li sommiamo tutti (71 escluso) otteniamo 568, che è l'ottavo numero nella tabellina del 71. Se proseguiamo nella lettura delle sue proprietà scopriamo poi che il 71 è anche l'ultimo di 15 numeri primi supersingolari, ovvero una classe particolare di numeri primi associata a una classe particolare di funzioni ellittiche (quelle del tipo del teorema di Fermat, giusto per intenderci), dette supersingolari.

\[71 = \frac{4! + 4.4}{.4}\]

E il fatto realmente singolare, a questo punto, è che il 71 è anche un primo di Chen, come il 59 e il 47, i numeri delle precedenti edizioni del Carnevale targato Pi Day. E tutti e tre fanno anche parte del quadrato magico $3 \times 3$ di Rudolf Ondrejka (in particolare appartengono a una delle due diagonali) e costituito solo da numeri primi di Chen:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

A questo punto, però, d'obbligo un paio di parole sui primi di Chen: un numero primo $p$ è detto primo di Chen se $p+2$ è primo o se è un prodotto di numeri primi. Esempio: 71 è un primo di Chen perché il più piccolo nella coppia di primi gemelli (71, 73); 7 è primo di Chen perché $9 = 7+2 = 3 \cdot 3$.

\[71^2 = 7! + 1\]

Come dal box precedente, il 71, insieme con il 7, è una coppia di Brown, dove per coppia di Brown si intendono due numeri naturali $n$, $m$ tali che $n^2 = m! + 1$. E', inoltre, un primo di Esenstein (vedi il Carnevale #47 per definizione o aggiungere box più sotto) e un primo di Pillai (http://en.wikipedia.org/wiki/Pillai_prime) e fa parte della sequenza di Euclid-Mullin, definita come \[a_n = \prod_{i < n} a_i + 1\] dove il primo elemento della serie è 2.
E' poi un numero ettagonale centrato, ovvero un numero definito come \[\frac{7 n^2 -7n + 2}{2}\] e che può essere rappresentato proprio con un ottagono, il cui centro è costituito da 1, che è quindi il primo numero ettagonale centrato (il 71 è il 5.o della serie).
Infine il mostruoso polinomio qui sotto, la cui unica soluzione è la costante di Conway, è di grado 71!

Altre curiosità sul 71 su Prime curios!

Il 71, però, è anche il numero atomico del lutezio, ma ha anche un'altra interessante proprietà, visto che oggi, 14 marzo 2014, è il Pi Day: nella tabellina del $\pi$, il multiplo $71 \cdot \pi$ è il più vicino di tutti a un numero primo (che poi è il 223)!
E con quest'ultima curiosità entriamo nel vivo del Carnevale, dedicato, come intuibile a tutti, proprio al mitico numero archimedeo. Iniziamo con Cristina Sperlari, una maestra delle scuole primarie con tanta passione per la matematica e che ha aperto un bellissimo blog, Il piccolo Friedrich, che

(...) si propone di far conoscere la festa della matematica (o pi-day), di divulgarne i significati, di documentare le esperienze svolte e di sottolineare la valenza di un evento come questo. La festa della matematica, infatti, può davvero essere un'occasione di divertimento e di scoperta della vera matematica per i bambini, ma anche di ripensamento delle modalità didattiche con cui si affronta questa disciplina per gli insegnanti.

Per questa edizione del Carnevale, dedicata al Pi Day, Cristina manda Happy pi day to you!:

è un po' un racconto sintetico di che cos'è il pi-day, perché si celebra, quale significato ha per gli insegnanti e gli studenti e come è stato festeggiato negli anni passati in alcune scuole primarie di Cremona e Milano. L'articolo vuole poi dare dei suggerimenti di attività da svolgere con i bambini della primaria in occasione del pi day (o, più in generale, esperienze di matematica "non comuni"). Le attività proposte sono suddivise a seconda del livello e delle abilità dei bambini e hanno ciascuna un argomento particolare e delle modalità di svolgimento esperienziali.
I link in fondo all'articolo si vanno poi a collegare ad altri post, che raccontano nei dettagli ciascuna attività.