In termini semplici l'entropia di espansione (expansion entropy) è un nuovo modo per calcolare l'entropia di un dato sistema.
L'entropia di espansione utilizza la linearizzazione del sistema dinamico e una nozione di volume nel suo spazio degli stati.Da un punto di vista matematico, possiamo descrivere l'evoluzione di un dato sistema $M$ utilizzando una mappa (una funzione, un'applicazione) che agisce sullo stesso sistema $M$: $f: M \rightarrow M$. Ognuna della mappe $f$ dipende dal tempo, che può essere discreto o continuo.
Utilizzando queste mappe si può costruire la così detta matrice delle derivate $Df$, che è costituita dalle derivate parziali di $f$ rispetto alle $n$ coordinate dello spazio $M$ (dobbiamo considerare uno spazio generico, quindi le sue dimensioni possono essere in numero differente dalle usuali 3 o 4, se consideriamo ad esempio lo spaziotempo).
A questo punto facendo uso di $Df$, si può calcolare la funzione $G(Df)$, che è
il tasso di crescita di un volume locale per la (tipicamente non lineare) funzione $f$.o in altri termini un modo per misurare la crescita di $M$ nel tempo.
Ora $G(Df)$ verrà integrata su tutto lo spazio $n$-dimensionale e rinormalizzata sul suo volume, e la nuova quantità $E(f, S)$ così calcolata sarà utilizzata per definire l'entropia di espansione: \[H_0 (f, S) = \lim_{t' \rightarrow \infty} \frac{\ln E_{t', t} (f, S)}{t'-t}\] dove $t'$ è il tempo finale, $t$ quello iniziale.
In questo modo l'entropia di espansione misura il disordine del sistema, proprio come l'entropia topologica, ma utilizzando l'entropia di espansione si può definire il caos come $H_0 > 0$.
Hunt, B., & Ott, E. (2015). Defining chaos Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 25 (9) DOI: 10.1063/1.4922973 (arXiv)
Nessun commento:
Posta un commento