I rompicapi di Alice: Il problema dei figli

A volte i figli sono anche pezzi di matematica

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Prendiamo un noto dilemma matematico, il problema di Monty Hall nella formulazione data da Craig F. Whitaker nel 1990 in una lettera indirizzata alla rivista Parade per la rubrica di Marilyn vos Savant⁽¹⁾:

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?

Se esaminiamo il problema da un punto di vista probabilistico, otteniamo che cambiando porta ci sono i 2/3 di probabilità di vincere l'auto mentre mantenendo la scelta iniziale la probabilità è di 1/3. E' un problema abbastanza noto e ben esaminato, citato anche in alcuni romanzi, due dei quali ho anche avuto l'ardire di leggere (Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte di Mark Haddon e PopCo di Scarlett Thomas), ma ne esiste una variante interessante: supponiamo che il conduttore non conosca cosa si nasconda dietro ciascuna porta. In questo caso quando il conduttore aprirà una delle altre porte, avrà probabilità 1/3 di trovare l'automobile, e nel caso (fortunato per il concorrente) in cui dietro la porta aperta si nasconde una delle due capre, allora la probabilità di trovare l'automobile, sia che si cambi porta sia che si resti su quella scelta in origine, resta 1/2.
Cosa c'è di diverso tra di due casi?
Un modo per capirlo è esaminare il problema dei figli, formulato per la prima volta nel 1959 da Martin Gardner⁽³⁾.

I figli di Mr. Smith

Gardner, sulle colonne della sua rubrica su Scientific American propose due problemi abbastanza simili:

1) Mr. Smith ha due figli. Almeno uno di essi è un ragazzo. Quale è la probabilità che entrambi i figli siano ragazzi?
2) Mr. Jones ha due figli. Il figlio più vecchio è una ragazza. Quale è la probabilità che entrambi i figli siano ragazze?

Concentriamoci sul primo. Questa la risposta che diede Martin Gardner:

Se Smith ha due figli, di cui almeno uno è un ragazzo, abbiamo tre casi egualmente probabili: ragazzo-ragazzo, ragazzo-ragazza, ragazza-ragazzo. In un solo caso entrambi i figli sono ragazzi, così la probabilità che entrambi siano ragazzi è 1/3.⁽³⁾

Come sottolineato successivamente dallo stesso Martin Gardner, il problema presenta un certo grado di ambiguità dovuto a come viene ricavata l'informazione almeno uno dei figli è un ragazzo. Gardner determinò l'esistenza di due procedure:

(1) Prendiamo tutte le famiglie con due figli, uno dei quali è un ragazzo. Se Mr. Smith è scelto a caso da questa lista, allora la risposta è 1/3.
(2) Prendiamo una famiglia a caso con due figli; supponiamo che il padre sia Mr. Smith. Allora se la famiglia ha due ragazzi, Mr. Smith dice, "Almeno uno di essi è un ragazzo". Se ha due ragazze, egli afferma, "Almeno uno di essi è una ragazza". Se ha un ragazzo e una ragazza egli lancia una moneta per scegliere quale delle due frasi dire. In questo caso la probabilità che entrambi i figli siano dello stesso sesso è 1/2.⁽³⁾

Seguendo Tanya Khovanova⁽³⁾, possiamo definire la procedura (1) come centrata sul ragazzo e la (2) come neutrale in genere. La simpatica matematica russa, però, va oltre e suggerisce l'esistenza di due ulteriori procedure:

(3) Supponiamo che Mr. Smith voglia vantarsi dei suoi figli e li menzioni sempre ogni volta che può. In questo caso la procedura potrebbe essere la seguente: se ha due ragazzi, egli dice: "Ho due ragazzi". Se ha un figlio, dice "Almeno uno di loro è un ragazzo". In questo caso la risposta al problema è 0.
(4) Supponiamo che Mr. Smith non ami i ragazzi, e voglia minimizzare il numero di figli maschi. In questo caso la procedura potrebbe essere la seguente: se ha due ragazzi, egli afferma, "Almeno uno di essi è un ragazzo". Se ha un ragazzo e una ragazza, egli dice, "Sono il fiero padre di una ragazza". In questo caso la risposta è 1.

