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giovedì 10 settembre 2015

La coomologia delle figure impossibili

L'omotopia è un'applicazione matematica che permette di deformare due curve una nell'altra. Analoga all'omotopia è l'omologia, che è un insieme (tecnicamente successione) di gruppi abeliani associati a un dato spazio topologico. Essa è utilizzata per distinguere topologicamente gli oggetti in base ai loro "buchi" e al fatto che questi possano essere "tappati" o meno. Per contare (o misurare) questi buchi si utilizza un'invariante topologica detta coomologia. La famose figure impossibili, quelle rese famose prima da Escher e quindi da Roger Penrose, che le ha diffusamente studiate dal punto di vista matematico, presentano alcuni aspetti coomologici, ancora una volta enfatizzati proprio da Penrose.
Iniziamo con il triangolo di Penrose (detto anche tribar, essendo costituito da tre barrette). Questo può essere disegnato su un foglio di carta completamente bianco o all'interno di due regioni anulari, come mostrato nelle figure qui sotto.
Il triangolo può essere suddiviso in tre regioni distinte, denominate $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, che suddividono il triangolo in altrettante porzioni tridimensionali. Su ciascuna di esse si identificano due punti e, per esempio, il punto $A_{12}$ su $Q_1$ corrisponde al punto $A_{21}$ su $Q_2$ e così via.
Cos'è allora che rende il triangolo di Penrose impossibile? Alcune ambiguità presenti nella figura. Innanzitutto non si conosce la distanza dell'oggetto rispetto all'occhio dell'osservatore (vedi figura più sotto), o ancora la figura potrebbe essere la raffigurazione di un'altra figura o potrebbe non rappresentare un oggetto tridimensionale.
Supponiamo, ora, che esista un oggetto tridimensionale $O_1$ che è rappresentato dalla regione $Q_1$, e così altri due oggetti $O_2$ e $O_3$ per le altre due regioni. Su ciascuno dei tre oggetti si potranno identificare i punti $A'_{ij}$ corrispondenti agli $A_{ij}$ delle tre regioni del triangolo. A questo punto si definiscono i rapporti \[d_{ij} = \frac{d(E, A'_{ij})}{d(E, A'_{ji})}\] dove $d(E,*)$ è la distanza tra l'occhio dell'osservatore e il punto sull'oggetto reale.
Se prendiamo una coppia di queste distanze $(d_{ij}, \, d_{ik})$ e modifichiamo la distanza dell'occhio dell'osservatore dagli oggetti, dato un numero reale $\lambda$, vale la seguente relazione: \[(d_{ij}, \, d_{ik}) \rightarrow (\lambda d_{ij}, \, \lambda d_{ik})\] che ci assicura che queste quantità sono state ben definite all'interno del formalismo della teoria dei gruppi.
Ora, se la figura è reale, allora ciascuna delle quantità $d_{ij}$ sarà pari a 1, altrimenti esisteranno dei numeri positivi distinti (tre nel caso del traingolo di Penrose) tali che \[d_{ij} = \frac{q_i}{g_j}\] L'insieme di tali numeri fornisce le proprietà del gruppo coomologico della figura in questione.
Infine qui sotto altra figura impossibile basata sui cubi di Necker

Il post è basato su un articolo di Penrose:
Penrose, R. (1992). On the Cohomology of Impossible Figures Leonardo, 25 (3/4), 245-247 DOI: 10.2307/1575844 (pdf di una versione identica ma bilingue in inglese e francese via quora.com)
Per ulteriori approfondimenti (tecnici) c'è poi
Schattschneider, D. (2010). The mathematical side of MC Escher. Notices of AMS, 57, 706-718. (pdf)
Letture sicuramente più leggere sono M.C. Escher and Quantum Mechanics (Contextuality and Paradoxes) e Mathematical art of M.C. Escher.
Vi lascio, infine, a Inspirations (via Open Culture) di Cristóbal Vila, quello di Nature by Numbers:

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