A questo punto è chiaro che le due varianti del problema di Monty Hall differiscono per il modo in cui il concorrente ottiene l'informazione. E' anzi possibile formulare tale problema in maniera ambigua dimenticandosi opportunamente di specificare se il conduttore conosca o meno la disposizione dei premi dietro le porte.
Torniamo, però, ai figli di Mr. Smith.

Approccio bayesiano

E' interessante osservare come, utilizzando l'analisi bayesiana (ovvero utilizzando il Teorema di Bayes: una sua formulazione la trovate sul post di Andrea Capozio sul KDD) si ottengano i due risultati già ottenuti da Gardner in funzione di differenti condizioni al contorno. Ad esempio, supponiamo con Bar-Hillel e Falk⁽²⁾ di aver verificato che uno dei figli di Mr. Smith è un maschio. Allora in questo caso il risultato sarà 1/2, come potete constatare anche dalla tabella qui sotto⁽²⁾:

Se invece l'informazione ci viene fornita da Mr. Smith, ovvero almeno un ragazzo, allora il risultato diventa 1/3 (pur se questo è evidentemente una soluzione del tipo centrata sul ragazzo)^{(2, 3)}.

Il ragazzo nato di martedì

Nel 2010, durante il decimo Gathering for Gardner, Gary Foshee propose la seguente variazione sul problema (magari ispirata alla famosa filastrocca di Solomon Grundy):

Ho due figli. Uno è un ragazzo nato di martedì. Quale è la probabilità di avere due ragazzi?

Anche questa variazione sul problema dei figli originario risulta sufficientemente ambigua da presentare quattro soluzioni, di cui due hanno identico risultato finale. Dei quattro approcci vi propongo qui quello più neutrale possibile:

Procedura neutrale in genere, neutrale in giorno della settimana.
In questo scenario, un padre di due figli è scelto a caso. Egli è istruito a scegliere un figlio lanciando una moneta. Allora egli deve fornire informazioni corrette riguardo il figlio scelto nel seguente formato: "Ho un/a figlio/a nato/a il Lun/Mar/Mer/Gio/Ven/Sab/Dom". Se afferma che "Ho un figlio nato il Martedì", quale è la probabilità che l'altro figlio è anch'esso un maschio?
La soluzione è la seguente: Un padre ha due figlie in 49 casi. Così un padre fornirà l'affermazione precedente con una probabilità nulla. Un padre ha un figlio e una figlia in 98 casi, e ciò produrrà la precedente affermazione con una probabilità di 1/14: con probabilità 1/2 il figlio è scelto sulla figlia e con probabilità 1/7 Martedì è il giorno di nascita. Un padre ha due figli in 49 casi, e fornirà la precedente affermazione con probabilità 1/7. Il padre di due figli ha probabilità doppia di affermare ciò rispetto al padre con un figlio e una figlia, ma ci sono la metà dei padri di questo genere. Così la probabilità è 1/2 che l'altro figlio sia anch'esso un ragazzo. Questo è lo scenario più simmetrico e produce la risposta più simmetrica.⁽³⁾

E' facile immaginare gli altri tre scenari: quello centrato sul ragazzo e neutrale sul giorno, che è simile alla prima soluzione fornita da Gardner e che quindi fornisce un risultato di 1/3; quello centrato sia sul ragazzo sia sul giorno della settimana, che fornisce come risultato 13/27, soluzione trovata da Keith Devlin (che il mese successivo, proprio come Gardner, andò a correggere quella sua soluzione); e infine neutrale in genere ma centrato sul giorno della settimana, che fornisce nuovamente la soluzione 1/2, come giusto che sia.

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(1) Per semplicità ho utilizzato la traduzione presente su it.wiki
(2) Bar-Hillel, M., & Falk, R. (1982). Some teasers concerning conditional probabilities Cognition, 11 (2), 109-122 DOI: 10.1016/0010-0277(82)90021-X (pdf)
(3) Tanya Khovanova (2012). Martin Gardner’s Mistake The College Mathematics Journal, 43 (1), 20-24 DOI: 10.4169/college.math.j.43.1.020